А.Д. Алексеев, С.Н. Кудряшов - Уравнения с частными производными в примерах и задачах

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèåâûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ"ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ"Àëåêñååâ À.Ä., Êóäðÿøîâ Ñ.Í.ÓÐÀÂÍÅÍÈß Ñ ×ÀÑÒÍÛÌÈ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÌÈ ÂÏÐÈÌÅÐÀÕ È ÇÀÄÀ×ÀÕ(ó÷åáíîå ïîñîáèå)Ðîñòîâ-íà-Äîíó2008Àëåêñååâ Àíàòîëèé Äìèòðèåâè÷ äîöåíò êàôåäðû äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé ÞÔÓ.Êóäðÿøîâ Ñòàíèñëàâ Íèêèôèðîâè÷ äîöåíò êàôåäðû äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé ÞÔÓ.Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè â ïðèìåðàõ è çàäà÷àõ.Ó÷åáíîå ïîñîáèå, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, 2008, 98 ñòð.

Äàííîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì çíà÷èòåëüíîé ïåðåðàáîòêè ÷åòûðåõ ìåòîäè÷åñêèõ óêàçàíèéÀëåêñååâà À.Ä. , Ðàä÷åíêî Ò.Í. , Ðîãîæèíà Â.Ñ. è Õàñàáîâà Ý.Ã. , îïóáëèêîâàííûõ â ÓÏË ÐÃÓ â 1992 ãîäó. Äîáàâëåíî ìíîãî íîâûõ çàäà÷, ïðèâåäåíûïîäðîáíûå ðåøåíèÿ ñòàíäàðòíûõ çàäà÷. Ðàñøèðåíà òåîðåòè÷åñêàÿ ÷àñòü. ïîñîáèè ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è íà êëàññèôèêàöèþ äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà, ïðèâåäåíèþ èõ ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó, íàõîæäåíèþ îáùåãî ðåøåíèÿ è ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿóðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà.Îíî áóäåò ïîëåçíî ïðè èçó÷åíèè òåîðåòè÷åñêîãî êóðñà "Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè"ñòóäåíòàìè ôàêóëüòåòà ìåõàíèêè, ìàòåìàòèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê, ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà è ôàêóëüòåòà âûñîêèõ òåõíîëîãèé.1. ÏÐÈÂÅÄÅÍÈÅ Ê ÊÀÍÎÍÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÂÈÄÓ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Â×ÀÑÒÍÛÕ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÕ ÂÒÎÐÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ. ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà, ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ,ñëåäóþùåãî âèäà:∂ 2u∂ 2u∂ 2u∂u ∂uA 2 + 2B+ C 2 + f (x, y, u, , ) = 0.∂x∂x∂y∂y∂x ∂y(1.1)Çäåñü u = u(x, y) - èñêîìàÿ ôóíêöèÿ, A = A(x, y), B = B(x, y), C = C(x, y),∂uf (x, y, u, ∂u∂x , ∂y ) - çàäàííûå ôóíêöèè, ïðè÷åì À, Â, Ñ â ðàññìàòðèâàåìûõ îá-ëàñòÿõ íåïðåðûâíû âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè.Âûðàæåíèå ∆ = B 2 − AC íàçûâàåòñÿ äèñêðèìèíàíòîì ýòîãî óðàâíåíèÿ.Åñëè â íåêîòîðîé îáëàñòè D ïëîñêîñòè õó âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ∆ > 0,óðàâíåíèå (1.1) íàçûâàåòñÿãèïåðáîëè÷åñêèìâ îáëàñòè D óðàâíåíèå (1.1) íàçûâàåòñÿâ ýòîé îáëàñòè.

