Лекции в формате PDF

Ëåêöèÿ 1.Ïîíÿòèå òåíçîðà è òåíçîðíîãî ïîëÿ íà ìíîãîîáðàçèè.àññìîòðèì êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V . Ìû óæå õîðîøîçíàêîìû ñ íåêîòîðûìè îáúåêòàìè, íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàííûìè ñ ëèíåéíûìè ïðîñòðàíñòâàìè: âåêòîðû, ëèíåéíûå óíêöèîíàëû, ëèíåéíûå îïåðàòîðû, áèëèíåéíûå îðìû è ò.ä. Îáðàòèì âíèìàíèå íà íå÷òî îáùåå, ÷òîîáúåäèíÿåò ýòè ïîíÿòèÿ. Ñ îäíîé ñòîðîíû âñå îíè ìîãóò áûòü îïðåäåëåíûèíâàðèàíòíî ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíûõ îðìàëüíûõ îïðåäåëåíèé (íàïðèìåð,ëèíåéíûé îïåðàòîð ýòî ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå èç ïðîñòðàíñòâà V â ñåáÿ).Òåðìèí "èíâàðèàíòíî"îçíà÷àåò çäåñü íåçàâèñèìîñòü îò âûáîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò. Îäíàêî äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåàëüíî ðàáîòàòü ñ ýòèìè îáúåêòàìè, ìû÷àñòî èñïîëüçóåì èõ êîîðäèíàòíóþ çàïèñü (çàïèñûâàåì, íàïðèìåð, ëèíåéíûå îïåðàòîðû è áèëèíåéíûå îðìû ñ ïîìîùüþ ìàòðèö).

×òîáû ýòî ñäåëàòü, ìû ñíà÷àëà âñåãäà äîëæíû âûáðàòü áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå V . Ïðè ýòîìïðè çàìåíå áàçèñà êîîðäèíàòíàÿ îðìà çàïèñè ðàññìàòðèâàåìûõ îáúåêòîâìåíÿåòñÿ ïî îïðåäåëåííîìó çàêîíó, çàâèñÿùåìó îò èõ òèïà.Íàïîìíèì âêðàòöå ýòè îðìóëû.Ïóñòü e1 , e2 , ..., en áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå V . àññìîòðèì â ýòîì ïðîñòðàíñòâå1) âåêòîð ξ ,2) ëèíåéíûé óíêöèîíàë l (ìû îáû÷íî áóäåì íàçûâàòü åãî êîâåêòîðîì),3) ëèíåéíûé îïåðàòîð A,4) áèëèíåéíóþ îðìó B .Íàïîìíèì, ÷òî "êîîðäèíàòàìè"ýòèõ îáúåêòîâ â èêñèðîâàííîì áàçèñåíàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííîP1) íàáîð êîýèöèåíòîâ (ξ i ) ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà ξ ïî áàçèñó: ξ = ξ i ei ,2) íàáîð (li ) çíà÷åíèé ëèíåéíîãî óíêöèîíàëà l íà áàçèñíûõ âåêòîðàõ:li = l(ei ),3) íàáîð ÷èñåë (aji ) (îáðàçóþùèõ ìàòðèöó A ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A), ãäåaji j àÿ êîîðäèíàòà îáðàçà iãî áàçèñíîãî âåêòîðà ïîä äåéñòâèåì îïåðàPòîðà A : A(ei ) = aji ej .

(çäåñü âåðõíèé èíäåêñ íóìåðóåò ñòðîêè, à íèæíèé ñòîëáöû ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà),4) íàáîð ÷èñåë bij (îáðàçóþùèõ ìàòðèöó êâàäðàòè÷íîé îðìû B ), ãäåbij çíà÷åíèå áèëèíåéíîé îðìû íà ïàðå áàçèñíûõ âåêòîðîâ ñ íîìåðàìèi è j : bij = B(ei , ej ).Ïóñòü e′1 , . . . , e′n äðóãîé áàçèñ è C = (cji ) ìàòðèöà ïåðåõîäà. Íàïîìíèì, ÷òî ïî ñòîëáöàì ìàòðèöû C ñòîÿò êîîðäèíàòû âåêòîðîâ íîâîãî áàçèñàâ ñòàðîì áàçèñå òàê, ÷òî âåðíî îðìàëüíîå ðàâåíñòâî(e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , . .

. , en )CÏóñòü (ξ i ), (li′ ) êîîðäèíàòû âåêòîðà ξ è êîâåêòîðà l â íîâîì áàçèñå, A′è B ′ ìàòðèöû ëèíåéíîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A è êâàäðàòè÷íîé îðìû′1B â íîâîì áàçèñå. Òîãäà (óáåäèòåñü â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî) èìåþò ìåñòîñëåäóþùèå îðìóëû:1. Çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò âåêòîðà..′.′ξ 1 ..ξ n = C −1 ξ 1 ..ξ n2. Çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò êîâåêòîðà. ...Tl1′ .ln′ = Cl1 ..ln3. Çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.A′ = C −1 AC4. Çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû áèëèíåéíîé îðìû.B ′ = C T BCÒàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî âñå ýòè îáúåêòû ìîãóò çàäàâàòüñÿ íàáîðàìè ÷èñåë, êîòîðûå ïðè çàìåíå êîîðäèíàò ïðåîáðàçóþòñÿ ïî íåêîòîðîìóñïåöèàëüíîìó ïðàâèëó.Ìû ïîëîæèì ýòî íàáëþäåíèå â îñíîâó îïðåäåëåíèÿ òåíçîðíîãî ïîëÿ íàìíîãîîáðàçèè.Ñäåëàåì åùå îäíî ïðåäâàðèòåëüíîå çàìå÷àíèå.  ñëó÷àå ìíîãîîáðàçèÿâ êà÷åñòâå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà áóäåò âûñòóïàòü êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê ìíîãîîáðàçèþ.

Êàê ìû óæå çíàåì, ëîêàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò(x1 , . . . , xn ) íà ñàìîì ìíîãîîáðàçèè ïîçâîëÿåò îäíîçíà÷íî ïîñòðîèòü áàçèñâ êàæäîì êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå (äëÿ òî÷åê, ïîïàâøèõ â ñîîòâåòñòâóþùóþ êàðòó). Äëÿ êàæäîãî èç òðåõ îïðåäåëåíèé êàñàòåëüíîãî âåêòîðà ìîæíîýòîò áàçèñ åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëèòü. Íàïðèìåð, ýòîò áàçèñ áóäóòîáðàçîâûâàòü êàñàòåëüíûå âåêòîðû ~rx1 , . .

. , ~rxn ê ïàðàìåòðèçîâàííûì êîîðäèíàòíûì ëèíèÿì. Èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü âåêòîðû∂∂èç ýòîãî áàçèñà êàê äèåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû 1 , . . . , n . Ýòî îáñòî∂x∂xÿòåëüñòâî ÿâëÿåòñÿ âàæíûì: ïîñëå çàäàíèÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ñàìîììíîãîîáðàçèè áàçèñ â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå ñòðîèòñÿ àâòîìàòè÷åñêè.Ïîýòîìó ìû âñåãäà áóäåì ãîâîðèòü î ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ íà ìíîãîîáðàçèè, íå àêöåíòèðóÿ âíèìàíèÿ íà áàçèñ â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå, ïîìíÿîäíàêî î åãî ñóùåñòâîâàíèè.

Êðîìå ýòîãî âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ìàòðèöåéïåðåõîäà îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó ñëóæèò ïðè òàêîì ïîäõîäå ìàòðèöàßêîáè (çàìåíû êîîðäèíàò íà ìíîãîîáðàçèè):X ∂xi ∂∂′ =i∂x∂xi′ ∂xiiÇäåñü x1 , . . . , xn íîâàÿ ëîêàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ìíîãîîáðàçèè.′′2Âàæíîå çàìå÷àíèå îá èñïîëüçîâàíèè øòðèõîâ Ìû ÷àñòî áóäåì ïîìå÷àòüíîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò øòðèõîì, êîòîðûé áóäåò ñòàâèòüñÿ ó èíäåêñà.Ïðè ýòîì "øòðèõ"áóäåò íåñòè äâîéíóþ íàãðóçêó. Âî-ïåðâûõ îí ïîêàçûâàåò, ÷òî ñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé çàïèñàí ðàññìàòðèâàåìûé îáúåêò,ÿâëÿåòñÿ "øòðèõîâàííîé", ò.å.

