Экзаменационная теория

1Основные постулаты квантовой механики. Квантовые состояния и волновые функции.Предмет изучения к.м. – микромир (лин. разм. частиц – 10-6-10-13 см). Вводятся понятияпространства и времени, понимаемые интуитивно. Вводится понятие элементарной частицы сзарядом q и массой m. Положение частицы в пространстве при выбранной системе отсчётазадаётся с помощью радиус-вектора (координат этого вектора). Задаётся момент времени t.Считается, что задаются импульс, момент импульса и т.д.

Полагают, что точное положениечастица неизвестно, но даётся вероятность его появления. Квантовое состояние считаетсязаданным, если задана функция от пространства переменных и времени, которая позволяетвычислить все характеристики системы, в том числе вероятность. Такая функция называетсяr rrволновой функцией. ψ = ψ ( r1 , r2 ,..., rN ; t ) - волновая функция, не зависящая от импульса искорости. Она удовлетворяет дифференциальному уравнению Шредингера.Для каждой наблюдаемой величины должен быть задан соответствующий оператор (правилопреобразования), переводящий функцию состоянияψ в новую функцию ϕ , которая вместе с ψпозволяет определить численное значение наблюдаемой функции.Постулаты:Постулат о волновой функции.

Любая система описывается некоторой функцией – волновойфункцией, описывающей состояние системы и любого из её параметров в любой момент времени.ψ (q1 ,..., qs , t ) , причём физический смысл имеет лишь квадрат модуля функции, задающийраспределение вероятностей координат системы: ψ ( x, t ) ⋅ dτ = dW , где τ - совокупность всех2пространственных переменных; ψ ( x, t ) – амплитуда вероятности. Она должна бытьинтегрируема с квадратом или нормирована, т.е. должна быть функцией из гильбертова∫пространства ( ψ dτ = 1 ).

Нельзя наблюдать траекторию, и событие определяется как сумма2амплитуд вероятностей. Это нам показывает:Принцип суперпозиции. Если для системы возможно состояние ψ 1 , а так же состояние ψ 2 , всякаяфункция ψ = ψ 1c1 + ψ 2 c2 описывает такое состояние, в котором измерение даёт либо результатψ 1 , либо ψ 2 ; c1 и c2 - произв. комплексные числа, удовл. нормировке.Принцип неопределённости. Наблюдатель не в состоянии определить состояние частицынезависимо от наблюдателя.1.Классические уравнения движения нужно перевести на квантовый язык, для этого любойфизической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор, потенциальнодействующий на функцию состояния:∫fˆψfˆψfˆψ ∗2dW = ∫⋅ ψ dτ = ∫⋅ψ ⋅ψ dτ = ∫ψ ∗ fˆψ dτψψψЕдинственно возможными величинами, которые может иметь физическая величина, являютсясобственные значения этого оператора, которые мы и получаем при измерении.∧∂ ∧∂В частности, операторы координаты, импульса и энергии: x$ = x , p x = −ih, E = −ih∂x2.Возможная волновая функция состояния системы получается при решении∂t∧∂ψ= H ψ .

Гамильтониан системы N частиц (с∂τ2Nµ = Tµ + Vµ = − h ∆ + U (rr, t ) .координатами xi , yi , zi ): H∑ii =1 2 mдифференциального уравнения Шредингера ih3.Единственно возможными значениями, которые могут быть получены при измерении4.Постулат о среднем. Среднее значение физической величины A, кот. сопоставлен µA, вдинамической переменной A, являются собственные значения оператора µA.состоянии ψ определяется: Aψ=ψ µAψ= ψ µA ψ (посл.- в случае нормировки на 1).ψ ψ2∧∫(или A = ψ ∗ Aψ dτ ). Akψ= ∑ ci ai , т.е.

состояние системы определяется суперпозицией2i =1неск-х состояний ψ i , и вероятность «выбора» i-го состояния определяется его «весом» ci . Т.о. в2результате N измерений мы обнаружим частицу N c12раз в состоянии ψ 1 и т.д.µСл. 1. Физ.величина в состоянии ψ им. точное значение, если функц. ψ явл. собств. ф-ей ψСл. 2. Если 2 опер.

им. общ. сау соб.ф-ций (комм), то отвеч-е им физ.вел. могут быть измерены сзаданной точностью, т.е. могут иметь определённые значения.Сл. 3. Если опер. не комм., то их физ.вел. могут быть измерены только с соотв. неопред., согл.Принципу неопределённости, произведение среднекв.откл. вел. A и B:( ∆A )2( ∆B )2µ = −i  µµ  ∆A, B = Aµ, Bµ− A , B .≥ 1 4 C2 , CA, BОсновные соотн. неопределённостей:µ , t$ ∆x∆px ≥ h 2; ∆E ∆t ≥ h 2, т.к.  x$ , ¶px  = ih =  E dµA dµA ∂µA i µµ µµ∂µA µ µДля оператора=+ H A − AH =+ H , A . - квантовые ск.Пуассона.:dtdtdt hdt(){ }Временное и стационарное уравнения Шредингера:Изменение функции состояния ψ во времени определяется уравнением Шредингера:∂ψ µµ - оператор Гамильтона. Это уравнение определяет волновую функцию ψ при= Hψ ; H∂trзаданной функции состояния в начальный момент времени t=0: ψ (r , t = 0) = ψ 0 .µ не зависит явно от времени (т.е.

