Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Факультет вычислительной математики и кибернетики Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик Методическое пособие по курсу УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Для студентов 3 курса(Н1 поток) факулыета ВМК и 4~щщ МОСКВА — 2010 'ЙЙЙВйм Евк 22.16Е6 22 31 )Л73 6 7 О~ ~ 44 Печатаемся ла решению гааакпиаииичм ° га сит тл факуэьтета вычислительиай »гата»!атаки и кибернетики ИГУ имтт Ы Л ! и ит аиа Рецензенты: доцент Н.Н. Иноаенкоа, доцент. А.В. Разгулии 3-38 Улк 5!7'|48!!04 к! ЬЬК ". !Ы ь 71 П 1Ы! Излательскнй отлил Факультета вычислительной ыатсматнкп и кибернетики МГУ ны М и Л ~ьэ »и « ээ Лицензия ИД Ы 05899 от 24.09.01 г.

119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В. Лоыонт ны, У и у ! !»и.!и ы рить Учебное издание ЗАХАРОВ Евгений Владимирович,ДМИТРИЕВА Ирина !1~!,!7п!ын1эо!эп,!, ОРЛИК Сергей Игоревич Методическое пособие по курсу УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИ'П1К11 Дэя студентов 3 курса!Ей поток) Подписано в печать 09 03 2010 Формат б0490 1л6 Бумага ! г ~ ~ ы и- ! печать ефаьтиэя. уел печ л 8з.тврэясзоеэкэ нэл нэа»4 ! ° ° н 4ыт 000 «МАКС Пресс» 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ иы М Н Л м и«ээ.

2 й учебный корпус, 627 к. Тел. 939 3890, 939 389! Тсэ гфээь ч !ч !яч! Отпечатано с гатовога оригинал-ыэксээ в ФГУП 4Прояэвольтэеннанэлэтэльскна юыбиииг НН! П ! ! и» 140010, г. Люберцы Москавскаа абл, Октябрьская ир. ь 4а ! © Факультет вычнсялтеэьиаа ыа!гьээ! !ыи н кибернетики М1'Ч инсан М Н Ш и и ~а!ы 2010 03ахаров В В.,Дын!риска!1 Н,1!рэт ! !1,?и!О 15В)Ы 978-5-89407-414-6 18В)Ы 978-5-317-03165-7 итчнья; эаиа~й~с~ 7 Г Захаров Е.В., Дмитриева И.В., Орлик С.И. Уравненпя математической фнзякн: Методическое пособие лля студентовв 3 курса ()Н поток).

— Мз Издательский отпел факультета НМнК МГУ нм. М.В. Ломоносова (лицензия ИД )э) 05899 о! 24.09.2!й!1 г.); МАКС Пресс, 2010. — 136 с. !ЕВ)ь) 978-5-89407-414-6 1ЕВ)ь) 978-5-317-03165-7 Методическое пособие содержит основной материал курса лскпнй 4!ля с~улан!он 3 курса ОИ поток) факультета ВМиК МГУ н соответствует программе ссмсс!рового курса иуравнения математической физики». Формулируются основныс .ылачи лля простейших уравнений в частных производных второго порядка параболического, эллиптического и гиперболического типов, в общем случае с тремя просзранственными переменными.

Рассматриваются краевые условия псрного и нторого раца, упоминаются условия третьего рода. Изучаются вопросы о сущее! вовании, единственности и устойчивости классических решений поставленных кшач. Рассматриваются некоторые методы построения решений таких залач. 0 частности, подробно описан метод разделения переменных. сял Введение 6 Глава 1. Граничные задачи для уравнения теплопроводности.......

9 з 1. Построение математической модели процесса рапространения тепла в пространстве. Вывод уравнения теплопроводности......,. 9 з 2. Постановка начально-краевых задач.................„..„„,..... 13 З 3. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Теоремы сравнения.. 20 з 4. Единственность и устойчивость решения первой начально- краевой задачи для уравнения теплопроводности...................

24 з 5. Построение решений начально-краевых задач для уравнения теплопроводности на отрезке методом разделения переменных..............................................,..... 26 6. Метод разделения переменных для доказательства существования решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке 34 7. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности на прямой. 38 8. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона.. 41 9.