Ïðè ∆ = 0ïàðàáîëè÷åñêèì,à ïðè ∆ < 0 âD − ýëëèïòè÷åñêèì â îáëàñòè D.Çàìåíîé ïåðåìåííûõ õ, ó íà íîâûå ξ , η ïî ôîðìóëàìξ = ϕ1 (x, y), η = ϕ2 (x, y)ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå ôóíêöèé ϕ1 (x, y),(1.2)ϕ2 (x, y) â êàæäîì èç óêàçàí-íûõ òðåõ ñëó÷àåâ óðàâíåíèå (1.1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê òàê íàçûâàåìîìóêàíîíè÷åñêîìó∂2u∂ξ∂η∂2u∂2ηâèäó, à èìåííî, ê âèäó∂u= F (ξ, η, u, ∂u∂ξ , ∂η ) â ñëó÷àå ãèïåðáîëè÷åñêîãî,∂u= F (ξ, η, u, ∂u∂ξ , ∂η ) â ñëó÷àå ïàðàáîëè÷åñêîãî è∂2u ∂2u∂2ξ + ∂2η∂u= F (ξ, η, u, ∂u∂ξ , ∂η ) â ñëó÷àå ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (ïðè ýòîì óðàâ-íåíèå (1.1) ÷àñòî çàìåòíî óïðîùàåòñÿ).Ïðè îñóùåñòâëåíèè óêàçàííîé çàìåíû ïåðåìåííûõ ïîíàäîáèòñÿ âûðàæå3íèå õ è ó ÷åðåç ξ è η .

Ò. å. ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.2) äîëæíà áûòü ðàçðåøèìîéîòíîñèòåëüíî õ è ó. Èçâåñòíî, ÷òî óñëîâèåì òàêîé ðàçðåøèìîñòè ÿâëÿåòñÿíåðàâåíñòâî∂(ϕ1 , ϕ2 )= det∂(x, y)∂ϕ1 ∂x∂ϕ1∂y ∂ϕ2∂xÏîýòîìó ïðè âûáîðå ôóíêöèé ϕ1 ,∂ϕ2∂y= det∂ξ ∂x∂η∂x∂ξ∂y ∂η∂y6= 0(1.3)ϕ2 ìû äîëæíû çàáîòèòüñÿ î òîì, ÷òîáû âðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè îíè óäîâëåòâîðÿëè ýòîìó íåðàâåíñòâó.Äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèé ϕ1 (x, y),ϕ2 (x, y), ïðè êîòîðûõ çàìåíà ïåðåìåí-íûõ (1.2) ïðèâîäèò óðàâíåíèå (1.1) ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó, ñîñòàâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèåAdy 2 − 2Bdxdy + Cdx2 = 0Îíî íàçûâàåòñÿõàðàêòåðèñòè÷åñêèì(1.4).äëÿ óðàâíåíèÿ (1.1).Åñëè A(x, y) ≡ C(x, y) ≡ 0 â îáëàñòè D, òî B(x, y) 6= 0 â D (èíà÷å óðàâíåíèå (1.1) íå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà â ýòîé îáëàñòè).

Òîãäàóðàâíåíèå (1.1) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì â óêàçàííîé îáëàñòè è ïîñëå äåëåíèÿ íà Â(õ,ó) ïðèîáðåòàåò êàíîíè÷åñêèé âèä. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì íàñáóäóò èíòåðåñîâàòü ñëó÷àè, êîãäà â D èëè A 6= 0, èëè C 6= 0.Ïðè A 6= 0 óðàâíåíèå (1.4)ðàçðåøàåòñÿ îòíîñèòåëüíî dy è ðàñïàäàåòñÿ íàäâà óðàâíåíèÿAdy − (B +Ady − (B −√∆)dx = 0(1.51 )√∆)dx = 0(1.52 )(ïðè C 6= 0 óðàâíåíèå (1.4)ðàñïàäàåòñÿ íà äâà óðàâíåíèÿCdx − (B +√Cdx − (B −∆)dy = 0,4√∆)dy = 0).1) Ïóñòü óðàâíåíèå (1.1) â îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì (∆ > 0)è, äëÿ îïðåäåëåííîñòè A 6= 0.

