А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В.ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций поклассической дифференциальной геометрииЛектор — Шафаревич Андрей ИгоревичII курс, 4 семестр, поток математиковМосква, 2007г.Содержание1 Лекция 1. Плоские кривые32 Лекция 2. Пространственные кривые113 Лекция 3. Поверхности в евклидовом пространстве. Первая квадратичная формаповерхности184 Лекция 4. Ковариантное дифференцирование на поверхностях. Параллельный перенос касательных векторов. Геодезические линии255 Лекция 5. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизны356 Лекция 6. Деривационные формулы.

Восстановление поверхности по паре квадратичных форм. Уравнения Гаусса и Кодацци. Теорема Гаусса. Гауссова кривизна437 Лекция 7. Риманова метрика на поверхности и в области евклидова пространства.Изометрии римановой метрики518 Лекция 8. Геометрия на сфере589 Лекция 9. Индефинитные (псевдоримановы) метрики и пространство Минковского 6510 Лекция 10. Векторная модель геометрии Лобачевского7211 Лекция 11. Модели Пуанкаре геометрии Лобачевского7812 Лекция 12.

Элементы общей топологии8513 Лекция 13. Понятие многообразия9114 Лекция 14. Вложения и погружения многообразий9915 Лекция 15. Примеры гладких многообразий104http://dmvn.mexmat.net21 Лекция 1. Плоские кривые§ 1. Способы задания кривых.Всюду в этой лекции мы рассматриваем плоскость R2 со стандартными евклидовымикоординатами (x, y).Из курса анализа известен простейший способ задания гладкой кривой на плоскости — в виде графика.

Именно, пусть f (x) — гладкая функция, заданная на отрезке илиинтервале оси x.Определение 1. Множество точек плоскости, координаты (x, y) которых связаны равенством y = f (x) называется кривой–графиком. Совершенно аналогично определяются кривые x = ϕ(y), являющиеся графиками функций переменной y.Ясно, что не любая кривая на плоскости может быть задана в виде графика. Действительно, если кривая — график, то любая прямая, параллельная оси Oy, пересекаетее не более, чем в одной точке (координаты точки пересечения с прямой x = x0 имеютвид (x0 , f (x0 )), где x0 принадлежит области определения функции f ).

С другой стороны,далеко не любая кривая на плоскости обладает этим свойством; простейший пример —окружность x2 + y 2 = 1 (любаяx = x0 , | x0 | < 1 пересекает этуpp вертикальная прямая22окружность в двух точках: (x0 , 1 − x0 ) и (x0 , − 1 − x0 )). Поэтому естественно рассмотреть и другие способы задания кривых; один из них подсказывается предыдущим примером. Именно, пусть F (x, y) — гладкая функция двух переменных, причем во всех точкахплоскости, в которых F (x, y) = 0, хотя бы одна частная производная ∂F/∂x или ∂F/∂yотлична то нуля.Определение 2.

Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0, называется неявно заданной кривой.Рассмотрим, наконец, третий (и самый удобный) способ задания кривой — параметрический. Именно, будем представлять себе кривую на плоскости как траекторию движения точки в течение некоторого промежутка времени t. Закон движения точки определяется парой гладких функций x(t), y(t), описывающих изменение координат.

При фиксированном t имеем точку плоскости с координатами (x(t), y(t)); при изменении t эта точкаописывает некоторую кривую.Определение 3. Регулярная кривая, заданная параметрически — это множество точекплоскости вида x = x(t), y = y(t), где x(t), y(t) — гладкие функции, заданные на отрезкеили интервале, причем при всех t из этого отрезка (x′ )2 + (y ′)2 6= 0.Мы будем кратко записывать параметрические уравнения кривой в виде r = r(t),где r = (x, y) — радиус–вектор точки плоскости, r(t) = (x(t), y(t)) — двумерный вектор,зависящий от t.Предложение 1.

Три описанных способа задания кривых локально эквивалентны, т.е.множество точек плоскости, заданное одним из этих способов, в достаточно малойокрестности любой его точки можно задать и любым другим способом.Доказательство. 1. Если множество задано как график функции y = f (x), то оно задается неявным уравнением y − f (x) = 0 и параметрическими уравнениями x = t, y = f (t).2. Если множество задано неявным уравнением F (x, y) = 0, то, по теореме о неявной функции, в окрестности каждой его точки одна из координат может быть выраженачерез другую, т.е. существует гладкая функция f (x) (или ϕ(y)), такая, что наше множество задается как график этой функции.

Согласно уже доказанному, в этой окрестностимножество задается и параметрически.33. Пусть кривая задана параметрически. В окрестности каждой ее точки хотя быодна из производных x′ (t), y ′ (t) не обращается в нуль (пусть для определенности это производная x′ ). По теореме об обратной функции существует гладкая функция t = t(x),обратная к x(t). Подставляя эту функцию во второе параметрическое уравнение, получаем задание кривой в виде графика y = f (x), где f (x) = y(t(x)) (и, одновременно, неявнымуравнением y − f (x) = 0).Всюду ниже мы будем использовать параметрический способ задания кривой.Определение 4. Гладкой кривой на плоскости называется гладкое отображение отрезка[a, b] в плоскость R2 , т.е.