Существование решения задачи Коши для уравнения теплопроводности на прямой.. 45 В 10. Метод функции Грина.. 48 з 1!. Единственность решения второй начально-краевой задачи на отрезке и в ограниченной области пространства. .................................... 5 1 Глава 2. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона....... 55 я 1. Уравнения Лапласа и Пуассона.....................................

55 з 2. Гармонические функции. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. 57 я 3. Математическая постановка краевых задач........................ 59 з 4. Первая и вторая формулы Грина. Интегральное представление функции в ограниченной области (третья формула Грина)......, .. 6! 9 5. Свойства гармонических функций. Формула среднего значения. Принцип максимума гармонической функции......................... 65 з 6.

Единственность и устойчивость решения внутренней задачи Дирихле.......................... „„„..............„..., 69 9 7. Внутренняя задача Неймана........................... 72 з 8. Внешние краевые задачи в пространстве........................... 74 9 9. Внешние краевые задачи на плоскости... 81 9 10. Функция Грина внутренней задачи Дирнх яг ! заик ~ нл ф~ нкции Грина. 87 8 П. О существовании решений краевых залач..........

94 Глава 3. Задачи для уравнения колебаний....... .. 100 9 !. Построение уравнения малых поперечных коягоанпп! с~руны. 100 9 2. Задачи Коши для уравнения колебаний на прямои ......... 104 п.!. Метод Даламбера. . 105 п.2. Существование, единственность и устойчивош ь решения ждали Коши 108 п.3. Существование и единственность решения задачи Коши для неоднородного уравнения колебаний на прямой......................!!О 9 3. Построение решений начально — краевых задач лля уравнения колебаний на полупрямой методом продолжений.................

114 4. Существование решения начально — краевой задачи для уравнения колебаний на полупрямой с неоднородным красным условием.......,............., ..........., .. !17 5. Начально-краевые задачи на отрезке. Единственность и существование их решений. 119 п.1. Постановка начально-краевых задач для уравнения колебапнй на отрезке..

119 п.2. Единственность решений начально — краевых задач для уравнения колебаний на отрезке 121 п.З. Теоремы существования решений начально — красных шдач для уравнения колебаний на отрезке.. 123 9 б. Начально-краевые задачи в ограниченной области нрос Пхцктва, Единственность их решений. 130 п.1. Уравнения колебаний с 2 или 3 пространственными переменными.. 130 п.2. Постановка начально-краевых задач для уравнения колебаний в ограниченной области пространства....................................

132 п.3. Единственность решений начально-краевых задач ~ля уравнения колебаний в ограниченной области пространства.................... 134 лязвщояь 1. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики. — М., "Наука", 1977. Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик. Уравнения математической физики.

Методическое пособие. — М., Издательский отдел факультета ВМиК МГУ, 2005. ополнительная лите а а. 1. В.Я. Арсении. Методы математической физики и специальные функции. — М., " Наука", 1974. 2. А.В. Бицадзе. Уравнения математической физики. — М., " Наука", 1976. 3. А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов. Задачи по математической физике. — М., Издательство Московского университета, 1998. 4.

Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов. Сборник задач по математической физике. — М., "Наука", 1972. 5. В.С. Владимиров. Уравнения математической физики. — М., "Наука", 1971. 6. А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов. Лекции по математической физике. — М,, Издательство Московского университета; "Наука", 2004. Введеиие Курс «Уравнения матсмап и))еакя)й, 1рнзИЮФ~.:, является естественным про))оля»синем . кур~1. «Дифференциальные уравнения», «1»)орин) (йяя посвяп(вж теории обыкновенных дифферсп)н)1)ль)11,1х урл))ненйй,, начальным и краевым задачам для таких ур)н)н»)инй, В курсе уравнений матсм»и инеем)й фнзикй изуча)отса дифференциальные ) раш)сиих )1 1нсгньг4 производных В Основиом Вто)хпо порядка )гая Функций"; нескОльких переменных (От дВух Л11 ')стъ)рсх), (..Лоан »<математическая физика» появились В на инп1ВН курса."-„' вследствие того, что расом и ри на»мыс В нйм.

-,. дифференциальные уравнения В '1ас иилх пр1))спи)знпйх н: задачи для иих явля(отея матемаг)1 )се«ими моделями.:. ряда ' фундамента)(ьных физи'1ссхих процессов! распространения тепла, колебаний. Волновых процессов. н друтих, ОстанОВимся на Обозначениях и О1й)сдслениЯх.' Пусть )(2-евклидово пространс)ВО (х,,х,), ' соотношение, вклн)чакяцее фуихпииэ и(х,, х)) и производные этой функции по х, и х, лктб)ого порядка называется дифференциальным уравнением В частных производных (ДУЧП).