Òîãäà óðàâíåíèÿ (1.51 ) è (1.52 ) ðàçëè÷íû è äåéñòâèòåëüíû.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ïðèâåäåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) ê êàíîíè÷åñêîìóâèäó ñëåäóåò â ôîðìóëàõ (1.2) â êà÷åñòâå ϕ1 (x, y) âçÿòü êàêîé-íèáóäü èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (1.51 ), à â êà÷åñòâå ϕ2 (x, y) - êàêîé-íèáóäü èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (1.52 ) (èëè íàîáîðîò), òàê ÷òîáû äëÿ íèõ âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî (1.3).Òàêîé âûáîð èíòåãðàëîâ óêàçàííûõ óðàâíåíèé âñåãäà âîçìîæåí.Åñëè îáùåå ðåøåíèå îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ðàçðåøåíî îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé, òî åñòü çàïèñàíî â âèäå ðàâåíñòâà ϕ(x, y) = C , òî ýòî ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ îáùèì èíòåãðàëîì ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ, à âõîäÿùàÿ â íåãî ôóíêöèÿ ϕ(x, y) èíòåãðàëîì ýòîãî óðàâíåíèÿ.2)  ñëó÷àå ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (∆ = 0) óðàâíåíèÿ (1.51 ) è (1.52 )îäèíàêîâû è èìåþò âèä:Ady − Bdx = 0.(1.5) ýòîì ñëó÷àå äëÿ ïðèâåäåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó â êà÷åñòâå îäíîé èç ôóíêöèéϕ1 (x, y),ϕ2 (x, y)ñëåäóåò âçÿòü êàêîé-íèáóäü èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (1.5).

Äðóãóþ æå èç ýòèõôóíêöèé ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî, íî òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî (1.3) (ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â êà÷åñòâå ýòîé äðóãîé ôóíêöèè âñåãäà ãîäèòñÿ èëè õ, èëè ó).3) Åñëè ∆ < 0 â îáëàñòè D, ò.å. óðàâíåíèå (1.1)ëàñòè, òî êîýôôèöèåíòû B ±√ýëëèïòè÷åñêîåâ ýòîé îá-∆ â óðàâíåíèÿõ (1.51 ) è (1.52 ) êîìïëåêñíû.Ïîýòîìó êîìïëåêñíû è èíòåãðàëû ýòèõ óðàâíåèé.

Äëÿ ïðèâåäåíèÿ óðàâíåíèÿ(1.1) ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó â ýòîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî âçÿòü êàêîé-íèáóäü èí5òåãðàë ϕ(x, y) ëþáîãî èç óðàâíåíèé (1.51 ), (1.52 ) è â ôîðìóëàõ (1.2) ïîëîæèòüϕ1 (x, y) = Reϕ(x, y), ϕ2 (x, y) = Imϕ(x, y) (èëè íàîáîðîò).Ïðè çàìåíå ïåðåìåííûõ (1.2) ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè u ïî ñòàðûì ïåðåìåííûì õ, ó, êàê èçâåñòíî èç àíàëèçà, âûðàæàþòñÿ ÷åðåç åå ïðîèçâîäíûå ïî íîâûìïåðåìåííûì ξ,η ïî ñëåäóþùèì ôîðìóëàì:∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η=+,∂x∂ξ ∂x ∂η ∂x∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η=+,∂y∂ξ ∂y ∂η ∂y∂ 2 u ∂ 2 u ∂ξ 2∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η 2 ∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η=(( ) ++,)+2+∂x2∂ξ 2 ∂x∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η 2 ∂x∂ξ ∂x2 ∂η ∂x2(1.6)∂ 2 u ∂ 2 u ∂ξ 2∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η 2 ∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η= 2( ) + 2( ) ++,+∂y 2∂ξ ∂y∂ξ∂η ∂y ∂y ∂η 2 ∂y∂ξ ∂y 2 ∂η ∂y 2∂ 2u∂ 2 u ∂ξ ∂ξ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η∂ 2 u ∂η ∂η ∂u ∂ 2 ξ∂u ∂ 2 η= 2+(+)+ 2++.∂x∂y∂ξ ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂x ∂y ∂y ∂x∂η ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂yÏîäðîáíîå îáîñíîâàíèå îïèñàííîãî ìåòîäà ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, âÈ.Ã. Ïåòðîâñêèé, Ëåêöèè îá óðàâíåíèÿõ ñ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûìè, 1961 ã.ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 1.

