Шпоргалки собранные из учебника

1. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ2. ПРИНЦИП МАКСИМУМАТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ№3ut = a uxx + f (x, t), x > 0, 0 < t 6 T ;u(0, t) = µ(t),0 6 t 6 T;u(x, 0) = φ(x),x>04.СУЩЕСТВОВАНИЕРЕШЕНИЯ 1ОЙЗадача Коши.u + f (x, t), −∞ < x < +∞, 0 < t 6 T ;КРАЕВОЙ u(x, u0) == aφ(x),−∞ < x < +∞.t2X(x)Так как справа и слева стоят функции, зависящие от разных переменных, очевидно, что обе они равнынекоторой константе, которую мы обозначим −λ:X 00 (x)T 0 (t)== −λ.a2 T (t)X(x)xxОтсюда получаем два уравнения:2.3Существование решения первой краевой задачи. Метод разделения переменныхОстановимся более детально на первой краевой задаче:ut = a2 uxx + f (x, t),u(0, t) = µ1 (t),[2.1]u(l, t) = µ2 (t),u(x, 0) = φ(x),X 00 (x) + λX(x) = 0;(2.3)T 0 (t) + a2 λ T (t) = 0.(2.4)Записав краевые условия для нашей функции v(x, t):v(0, t) = 0;, t ∈ [0; T ],v(l, t) = 0.0 < x < l, 0 < t 6 T ;0 6 t 6 T;0 6 t 6 T;0 6 x 6 l.получим, что, ввиду ее представления в виде произведения,X(0) = 0;– рассмотрим существование и единственность решения, устойчивость, применение функции Грина.

ЧтоX(l) = 0.же такое решение первой краевой задачи? Очевидно, в случае однородного уравнения теплопроводностией удовлетворяет множество разрывных функций ue(x, t) вродеСоединив (2.3) c полученной системой, получим задачу Штурма-Лиувилля:ue(x, t) = const, (x, t) ∈ QT = {(x, t) : (0; l) × (0; T]}; 00 X (x) + λX(x) = 0;ue(0, t) = µ1 (t); 0 6 t 6 T ;X(0) = 0;ue(l, t) = µ2 (t); 0 6 t 6 T ;X(l) = 0.ue(x, 0) = φ(x); 0 6 x 6 l.Поэтому потребуем от функции непрерывность — этим требованием, как мы увидим позже, отсекаютсяпочти все неудобные для исследования функции.Определение.

Функция u(x, t) называется решением первой краевой задачи для уравнения5теплопроводности [2.1], если она удовлетворяет следующим трем условиям:1. u ∈ C[ QT ];2. ut , uxx ∈ C[QT ];Требуется найти все λ, при которых существуют ненулевые решения этой системы. Из курса "Дифференциальные уравнения" известно, что:6 πn 2 λn =, n ∈ N — собственные значения.l Xn (x) = c1 sin( πn x), n ∈ N — соответствующие собственные функции (c1 — некоторые константы).nnl3.

u(x, t) удовлетворяет условиям [2.1].Найдем решение для первойнием теплопроводности:[2.2]Подставляя λn в (2.4), получим уравнения видакраевой задачи с нулевыми краевыми условиями с однородным уравне-Tn0 (t) + a2 λn Tn (t) = 0.(1)ut = a2 uxx ,(2) u(0, t) = 0,(3) u(l, t) = 0,(4) u(x, 0) = φ(x),0 < x < l, 0 < t 6 T ;0 6 t 6 T;0 6 t 6 T;0 6 x 6 l.Искать решение мы будем следующим образом: сначала с помощью преобразований исходного уравнения (важно отметить, что они не всегда будут строгими — это пока не требуется) построим некоторуюфункцию u(x, t), а потом докажем, что при определенных ограничениях на начальные условия даннаяфункция будет решением первой краевой задачи.Определим новую функцию:v(x, t) = X(x)T (t).Решением, очевидно, будет Tn = c2n exp{−a2Разделим обе части уравнения на a2 X(x)T (t):X 00 (x)T 0 (t).=2X(x)a T (t)t}.

Объединив Xn (x) и Tn (t), получим: πn 2πnx) exp{−a2t}.llЗаметим, что все такие функции являются решениями уравнения теплопроводности (1) и удовлетворяют краевым условиям (2),(3).Определим функцию u(x, t) как сумму ряда:u(x, t) =∞Xvn (x, t).n=1Заметим, что она удовлетворяет краевым условиям, а в случае равномерной сходимости ряда из производных — и уравнению теплопроводности. Подберем константы так, чтобы выполнялось начальноеусловие:∞∞XXπnφ(x) = u(x, 0) =vn (x, 0) =cn sin(n=1Так как справа и слева стоят функции, зависящие от разных переменных, очевидно, что обе они равнынекоторой константе, которую мы обозначим −λ:T 0 (t)lvn (x, t) = Xn (x)Tn (t) = cn sin(Подставив нашу функцию в уравнение теплопроводности, получим:X(x)T 0 (t) = a2 X 00 (x)T (t).