íîâîé. Âî-âòîðûõ, "øòðèõ"îòíîñèòñÿ ê èíäåêñó, óêàçûâàÿ, ÷òî èíäåêñ òîæå ÿâëÿåòñÿ íîâûì. Íàïðèìåð, îáîçíà÷åíèå′xi ïîêàçûâàåò, ÷òî ðå÷ü èäåò î íîâîé "øòðèõîâàííîé"ñèñòåìå êîîðäèíàò, èâ ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ìû ðàññìàòðèâàåì êîîðäèíàòó ñ íîìåðîì i′ (êîòîðûé íå èìååò íè÷åãî îáùåãî ñ íîìåðîì i, ò.å. i′ 6= i).  ðåäêèõ ñëó÷àÿõýòî ñîãëàøåíèå íàðóøàåòñÿ, íàïðèìåð, 1′ âñå-òàêè ðàâíî 1, â îáîèõ ñëó÷àÿõîíè îáîçíà÷àþò ïåðâóþ êîìïîíåíòó ÷åãî-ëèáî (íî â ðàçíûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò). Êðîìå òîãî n ó íàñ îáû÷íî îáîçíà÷àåò ðàçìåðíîñòü ìíîãîîáðàçèÿ,ïîýòîìó (ñì. ÷óòü âûøå) n = n′ (ýòî åñòåñòâåííî, íå ìîæåò æå ðàçìåðíîñòüìíîãîîáðàçèÿ èçìåíèòüñÿ ïðè ïåðåõîäå ê íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò).Åùå îäíî íàïîìèíàíèå î ñòàðîì ñîãëàøåíèè Ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì, îäèí èç êîòîðûõ ñòîèò ñâåðõó, à äðóãîé ñíèçó, âî âñåõ íàøèõ îðìóëàõ ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóììèðîâàíèå.

Çíàê ñóììû ïðè ýòîì îïóñêàåòñÿ.Îïðåäåëåíèå 1 Òåíçîðîì òèïà (p, q) â òî÷êå P ∈ M íàçûâàåòñÿ îáúåêò,çàäàâàåìûé â êàæäîé ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x1 , . . . , xn íàáîðîì ÷èi ...iñåë {Tj11...jqp }, êîòîðûé ïðè ïåðåõîäå â ëþáóþ äðóãóþ ëîêàëüíóþ ñèñòåìó′′êîîðäèíàò x1 , . . . , xn ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ñëåäóþùåìó çàêîíói′ ...i′1′′i ...iTj ′1...j p′ = Tj11...jqpq∂xip∂xj1∂xjq∂xi1(P)...(P )′ (P ) . .

.′ (P )iijp1∂x∂x∂x 1∂xjqÅñëè òåïåðü ìû â êàæäîé òî÷êå ìíîãîîáðàçèÿ ðàññìîòðèì òåíçîð òèïà(p, q), ãëàäêî çàâèñÿùèé îò òî÷êè (ò.å. êàæäàÿ èç åãî êîìïîíåíò ãëàäêî çàâèñèò îò êîîðäèíàò òî÷êè), òî ìû ïîëó÷èì òåíçîðíîå ïîëå íà ìíîãîîáðàçèè.Áîëåå îðìàëüíî òåíçîðíîå ïîëå çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îïðåäåëåíèåì.Îïðåäåëåíèå 2 Òåíçîðíûì ïîëåì òèïà (p, q) íà ìíîãîîáðàçèè M íàçûâàåòñÿ îáúåêò, çàäàâàåìûé â êàæäîé ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x1 , . . .

, xni ...iíàáîðîì ãëàäêèõ óíêöèé {Tj11...jqp (x)}, êîòîðûé ïðè ïåðåõîäå â ëþáóþ äðóãóþ ëîêàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò x1 , . . . , xn ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ñëåäóþùåìó çàêîíó′i′ ...i′Tj ′1...j p′ (x′ )q1′′=i ...iTj11...jqp (x)′∂xi1∂xip ∂xj1∂xjq......′′∂xi1∂xip ∂xj1∂xjqÇàìå÷àíèå Ýòà îðìóëà èìååò ìåñòî òîëüêî íà òîé îáëàñòè, ãäå îíàèìååò ñìûñë, à èìåííî íà ïåðåñå÷åíèè êàðò, â êîòîðûõ çàäàíû ëîêàëüíûå′′êîîðäèíàòû (x1 , . . . , xn ) è (x1 , .

. . , xn ).×àñòíûìè ñëó÷àÿìè òåíçîðíûõ ïîëåé íà ìíîãîîáðàçèè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, âåêòîðíîå ïîëå (òåíçîð òèïà (1,0)); äèåðåíöèàë ãëàäêîé óíê∂f∂föèè df = ( 1 , . . . , n ) (òåíçîð òèïà (0,1)); ðèìàíîâà ìåòðèêà íà ìíîãîîá∂x∂xðàçèè (òåíçîð òèïà (0,2)). Áîëåå ñëîæíûå ïðèìåðû ìû óâèäèì íèæå.3 ëèíåéíîé àëãåáðå îáû÷íî äàåòñÿ äðóãîå îïðåäåëåíèå òåíçîðà. Îí îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå. Ýòè äâà ïîäõîäà ýêâèâàëåíòíû èìû ñåé÷àñ óêàæåì åñòåñòâåííóþ ñâÿçü ìåæäó íèìè.àññìîòðèì êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V è ñîïðÿæåííîå êíåìó ïðîñòðàíñòâî V ∗ .