Ïðè íàõîæäåíèè ôóíêöèé ϕ1 (x, y),ϕ2 (x, y) ïîëåçíîèìåòü â âèäó ñëåäóþùèé èçâåñòíûé èç òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ôàêò:åñëè ϕ(x, y) åñòü èíòåãðàë óðàâíåíèÿ M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (óðàâíåíèÿ(1.51 ), (1.52 ), (1.5) èìåííî òàêîâû), òî Φ(ϕ(x, y)), ãäå Φ(z) - ëþáàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, òàêæå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ýòîãî óðàâíåíèÿ.6Íàïðèìåð, åñëè ln(x + y − 5) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì óêàçàííîãî óðàâíåíèÿ,òî ôóíêöèÿ õ+ó òàêæå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ýòîãî óðàâíåíèÿ.

 ñàìîì äåëå, x + y = eln(x+y−5) + 5, à ôóíêöèÿ Φ(z) = ez + 5 äèôôåðåíöèðóåìà ïðèëþáîì z.ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 2. Àíàëîãè÷íîå ðàññóæäåíèå îòíîñèòñÿ è ê óðàâíåíèÿì ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà. Òàê, åñëè ϕ(x, y) = c îáùèé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (1.5), òîâ êà÷åñòâå çàìåíû áåðåìξ = ϕ(x, y)èëèξ = Φ(ϕ(x, y)),ãäå Φ(z) òîæå, ÷òî è âûøå. Ïóñòü, íàïðèìåð, (1.5) çàïèñàëîñü â âèäå3xdy + ydx = 0.Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷èìdydx=−y3xèëèlnx+ ln c.3√√Îòñþäà îáùèé èíòåãðàë çàïèøåòñÿ â âèäå y 3 x = c. Íî çàìåíà ξ = y 3 x√íåóäîáíà. Ëó÷øå ξ = (y 3 x)3 èëè ξ = y 3 x. Ïðè ïîäñòàíîâêå ïîñëåäíåé ðåäàêln |y| = −öèè ξ "õëîïîò" áóäåò ïîìåíüøå.Äëÿ óðàâíåíèÿ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà èçìåíÿòü ϕ1 (x, y) è ϕ2 (x, y) íåëüçÿ.Ìàêñèìóì äîïóñòèìîãî óìíîæèòü íà −1 äëÿ óäîáñòâà.

Ñìîòðèòå ñëåäóþùèéïðèìåð 1.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû çàäà÷.7ÏÐÈÌÅÐ 1. Óðàâíåíèå2u∂ 2u∂u2∂ uy+2xy+2x+y=0∂x2∂x∂y∂y 2∂y2∂2ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó â îáëàñòè x 6= 0,(1.7)y 6= 0.Èìååì: ∆ = B 2 −AC = x2 y 2 −2x2 y 2 < 0 â óêàçàííîé îáëàñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé îáëàñòè çàäàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì. Ñîñòàâëÿåìäëÿ íåãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå:y 2 dy 2 − 2xydxdy + 2x2 dx2 = 0.Ðàçðåøàÿ åãî îòíîñèòåëüíî dy, ïîëó÷àåì äâà óðàâíåíèÿ:ydy − (1 + i)xdx = 0 è ydy − (1 − i)xdx = 0.Íàéäåì èíòåãðàë êàêîãî-íèáóäü èç ýòèõ óðàâíåíèé (íàïðèìåð, ïåðâîãî).