вектор-функция r = r(t), где координаты (x(t), y(t)) вектораr(t) — бесконечно дифференцируемые функции, заданные на отрезке [a, b]. Вектор r ′ называется вектором скорости кривой. Гладкая кривая называется регулярной, если ее векторскорости не обращается в нуль.Замечание 1. Одно и то же множество точек плоскости может быть задано разными параметрическими уравнениями (например, уравнения x = t, y = 2t и x = 3t, y = 6tзадают одно и то же множество — прямую y = 2x).

Согласно приведенному вышеопределению, разные параметрические задания определяют разные кривые (совпадаютлишь образы соответствующих отображений, но не сами отображения); с точки зрения дальнейших обобщений такое определение удобнее. В то же время, более “классический” взгляд на геометрию кривых состоит в том, чтобы изучать именно геометрические объекты, т.е. образы соответствующих отображений. Ниже, там, где этоне приведет к недоразумениям, мы будем употреблять термин “кривая” также и дляобраза гладкого отображения отрезка. Замечание 2. Условие r ′ 6= 0 имеет следующий механический смысл: движение точкипо нашей кривой не останавливается.

Геометрический смысл этого условия состоит вотсутствии на кривой точек излома или возврата типа острия; в качестве примерарассмотрим кривую x = t2 , y = t3 , изображенную на Рис. 1. У этой кривой имеетсяточка возврата в начале координат; это как раз та точка, в которой x′ = y ′ = 0. Рис. 1§ 2. Длина дуги кривой. Натуральный параметр.Как уже отмечалось, одно и то же множество точек можно задавать разными параметрическими уравнениями; разные параметрические задания одной кривой можно получать, делая гладкие монотонные замены параметра по формуле t = ϕ(τ ), где ϕ — бесконечно дифференцируемая монотонная функция.

Физический смысл такой замены —изменение скорости движения точки по кривой (отметим, что, если делать не монотонныезамены, то на кривой, вообще говоря, появятся точки с нулевой скоростью движения). Вчастности, на регулярной кривой всегда можно выбрать параметр так, чтобы эта скоростьбыла равна единице (т.е. за единицу времени точка проходила бы дугу единичной длины).4Такой параметр называется натуральным; чтобы ввести его формулой, определим спервадлину дуги кривой.Определение 5. Длиной дуги l кривой r = r(t) между точками, заданными значениямипараметра t1 и t2 , t1 < t2 называется число:Z t2Z t2 p′l=| r (t)|dt =(x′ )2 + (y ′ )2 dt.t1t1Замечание 3. Из формулы замены переменной в определенном интеграле следует, чтоэто определение не зависит от выбора параметра t: если t = ϕ(τ ), где ϕ - возрастающаягладкая функция, то:Z t2 Z τ2 dr dr dt = dτ , dt dτ t1τ1где t1 = ϕ(τ1 ), t2 = ϕ(τ2 ). Замечание 4.

С физической точки зрения, приведенное определение совершенно естественно: |r ′ |dt — путь, пройденный точкой за бесконечно малый промежутоквремени dt. Замечание 5. В анализе принято другое определение длины кривой. Именно, длина определяется как предел длин вписанных в кривую ломаных при стремлении к нулю длинымаксимального звена ломаной. При таком определении длины дуги приведенная вышеформула превращается в теорему, доказываемую стандартной аналитической техникой(длины ломаных мало отличаются от интегральных сумм для выписанного интеграла;строгое доказательство состоит в аккуратной оценке остатка).

Теперь мы можем определить натуральную параметризацию регулярной кривойr = r(t). Зафиксируем точку t0 и будем задавать точку, отвечающую значению параметраt > t0 новым параметром s, равным длине дуги кривой между точками t0 и t:Z t dr dt.s(t) = t0 dtТочки, для которых t < t0 , будем задавать параметром s, определенным по той же формуле; очевидно, это будет длина дуги, взятая со знаком “минус”.Определение 6. Параметр s называется натуральным параметром на кривой; задание кривой уравнениями r = r(s) называется ее натуральной параметризацией.Замечание 6.

Очевидно, если кривая задана своей натуральной параметризацией, то длина вектора скорости dr/ds равна единице; это и означает, что движение по кривой происходит с единичной скоростью. Далее всюду мы будем обозначать точкой производнуюпо натуральному параметру s : f˙ = df /ds. § 3. Касательная и нормаль к кривой.Займемся теперь изучением локальных свойств кривых. Пусть задана гладкая регулярная кривая r = r(t); зафиксируем на ней точку, отвечающую значению параметра t0 .Самую грубую информацию о локальном устройстве кривой вблизи точки дает касательная — она указывает направление движения в этой точке.Определение 7. Касательной к кривой r = r(t) в точке t0 называется предельное положение секущей, проходящей через точки t0 и t0 + ∆t при ∆t → 0.

Точнее, касательная — этопрямая, проходящая через точку t0 , причем ее единичный направляющий вектор равенпределу единичных направляющих векторов этих секущих.5Утверждение 1. Направляющим вектором касательной к кривой r = r(t) в точке t0 является ее вектор скорости r ′ (t0 ); уравнение касательной имеет вид r = r ′ (t0 )τ + r(t0 ),где τ ∈ R - параметр на ней.Доказательство. Единичный направляющий вектор секущей равен:r(t0 + ∆t) − r(t0 )sgn(∆t).|r(t0 + ∆t) − r(t0 )|При ∆t → 0 этот вектор, очевидно, непрерывен (напомним, что r ′ 6= 0 на нашей кривой)и его предел равен r ′ (t0 )/|r ′(t0 )|.