Íàïîìíèì, ÷òî â íàøåì êóðñå â êà÷åñòâå V ìû ðàññìàòðèâàåì êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê ìíîãîîáðàçèþ â òî÷êå: V = TP M ,íî äëÿ ñëåäóþùåãî îïðåäåëåíèÿ ýòî íåñóùåñòâåííî.Îïðåäåëåíèå 3 Òåíçîðîì òèïà (p, q) íà ïðîñòðàíñòâå V íàçûâàåòñÿ ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèåT : V × ···× V × V ∗ × ···× V ∗ → RÊîììåíòàðèé ê îïðåäåëåíèþ Çäåñü V × · · · × V × V ∗ × · · · × V ∗ îáîçíà÷àåòäåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå q ýêçåìïëÿðîâ ïðîñòðàíñòâà V è p ýêçåìïëÿðîâñîïðÿæåííîãî ïðîñòðàíñòâà V ∗ .

Äðóãèìè ñëîâàìè, îòîáðàæåíèå T èìååò(p + q) àðãóìåíòîâ q âåêòîðîâ è p êîâåêòîðîâ. Ïîëèëèíåéíîñòü îçíà÷àåò,÷òî T çàâèñèò ëèíåéíî îò êàæäîãî èç ñâîèõ ýëåìåíòîâ ïî-îòäåëüíîñòè.Çàäà÷à Ïðîèíòåðïðåòèðóéòå êàê ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå âåêòîð, êîâåêòîð, ëèíåéíûé îïåðàòîð è áèëèíåéíóþ îðìó.Ñâÿçü ìåæäó äâóìÿ îïðåäåëåíèÿìè òåíçîðà î÷åíü ïðîñòà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû åå óâèäåòü, äîñòàòî÷íî äëÿ ïîëèëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ óêàçàòü ñîîòâåòñòâóþùèé åìó íàáîð ÷èñåë (ïðè óñëîâèè, ÷òî èêñèðîâàí íåêîòîðûéáàçèñ) è, íàîáîðîò, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà ÷èñåë ïîñòðîèòü íåêîòîðîåïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå. Ñäåëàåì ýòî.àññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé áàçèñ e1 , .

. . , en â ïðîñòðàíñòâå V . Ïî ýòîìóáàçèñó ìîæíî îäíîçíà÷íî ïîñòðîèòü ñîïðÿæåííûé ê íåìó áàçèñ e1 , . . . , en âïðîñòðàíñòâå V . Íàïîìíèì, ÷òî ñîïðÿæåííûé áàçèñ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìèei (ej ) = δji .Çàìå÷àíèå.  ñëó÷àå êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâó ê ìíîãîîáðàçèþ ñîïðÿ∂∂æåííûì ê áàçèñó, . . . , n ÿâëÿåòñÿ áàçèñ dx1 , . . . , dxn . Ýòî íå óòâåð∂x1∂xæäåíèå, à ñêîðåå îáúÿñíåíèå îáîçíà÷åíèÿ dxi .àññìîòðèì òåïåðü ïðîèçâîëüíîå ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå T , ÿâëÿþùååñÿ òåíçîðîì òèïà (p, q) â ñìûñëå Îïðåäåëåíèÿ 3. Ýòî îòîáðàæåíèåïðîèçâîëüíîìó íàáîðó èç q âåêòîðîâ (ξ~1 , . . .

, ξ~q ) è p êîâåêòîðîâ (l1 , . . . , lp )ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî(ξ~1 , . . . , ξ~q , l1 , . . . , lp ) ∈ R.(çäåñü ξ~α ∈ V , lβ ∈ V ∗ , α = 1, . . . , q , β = 1, . . . , p).  êà÷åñòâå íàáîðà ÷èñåëi ...i{Tj11...jqp } ìû âîçüìåì çíà÷åíèÿ îòîáðàæåíèÿ T íà âñåâîçìîæíûõ íàáîðàõáàçèñíûõ âåêòîðîâ, ïîëàãàÿi ...iTj11...jqp = T (ej1 , . . .