4 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))

tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-4Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора:СкачК первой строке прибавим третью:Ко второй строке прибавим третью умноженную наКо второй строке прибавим первую умноженную на::tigtu.ruanаносИскомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-4Условие задачии, построенные по векторамСкачКоллинеарны ли векторыи?РешениеВекторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Находим:.

Т.е. векторыЗначит векторыи- не коллинеарны.tigtu.ruПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-4Условие задачиРешениеи.:аносНайдемиanНайти косинус угла между векторамимежду векторамиачНаходим косинус углаСкТ.е. косинус угла:и следовательно уголи:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-4Условие задачиВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах.anРешениеиПлощадь параллелограмма, построенного на векторахпроизведения:, численно равна модулю их векторного, используя его свойства векторного произведения:аносВычисляемиВычисляем площадь:Т.е. площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна.ачЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-4Условие задачи,и?СкКомпланарны ли векторыРешениеДля того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.было равно,иtigtu.ru, то векторыТак каккомпланарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-4Условие задачии его высоту, опущенную изРешениеИз вершиныаносanВычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.проведем векторы:ачВ соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:СкВычислим смешанное произведение:Получаем:tigtu.ruТак какСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:anВычислим векторное произведение:Тогда:Высота:ачОбъем тетраэдра:аносПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-4СкУсловие задачиНайти расстояние от точкидо плоскости, проходящей через три точки.tigtu.ruРешениеНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точкиanПроведем преобразования::от точкиНаходим:до плоскости:аносРасстояниеЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-4ачУсловие задачиСкНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуРешениеНайдем вектор:перпендикулярно вектору.tigtu.ruТак как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали.

Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-4Условие задачиНайти угол между плоскостями:anРешениеУголаносДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:между плоскостями определяется формулой:ачЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-4Условие задачи, равноудаленной от точекСкНайти координаты точкиРешениеНайдем расстояниеи:и.Таким образомtigtu.ruТак как по условию задачи, то.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-4anУсловие задачиРешениеаносПусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости ?При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскость. Находим образ плоскости, то точкаСкТак какв уравнение:ачПодставим координаты точкине принадлежит образу плоскостиЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-4Условие задачиНаписать канонические уравнения прямой..:Канонические уравнения прямой:,tigtu.ruРешение:аносНайдем направляющий векторanгде- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей.

Нормальные вектора плоскостей:СкачНайдем какую-либо точку прямой. Пусть, тогдаtigtu.ruСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-4Условие задачиНайти точку пересечения прямой и плоскости.anРешениеаносЗапишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:СкачНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Получаем:Условие задачиНайти точкусимметричную точкеРешениеtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-4относительно прямой.аносТогда уравнение искомой плоскости:anНаходим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точкуТак плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взятьнаправляющий вектор прямой:пересечения прямой и плоскости.Найдем точкуЗапишем параметрические уравнения прямой.СкачПодставляем в уравнение плоскости:Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:.Так какявляется серединой отрезка, тоСкачаносanПолучаем:tigtu.ruПолучаем:.