πn 2n=1lnn=1πm!∞∞∞∞x) (m — целое), сделаем замену переменной (x → s) и проинтегрируемДомножим равенство на sin(XXl X1 ea2 + b2l X 1l2eпо s:|φn | =|φn | 6 {ab 6}6+φπ n=1 n2π n=1 n2 n=1 nZlZln=1∞Pπmπnπms) ds =cn sin(s) sin( s) ds.φ(s) sin(lllПервый ряд, как известно, сходится, сходимость второго мы только что показали. Отсюда получаемn=100Zl(sin(πmπnx) sin(x) dx =ll0Zlφ(s) sin(0, n 6= m;=⇒l, n = m.2lπms) ds = cm =⇒l20cm =2lZlφ(s) sin(πms) ds.l0Окончательно получаем формулу для u(x, t): lZ∞ πn 2Xπnπn2φ(s) sin( s) ds sin( x) exp{−a2t}.u(x, t) =lllln=1сходимость ряда из коэффициентов Фурье∞P|φn | и, как было показано ранее, непрерывность функцииn=1u(x, t).(2) Теперь покажем существование и непрерывность производных ut , uxx в QT . Покажем, к примеру,существование uxx для всех 0 < x < l, t0 < t < T , где t0 — произвольное положительное число.

Из этого,очевидно, следует существование uxx в QT . Продифференцировав формально ряд (2.5), получим:r ∞X2πn πnπnuxx (x, t) =φn−( )2 sin( x) exp{−a2 ( )2 t}.lllln=18(2.5)0Теперь докажем, что эта формула корректна.πn 2) t} дает нам равномерную сходимость мажорантногоl∞Pряда на t0 < t < T . Из этого следует равномерная сходимость ряда(vn )xx (x, t) и существование uxx (x, t)Легко заметить, что множитель exp{−a2 (n=1Теорема 2.1 (существования).

Пусть функция φ(x) такова, что φ(x) ∈ C 1 [0; l] и φ(0) = φ(l) = 0. Тогдаформула (2.5) определяет класс решений задачи [2.2].Доказательство. (1) Докажем сначала непрерывностьполученной функции u(x, t) в QT . Легко видеть,7чтоr ∞∞X2X|u(x, t)| 6|vn (x, t)| 6|φn |,l n=1n=1где φn =r Zl∞P2πnφ(s) sin( s) ds.

Понятно, что если мы докажем сходимость ряда|φn |, то получимlln=10(по признаку Вейерштрасса) равномерную сходимость ряда∞P|vn (x, t)|. Так как все функции vn (x, t)n=1непрерывны, то и функция u(x, t) будет непрерывна, так как она определяется равномерно сходящимсярядом из непрерывных функций.Итак, преобразуем φn :r Zl2πnφ(s) sin( s) ds = {интегрирование по частям} =lll r0l r Z lrs)πn2 l2l s) dsπn= +l s) +=−φ(s) cos(φ0 (s) l cos( s) ds =l πnl0 lπnlφn==rZlπn21 l 0φ(s)cos( s) ds.n 1πll=000Zlrπn2cos( s) ds. Воспользуемся неравенством Бесселя для ортонормированной сиll0()∞rπn2cos( s):стемы функцийllПусть φen =φ0 (s)n=1∞Xn=1φe2n =2rZlZl φ0 (s) 2 cos( πn s) ds 6 (φ0 (s))2 ds.lln=1∞X00Теперь мы можем преобразовать нужный нам ряд∞Pn=1|φn |:в QT .

Непрерывность uxx (x, t) следует из непрерывности слагаемых ряда. Существование и непрерывностьut доказывается аналогично.(3) То, что функция u(x, t) удовлетворяет всем условиям [2.2], было показано во время ее построения.Теорема доказана.№5№6№7№8№9 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСАГАРМОНИЧЕСКИЕ Ф-ИИ№10№11№12???№13№14№15№16 Внутренние краевые для Лапласана плоскости№17№18№19,20№21,22(3.3)№23№24(д-во для 3-хмерного случая)№25,26№27№28№30№31№32№29№33.