Порядок ДУ»И) определяется порядком наивысшей производной, Вход)пцей В урашьеиис. ди ди Если обозначить — = и„, — -"" = и дх, дидиди — =и„, — =и„„, — =и„,,то соо»ио)пение дх дх ' дх дх 1 2 1 2 Р(х,„х„и(х„х)),ич,и„,и,„,и,„„и,, )=- О, (!) есть ДУЧП второго порядка общего вида, Уравнение (1) называется линейным, если оно линейно относительно функции н всех еб произволнык. Общая форма. линейного ДУЧП второго порядка для функции и = и(х,,х,) имеет внд а„и„,. + а„и„+ апич, + а„иеч + + Ь1 и, + б,и„+ си +,) (х„х, ) = О, ГДС коэффипненты уравнения ак„б„с„~,/ = 1,2 — н общем случае функции координат (х,,х,), г(х„х,)— заданная функция. Если у"(х„х,) гя О „то уравнение (2) называется однородным, в противном случае неоднородным, Если Все коэффициенты ая, Ь„с,), )' = 1,2 постоянйы, то уравнение (2) называет~я ДУЧП с пОстояйными козффнциентами, В протиВном случае с (ап ао ) перемеинымн, Матрица Л = ~ ~ — матрила ~аз1 азз~ второго порядка, называется матрицей козффнциеитяв при старп$йх производных,, 3 Йк как ' и ' „.

= и... зо матрицу А всегда мохгйо счйтать симметричняй (ан =ам)- Классйфикацивз уравиенмй тйпа (2) мохгяо Ос)чпестВйть, йспользуя свойствн симметричных матряд и закон инерции квад~жтичйьях форм из лйнейяйй алгебры. Из лййейной яляебры Следует, чкз характеристические числа (с'ОбстВенные значезяи) симметричных матриц Всегда вегкзественньд а количеспо положительных, отрицательязьгк и нулейях характернстическйх чйсел иивягрна1ггно относйтеямо Выбора системы координат, (и, 0„0) или (О, и, О) — эллиптический тип. (и — 1, О, 1) или 10, л — 1, 1) — параболический тип Зафиксируем точку М~х,, к,), '1М7Ф . - -М' '=' числовая матрица, а ее характерисги' кьскис':чйс)1а веьцествешгы. Пусть (а,,о,у) -- тип у1и1иисиия, 'р, чйс)ГИ'; положительных характеристических всея, Д - числа, отрицательных характеристических пксл, у Число.;. нулевых характеристических чисел.

11отмояопа 3 типа уравнений: (2, О, О) или 10. 2, О) - ур панеция эллиптического типа, 11, 1, и) у1и1впсиия:. гиперболического типа, (1, О. 1) или ОК 1, 11 у)инокиня:.' параболического типа. Иримерьь Пусть х, =х, .т, =-у п1и1сг1ьчиегисииые:1 координаты тогда и, + и, =-' (1 " уравнение эллиптического типа (уравнение Лапл ~са). Если —. пространственная координата, а т, == ~ коордииата.- времени„то ик -и„=0 — уравнение гиперболического, типа (уравнение колебаний), а и, — и„:-- О - уравнение параболического типа(уравнение теплопроиодиас1н). Эта классификация полностью ис крпывасг всб множество уравнений вяорого порядка с двумя иеэависимыми переменными; Замечание 1. Аналогично можно провести классификацию ДУЧП второго порядка с любым ~ислом неэависимых переменных и выделить классы эллиптических, параболических и гиперболических 1.

11, и — 1, О) или 1л — 1, 1, О) — гиперболический 3. Глава 1. Граничные задачп дла уравнения теплопроводности. 1. Построение математической модели процесса распространенна тепла в пространстве. Вывод уравнении теплОпровОдностн, Процесс распространения тепла в пространстве можно описать температурой и(МД), зависягцей от точек М(х„у,а) н времени ~ (х, у, а — декартовы координаты точки в пространстве). Если температура зависит от точск М, то возникаю~ потоки тепла, направленные от областей с высокой температурой к областям с меиыпсй Температурой.