Вопросы к первой части экзамена 1 поток (Вопросы и билеты к экзамену)

Вопросы к первой части экзамена по курсу «Методы математическойфизики» (2013-2014 учебный год)1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.Сформулируйтелеммуоповедениирешенийуравнения( k ( x )u '( x )) ' q( x )u  0, x  ( a , b) , где k ( x )  ( x  a ) ( x ),  ( a )  0 , вособых точках.Напишите уравнение Бесселя и его фундаментальную системурешений. Дайте определение функций, входящих в этуфундаментальную систему решений и приведите их графики.Дайте определение цилиндрической функции. Приведите примерцилиндрической функции и ее график.Назовите особые точки функций, которые являются решениямиуравнения Бесселя.Дайте определение функции Бесселя с помощью обобщенногостепенного ряда.Напишите формулы для функций Бесселя порядков 1/2 и -1/2. Всегдали функции Бесселя полуцелого порядка можно выразить черезэлементарные функции?Напишите интегральное представление для функции Бесселя.Дайте определение функций Бесселя, Неймана и Ханкеля.Напишите формулу, связывающую функции Ханкеля положительногои отрицательного индексов.Как связаны функции Бесселя и функции Ханкеля?Как связаны функции Неймана и функции Ханкеля?Напишите асимптотические формулы при больших значенияхаргумента для функций Бесселя, Неймана и Ханкеля первого и второгорода.Опишите поведение функций Бесселя, Неймана и Ханкеля вокрестности нуля.Поставьте задачу на собственные значения для функций Бесселя.

Гдеона возникает?Сформулируйте теорему Стеклова в случае задачи на собственныезначения для функций Бесселя.Поставьте задачу Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа в круге вслучае граничных условий 1-ого рода. Напишите собственныефункции.Поставьте задачу Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа в круге вслучае граничных условий 2-ого рода.Напишите собственныефункции.Напишитехарактеристическоеуравнениедляопределениясобственных значений задачи Штурма-Лиувилля для оператораЛапласа в круге в случае граничных условий различного типа.Напишите общую формулу для квадрата нормы собственной функции20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.задачи на собственные значения для цилиндрических функций.Напишите собственные функции круга для граничных условийДирихле и Неймана.Напишите уравнение для цилиндрических функций чисто мнимогоаргумента.

Напишите фундаментальную систему решений этогоуравнения.Дайте определение функции Инфельда. Ее график.Напишите асимптотическую формулу при больших значенияхаргумента для функции Инфельда.Дайте определение функции Макдональда. Ее график.Напишите асимптотическую формулу для функции Макдональда.Откуда она следует?Дайте определение классических ортогональных полиномов.Сформулируйте теорему о нулях классических ортогональныхполиномов.Являются ли производные классических ортогональных полиномовклассическими ортогональными полиномами? Если да, то с какимвесом они ортогональны?Напишите уравнение для классических ортогональных полиномов.Поставьте задачу на собственные значения для классическихортогональных полиномов на отрезке с условиями в особых точках.Напишите формулу для собственных значений задачи ШтурмаЛиувилля для классических ортогональных полиномов.Напишите общую формулу для классических ортогональныхполиномов (общую формулу Родрига).Дайте определение полиномов Якоби.Напишите формулу Родрига для полиномов Якоби.Дайте определение полиномов Лежандра.Поставьте задачу на собственные значения для полиномов Лежандра.Напишите выражениесобственных значений для полиномовЛежандра.Напишите выражение квадрата нормы для полиномов Лежандра.Дайте определение полиномов Лагерра.