Òàêêàê−y 2 + (1 + i)x2 = Cåñòü îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, åãî èíòåãðàëîì ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíàÿôóíêöèÿϕ(x, y) = x2 − y 2 + ix2 .Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, äëÿ ïðèâåäåíèÿ çàäàííîãî óðàâíåíèÿ ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó äîñòàòî÷íî ïðîèçâåñòè çàìåíó ïåðåìåííûõ:ξ = Reϕ(x, y) = x2 − y 2 ,η = Imϕ(x, y) = x2 .(1.8)Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óñëîâèå (1.3) äëÿ ýòèõ ôóíêöèé âûïîëíÿåòñÿ. Ïðîèçâîäÿ8çàìåíó (1.8), ìû ïî ôîðìóëàì (1.6) ïîëó÷àåì:∂u ∂u∂u=2x +2x,∂x∂ξ∂η∂u∂u= −2y ,∂y∂ξ2∂u∂ 2u2∂ u= −2+ 4y,∂y 2∂ξ∂ξ 2∂ 2u∂ 2u∂ 2u= −4xy( 2 +),∂x∂y∂ξ∂ξ∂η2∂ 2u∂u∂u∂u∂ 2u2 ∂ u=2+2+ 4x ( 2 + 2+).∂x2∂ξ∂η∂ξ∂ξ∂η ∂η 2Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â (1.7) è çàìåíèâ õ è ó íà ξ è η ïî ôîðìóëàì(1.8), ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó êàíîíè÷åñêîìó óðàâíåíèþ1 ∂u1 ∂u∂ 2u ∂ 2u+−+= 0.∂ξ 2 ∂η 2 η − ξ ∂ξ 2η ∂ηÈíîãäà ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó óðàâíåíèå íàñòîëüêî óïðîùàåòñÿ, ÷òî åãî îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ðåøèòü.

Ïðåæäå ÷åì ïðèâåñòè òàêèåïðèìåðû, ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå (ïîõîæåå íà îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè),∂v= f (ξ)g(v),∂ξãäå v = v(ξ, η) - èñêîìàÿ, à f (ξ) è g(v) - çàäàííûå ôóíêöèè. Ïóñòü dξ v =(1.9)∂v∂ξ dξåñòü ÷àñòíûé äèôôåðåíöèàë (äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè v ïðè dη = 0, ò.å. âûçâàííûé ïðèðàùåíèåì dξ îäíîé ëèøü ïåðåìåííîé ξ ) ïî ξ ôóíêöèè v(ξ, η).Òîãäà ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿäâóõ äèôôåðåíöèàëîâ:∂v∂ξ=∂v∂ξ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå îòíîøåíèÿdξ vdξ . Ýòî ïîçâîëÿåò íàì óðàâíåíèþ (1.9) ïðèäàòü9ñëåäóþùèé âèä:Zdξdξ vg(v)− f (ξ)dξ = 0. À òàê êàêZZ∂dvddv ∂vdξ vdv= ()dξ = () dξ =g(v) ∂ξg(v)dvg(v) ∂ξg(v)èZdf (ξ)dξ = f (ξ)dξ,åãî ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:Zdξdv−dg(v)Z(1.91 )f (ξ)dξ = 0.à) ïóñòü ôóíêöèÿ v = ve(ξ, η), åñòü êàêîå-íèáóäü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.91 )(à, ñëåäîâàòåëüíî, è óðàâíåíèÿ (1.9)). Òîãäà ñïðàâåäëèâîZdξ (dv|v=ev(ξ,η) ) − dg(v)ZZf (ξ)dξ = dξ (dv|v=ev(ξ,η) −g(v)Zf (ξ)dξ) ≡ 0, (1.10)À ýòî çíà÷èò, ÷òî âûðàæåíèå â ñêîáêàõ íå çàâèñèò îò ξ , ò.å.Zdv|v=ev(ξ,η) −g(v)Zf (ξ)dξ ≡ C(η),(1.11)ãäå C(η) - ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ.