Лекционный курс по ММФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В.ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетЛекционный курс: Методы математическойфизики.В.В. Палин, Е.В. РадкевичMocква 2016 годВ.В. Палин, Е.В. РадкевичЛекционный курс: Методы математической физики.Предлагаемый курс лекций по уравнениям математической физики ориентирован на изучение ряда современных методов теории дифференциальныхуравнений. При этом он содержит и основы классического курса уравненийматематической физики. Изложение материала сопровождается рассмотрением ряда содержательных примеров, позволяющих проследить логику развитияметодов изучения задач математической физики.Рецензенты — д.ф.-м.н., профессор А.

С. Шамаев, д.ф.-м.н., доцентВ. Ж. Сакбаевcфа⃝Механико-математическийкультет МГУ, 2012 г.Оглавление1Введение.91.1 Обзор курса первого семестра. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Обзор курса второго семестра. . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Один пример. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 142 Качественные свойства решений ОДУ.2.1 Первые интегралы для ОДУ. . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1 Первые интегралы и интегральные кривые. . .2.1.2 Множество первых интегралов и его свойства.2.2 Первые интегралы автономной системы. . . . . . . . .............3 УрЧП первого порядка и их классические решения.3.1 Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1 Линейные уравнения в частных производных первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.2 Квазилинейные УрЧП первого порядка. . . . . . . .3.2 Задача Коши для квазилинейных УрЧП. . . . . . . . . .

. .3.2.1 Теорема существования и единственности решения. .3.2.2 Алгоритмы интегрирования задачи Коши для линейного и квазилинейного УрЧП. . . . . . . . . . . .3.2.3 Обобщение алгоритма А2 на случай произвольнойразмерности. Интегрирование уравненийнеразрывности и переноса. . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Введение в теорию нелинейных УрЧП первого порядка.Огибающие и характеристики. . . .

. . . . . . . . . . . . . .3.3.1 Полные интегралы и огибающие. . . . . . . . . . . .3.3.2 Примеры и упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . .3191920212325252527313132333737393.3.33.3.43.3.53.3.63.43.5Вывод характеристических уравнений. Задача Коши. 41Вспомогательные утверждения. . . . . . . . . .

. . . 42Локальная теорема существования. . . . . . . . . . . 44Характеристики для законов сохранения. Пересекающиеся характеристики. . . . . . . . . . . . . . . . . 46Уравнение Гамильтона-Якоби и его классическое решение. 473.4.1 Нестационарное уравнение Гамильтона-Якоби. . . . 473.4.2 Стационарное уравнение Гамильтона-Якоби. .

. . . . 493.4.3 Вариационное исчисление. Связь с ОДУ Гамильтона. 513.4.4 Преобразование Лежандра. Выпуклая двойственностьгамильтониана и лагранжиана. . . . . . . . . . . . . 543.4.5 Геометрическая интерпретация уравнения ГамильтонаЯкоби. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. 553.4.6 Геометрическая оптика.

. . . . . . . . . . . . . . . . . 58Коротковолновые асимптотики для УрЧП. . . . . . . . . . . 593.5.1 Постановка задачи и общая идея метода. . . . . . . . 593.5.2 Коротковолновая асимптотика для уравнения Шредингера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 603.5.3 Коротковолновая асимптотика для волнового уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 Обобщенные решения.4.1 Обобщенные решения задачи Коши для закона сохранения.4.1.1 Интегральное решение. Условие Рэнкина-Гюгонио. .4.1.2 Пример неединственности интегрального решения. .4.1.3 Энергетические оценки. . .

. . . . . . . . . . . . . . .4.1.4 Допустимые разрывы и условие энтропии. . . . . . .4.1.5 Обобщенное решение по Кружкову. . . . . . . . . . .4.2 Введение в теорию обобщенных функций. . . . . . . . . . .4.2.1 Пробные функции и их свойства. . . . . . . . . . . .4.2.2 Определение и основные свойства обобщенных функций. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .4.2.3 Дифференцирование распределений и умножение нагладкую функцию. Свертка с гладкой функцией. . .4.2.4 Преобразование Фурье обобщенных функций. . . .4.2.5 Пространства Соболева. . . . . . . . . . . . . . . . .4.3 Неравенство Фридрихса. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4 Теорема Рисса для гильбертовых пространств. . . . . . . .4717171757678798282879092971001024.54.6Обобщенная задача Дирихле для уравнения Пуассона. . . .Коротковолновые асимптотики и функция Грина . . . . . .4.6.1 Напоминание: общая структура метода коротковолновых асимптотик для одномерного уравнения Шредингера.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6.2 Модельный пример: уравнение Шредингера для гармонического осциллятора. . . . . . . . . . . . . . . .4.6.3 Функция Грина задачи Коши для уравнения Шредингера с гармоническим осциллятором. . . . . . . .4.6.4 Вычисление интегралов I ± и явный вид функцииГрина. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6.5 Фокальные точки и переход через них с помощьюпреобразования Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6.6 Регуляризация функции Грина. . . . . . . . . . . . .4.6.7 Поведение лагранжева многообразия Λt и его связьс индексом. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .4.6.8 Канонический оператор Маслова в одномерном случае. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1051061071081091121141161181195 Курсовые работы первого семестра (список задач по построению коротковолновых асимптотик).1216 Качественные свойства решений уравнений математической физики.1276.1 Волновое уравнение. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.1.1 Модельная задача, приводящая к волновому уравнению (n = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.1.2 Представление решения в виде суммы двух волн(n = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.1.3 Смешанная задача для n = 1. Методы четного инечетного продолжения. . . . .

. . . . . . . . . . . . 1326.1.4 Сферические средние. Уравнение Эйлера-ПуассонаДарбу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.1.5 Случай n = 3. Формула Кирхгофа. Волновые фронты.1376.1.6 n = 2. Метод спуска. Формула Пуассона. . . . . . . .

1396.1.7 Неоднородная задача. Принцип Дюамеля. . . . . . . 1416.1.8 Конус зависимости. Единственность. . . . . . . . . . 1426.2 Уравнение Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14356.2.16.3Основные определения. Фундаментальное решениеуравнения Лапласа в R2 и R3 . . . . . . .

. . . . . . .6.2.2 Теоремы о среднем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2.3 Свойства гармонических функций. . . . . . . . . . .6.2.4 Вариационное исчисление. . . . . . . . . . . . . . . .6.2.5 Случай n = 3. Электростатическая интерпретация. .6.2.6 Случай n = 3. Функция Грина. Метод отраженныхзарядов. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .6.2.7 Случай n = 2. Применение конформных отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2.8 Представление функции в виде суммы трех потенциалов. Задача Неймана для уравнения Лапласа. . .Уравнение теплопроводности. . . . . . .

. . . . . . . . . . .6.3.1 Основные определения. Фундаментальное решение. .6.3.2 Неоднородная задача. . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3.3 Теоремы о стабилизации. . . . . . . . . . . . . . . . .6.3.4 Сильный принцип максимума в ограниченной области. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .6.3.5 Принцип максимума в полосе. . . . . . . . . . . . . .6.3.6 Гладкость решений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Система уравнений Максвелла.7.1 Постановка задачи. Законы сохранения для системы уравнений Максвелла. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2 Потенциалы. Калибровка Лоренца. . . . . . . . . . . . . .7.3 Фундаментальное решение волнового уравнения. Запаздывающий потенциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Введение в теорию полугрупп.8.1 Полугруппа и ее инфинитезимальный оператор. . . .

. .8.2 Резольвенты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3 Теорема Хилле-Иосиды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.4 Приложение теории полугрупп к параболическим уравнениям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .143147148150151153154155158158161164170173175177. 177. 180. 182185. 186. 190. 192. 1949 Курсовые работы второго семестра(калибровка Лоренца).197610 Дополнительные главы.10.1 Дифференцируемость решения ОДУ по параметруприменение. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .10.1.1 Непрерывность решения ОДУ по параметру.10.1.2 Дифференцируемость решения по параметру.10.1.3 Примеры и упражнения. . . . . . . . . . . . .10.2 Метод стационарной фазы. . . . . . . . . . . . . . . .10.2.1 Геометрическая оптика. . . . . . .

. . . . . . .10.2.2 Стационарная фаза. . . . . . . . . . . . . . . .10.2.3 Метод стационарной фазы. . . . . . . . . . . .10.2.4 Оптика и стационарная фаза. . . . . . . . . .7205и ее. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ..........205205207209210211212218221Дорогие читатели!В основу настоящего курса легли курсы лекций по уравнениям счастными производными, прочитанные авторами в течении ряда лет намеханико-математическом факультете, и курс лекций по методам математической физики на факультете фундаментальной физико-химическойинженерии Московского Государственного Университета им.

М.В. Ломоносова. Специфика задач образования на факультете фундаментальнойфизико-химической инженерии привела к необходимости существенномодифицировать лекционный курс. В результате этого основной цельюизлагаемого курса является изучение современного математического аппарата, используемого для моделирования физических процессов или визуализации их основных свойств.Авторы благодарны студентам, предоставившим свои конспекты иособую благодарность приносят профессорам С.Ю Доброхотову и В.В.Жикову за обсуждение, полезные советы и предоставленные материалы.Замечания и предложения мы просим высылать по адресуgrey_stranger84@mail.ru.С уважениемВ.В.

Палин и Е.В. Радкевич8Глава 1Введение.Лекционный курс можно структурировать различными способами. Наиболее крупное разделение курса – семестровое, на две части. При этомосновная тематика первого семестра (главы 3,4) – уравнения с частнымипроизводными первого порядка, в том числе нелинейные, и их приложение к построению коротковолновой асимптотики решений задачи Кошидля уравнения Шредингера и волнового уравнения. Тематика второгосеместра (главы 6,7) соответствует более классическому курсу уравнений с частными производными второго порядка. Вторая глава содержит материал из курса обыкновенных дифференциальных уравнений,необходимый для изучения уравнений с частными производными первого порядка. Глава 10–вспомогательная, в нее отнесены две темы — раздел10.1 посвящен некоторым методам исследования обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференцируемость решения по параметру),а раздел 10.2 содержит описание и некоторые полезные применения метода стационарной фазы.Наши задачи – изучить аппарат уравнений с частными производными, используемый при описании физических процессов; проиллюстрировать возникновение уравнений с частными производными при описании таких процессов; научиться строить решения полученных уравнений, анализировать их свойства, а также давать физическую интерпретацию полученным результатам.91.1Обзор курса первого семестра.В курсах общей и теоретической физики формируется, как известно,физическое представление о том, что классическая (геометрическая) оптика, классическая механика и классическая термодинамика являютсяпредельными случаями соответственно волновой оптики, квантовой механики и статистической механики.Математическое обоснование соответствующего предельного перехода отнюдь не тривиально и связано в первую очередь с построениемприближенных (асимптотических) решений (псевдо)дифференциальныхуравнений в частных производных, моделирующих всевозможные волновые процессы (стационарные и нестационарные) в сплошных средах.При определенных условиях на параметры волнового процесса и параметры среды (например, когда длина волны мала по сравнению с размерами рассматриваемых тел системы или по сравнению с параметромнеоднородности среды) в первом приближении, которое называют коротковолновым, фаза асимптотики волнового поля удовлетворяет нелинейному УрЧП первого порядка – уравнению Гамильтона–Якобидля волновых фронтов.