сохраняется энергия системы). ПустьПусть Hih∂χ ( t ) µ rrr∂rr1  ∂χ ( t ) 1 µ rψ ( r , t ) = χ ( t ) ϕ ( r ) ; ih ψ ( r , t ) = ϕ ( r ) ih= Hϕ ( r ) χ ( t ) ;Hϕ ( r ) ih=∂t∂tχ (t ) ∂t  ϕ ( t )rТ.к. r и t независимы, то это равенство возможно лишь если обе части равны E, т.е.∂χ ( t )µϕ ( rr ) = Eϕ ( rr ) - стационарноеih= E χ ( t ) - временное уравнение Шредингера, H∂t −iE уравнение Шредингера.

Решение временного может быть в виде χ (t ) = A exp t  . Второе же h уравнение может иметь несколько решений; может быть так, что разным Ek соответствуют разныеϕk , а может, что одной Ek отвечает несколько ϕkl , l = 1, 2,..., n . Множество собственныхзначений оператора – спектр. Он бывает дискретным (множество конечно) и непрерывным(множество бесконечно).3Операторы квантовой механики. Линейные, эрмитовы, унитарные операторы. Собственныефункции и собственные значения операторов. Матричное представление операторов.Средние значения наблюдаемых величин.На векторном пространстве можно определить линейные преобразования – линейные операторы,переводящие векторы из этого пространства в векторы в общем случае другого пространства:rrrry=µAx ; они удовлетворяют требованиям: 1).

µA ( ax ) = a µAx , где а – любое число;r rrr2). µA( x + y) = µAx + µAy , x и y могут быть функциями. Эти свойства можно записать:rrrrµ , очевидно,µA ( c1 x + c2 y ) = c1 x µA + c2 y µA . Пусть у нас есть две функции ψ и ϕ . Оператор Hлинеен; уравнение Шредингера в этом случае тоже носит линейный характер, следовательно,можно ввести нормировку волновой функции (за счёт умножения на комплексное число α ). Еслиψ и ϕ - 2 решения временного уравнения Шредингера, то ∀ их линейная комбинация c1ϕ + c2ψ тоже будет решение этого уравнения.Принцип суперпозиции: 1) Если ψ и ϕ - волновые функции, описывающие состояния, в которыхможет находиться система, то она может находиться в состояниях, описывается волновойфункцией, образующейся из ψ и ϕ с помощью линейного преобразования:Ψ = c1ϕ + c2ψ ; c1 , c2 − ∀ комплексные числа, не зависящие от времени.

2). Если волновуюфункцию умножить на комплексное число, не равное нулю, то полученная волновая функциябудет соответствовать тому же состоянию системы.Эрмитовость операторов.a = ψ ∗ Aψ dτ = ψ A ψ (интеграл по всей области дельта пространства переменных). Это∫среднее значение должно быть вещественным: a∗= ∫ψ ( Aψ ) dτ = Aψ | ψ = a .∗Используемые в квантовой механике операторы, значения которых вещественны, называютсяэрмитовыми, или самосопряжёнными. Эрмитовость оператора можно определить:ψ A ψ = ψ Aψ = Aψ ψ = ψ A ψ∗- если это условие выполняется, то линейный операторA эрмитов. Произведение эрмитовых операторов является тоже эрмитовым оператором, если оникоммутируют.Операторы можно представить в виде матриц.

Если элементы матрицы A+ равны элементамматрицы A, где A+ - матрица с элементами, одновременно транспонированными и комплексносопряжёнными по отношению к A, то матрица называется эрмитовой. В вещественномпространстве эрмитова матрица симметрична: оператор, отвечающий такой матрице, эрмитов.Матрицы, преображающие векторы пространства ¡ без дельта длины, называются унитарными(ортогональными в вещественном пространстве). Оператор, отвечающий такой матрице,()µ x ,Uµ x = ( x, x ) , Uµ +Uµ = 1.унитарный, т.е. UСобственные функции и собственные значения операторов.A.Пусть есть величина A, характеризующая состояние квантовой системы, ей отвечает оператор µЕсли в состоянии, характеризующемся волновой функцией ψ , физическая величина A имеетзначение a, то говорят, что у µA ψ - собственная функция, а a – собственное значение оператора наψ: µAψ = aψ (функция считается нормированной).1).

Пусть у некоторого эрмитова оператора µA есть два собственных значения ϕ1 и ϕ2 исоответствующие им собственные значения a1 и a2. Рассмотрим:( )ϕ1 µA ϕ1 = ∫ ϕ1∗ µAϕ1dτ = a1 ∫ ϕ1∗ϕ1dτ ; ϕ1 µA ϕ1 = µAϕ1 ϕ1 = ∫ µAϕ1 ϕ1dτ = a1∗ ∫ ϕ 1∗ϕ1dτ , a1 = a1∗ ∗4∫вещественные значения; a1 ∈ ¡ , то, если ϕ1∗ϕ1dτ = 1 , т.е. ϕ1 нормирована на 1, тогда a1 – это исобственное значение оператора µA на ϕ1 , и его среднее значение (аналогично для ϕ2 ).Рассмотрим: ϕ1 µA ϕ 2 = ϕ1∗ µAϕ2 dτ = a2 ϕ1∗ϕ2 dτ = a1∗ ϕ1∗ϕ 2 dτ =∫∫∫∫ ( µAϕ ) ϕ dτ . Если a∗121≠ a2 ,∫∗равенство верно, если ϕ1 ϕ 2 dτ = 0 , т.е. функции ортогональны, но, т.к.