Сформулируйте задачу,решениями которой они являются.Дайте определение полиномов Эрмита. Сформулируйте задачу,решениями которой они являются.Дайтеопределениепроизводящейфункцииклассическихортогональных полиномов.Напишите выражение производящей функции полиномов Лежандра.Является ли система полиномов Лежандра замкнутой и полной?Сформулируйте соответствующие утверждения.Сформулируйте теорему Стеклова для полиномов Лежандра.Дайте определение присоединенных функций Лежандра.Поставьте задачу на собственные значения для присоединенныхфункцийЛежандра.Напишитесобственныезначениядля46.47.48.49.50.51.52.53.54.55.56.57.58.59.60.61.62.63.64.65.66.присоединенных функций Лежандра.Напишите выражение квадрата нормы для присоединенных функцийЛежандра.Является ли система присоединенных функций Лежандра замкнутой иполной? Сформулируйте соответствующие утверждения.Сформулируйте теорему Стеклова для присоединенных функцийЛежандра.Дайте определение сферических функций. Поставьте задачу насобственные значения для сферических функций.Является ли система сферических функций замкнутой и полной?Сформулируйте соответствующие утверждения.Напишите условие ортогональности для сферических функций.Напишите выражение квадрата нормы для сферических функций.Сформулируйте теорему Стеклова для сферических функций.Дайте определение шаровых функций.

Являются ли шаровые функциисобственными функциями соответствующей задачи на собственныезначения? Обоснуйте ответ.Поставьте задачу на собственные значения для шара в случае линейныхграничных условий различного типа.Напишите собственные функции шара для граничных условийДирихле и Неймана.Что такое характеристики уравнения в частных производных второгопорядка в случае двух переменных?Дайте определения уравнений эллиптического, гиперболического ипараболического типов в случае двух переменных и напишите для нихканонические формы.Дайте определение уравнений параболического типа в случае многихпеременных и напишите для него каноническую форму.Дайте определение уравнения гиперболического типа в случае многихпеременных и напишите для него каноническую форму.Дайте определение уравнения эллиптического типа в случае многихпеременных и напишите для него каноническую форму.Дайте определение корректно поставленной задачи по Адамару.Приведите примеры постановки начально-краевых задач для уравнениятеплопроводности и колебаний и приведите определения классическихрешений этих задач.Изложите общую схему метода разделения переменных (методаФурье).

К решению каких задач можно свести решение общейначально-краевой задачи в линейном случае (редукция полной задачи)?Поставьте задачу Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа сграничными условиями Дирихле на границе S области D и перечислитеосновные свойства собственных функций и собственных значенийэтой задачи.Напишите первую и вторую формулы Грина. Каковы условия ихприменимости?67.68.69.70.71.72.73.74.75.76.77.78.79.80.81.82.83.84.Напишите третью формулу Грина для двумерного и трехмерногослучая.Дайте определение гармонических функций. Приведите примеры.Является ли гармоническая функция бесконечно дифференцируемой?Обоснуйте ответ.Сформулируйте теорему Гаусса и теорему о среднем длягармонических функций.Сформулируйте принцип максимума и принцип сравнения длягармонических функций.Сформулируйте теорему единственности решения внутренней краевойзадачи для уравнения Лапласа в случае граничных условий Дирихле.Каким методом она доказывается?Сформулируйте теорему единственности решения внутренней краевойзадачи для уравнения Лапласа в случае граничных условий третьегорода.

Каким методом она доказывается?Имеет ли место единственность решения внутренней краевой задачидля уравнения Лапласа в случае граничных условий второго рода?Обоснуйте ответ.Дайте определение регулярной на бесконечности функции в случаедвух и трех переменных.Сформулируйте теорему единственности решения внешней задачиДирихле для уравнения Лапласа в трехмерном случае. Каким методомона доказывается?Сформулируйте теорему единственности решения внешней задачиДирихле для уравнения Лапласа в двумерном случае.

Каким методомона доказывается?Имеет ли место единственность решения внешней краевой задачи сграничными условиями Неймана для уравнения Лапласа в двумерном итрехмерном случаях? Обоснуйте ответ.В чем состоит различие в постановках и свойствах решенийвнутренних и внешних краевых задач для уравнения Лапласа вдвумерном и трехмерном случаях?Дайте определение функции Грина внутренней задачи Дирихле дляуравнения Лапласа в трехмерном случае и запишите решение задачи спомощью функции Грина.Дайте определение функции Грина внутренней задачи Дирихле дляуравнения Лапласа в двумерном случае и запишите решение задачи спомощью функции Грина.Дайте определение функции Грина внутренней задачи Неймана дляуравнения Лапласа в трехмерном случае и запишите решение задачи спомощью функции Грина.Метод функций Грина решения краевых задач для уравнения Лапласа.Дайте определение объемного потенциала.