chapter7 (Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (PDF))

Глава 7. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.§ 1. Неравенство ЧебышеваПусть случайная величина  имеет математическое ожидание М идисперсию D. Тогда для любого 0 справедливо неравенство Чебышева:DP        )  2 .Это неравенство часто используют в виде:DP       )  1  2Доказательство этих неравенств основывается на неравенстве Маркова:для любой случайной величины  вероятность события   непревосходит произведения частного 1 на математическое ожидание модуляслучайной величины, то есть Р()М. Справедливо и неравенствоКолмогорова: если 1,2,…,n независимые случайные величины имеют конечныедисперсии Di, то для любого 0 справедливо неравенство1 n1 n1М i   )  1  2 2 ( D 1  D 2  ...

 D n ) .in i 1n i 1n Задача 1. В 400 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытанииравна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, чторазница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов непревысит 20.Решение. Число успехов в этих испытаниях распределено по закону Бернулли,поэтомусреднеечислоуспеховравноМ=np=400×0,8=320,аD=npq=400×0,8×0,2=64. Тогда в силу неравенства Чебышева имеем:D64P   320   20)  1  2  1  0,84.40020Вычислим эту же вероятность с помощью приближенной (интегральной)формулы Муавра-Лапласа (см. главу 4):  np P  320   20)  P  np    )  P npqnpqnpq    2 20   2 (2,5)  2  0,4938  0.9876 2 64  npq Последнее вычисление показывает, что неравенство Чебышева дает довольногрубые оценки вероятностей.P(§ 2.

Закон больших чиселПусть задана бесконечная последовательность независимых одинаковораспределенных случайных величин 1 ,  2 ,..., n ,... , для которых существуютматематическое ожидание Mi  a и дисперсия Di   2 . Тогда для любого >011 nlim P   i  a     0 .n  n i 1Суть закона больших чисел состоит в том, что при возрастании числаслагаемых (т.е. одинаково распределенных случайных величин) среднееарифметическое этих слагаемых мало отличается от математического ожиданияa .

Любое отклонение среднего арифметического случайных величин от числа aпри достаточно большом числе слагаемых – маловероятно.Например. Пусть 1 ,  2 ,...,i ,... – последовательность случайных величин,каждая из которых равна числу успехов в одном испытании Бернулли (т.е. 1 вслучае успеха и 0 – в случае неудачи). Закон распределения каждой такойслучайной величины имеет вид:i 0 1P q P1 nЗдесь Mi  p и Di  pq . Тогда среднее арифметическое х    i равноn i 1частоте успехов в n испытаниях, и закон больших чисел утверждает, что этачастота успехов стремится к вероятности успеха p, если число слагаемых (т.е.число испытаний) стремится к бесконечности.§ 3.

Центральная предельная теорема (ЦПТ)Если 1 ,  2 ,...,i ,... — независимые одинаково распределенные случайныевеличины, такие, что Mi  a и Di   2   , i = 1, 2, ..., то для любоговещественного хxy2 1   2  ...   n  nà1lim P x e 2 dy ,n n2Смысл центральной предельной теоремы заключается в том, что суммаniслучайных величин при надлежащем «центрировании» и «нормировании» иi 1при увеличении числа слагаемых ( n ) ведет себя почти как стандартнораспределенная случайная величина. (Напомним, что  называется стандартнораспределенной, если   N (0,1) .)Например. Пусть 1 ,  2 ,...,i ,... – последовательность случайных величин,удовлетворяющая условиям предыдущего примера.

В этом случае сумма1   2  ...   n  m есть число успехов в n испытаниях Бернулли. Из ЦПТследует, чтоb x2m  np1lim P a  b  d e 2 dx  (b)  (a) ,n npq2где Ф( х ) 1хy22 e dy – функция Лапласа.2 0Тогда вероятность того, что число успехов будет заключено между m1 и m2равна2 m  np m  np m 2  np   Ф m 2  np   Ф m1  np P (m1  m  m 2 )  P  1 npq npq  npq npqnpq Этот результат называется интегральной теоремой Муавра–Лапласа ииспользуется при npq<9. Если р1 и npq  9 , для биномиального распределенияk  используют пуассоновское приближениеP(m  k ) e ,  np ,k!основанное на формуле Пуассона при р0, n, np.Задача 2.

В продукции цеха детали отличного качества составляют 50. Деталиукладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, чточисло деталей отличного качества в коробке отличаться от 100 не более, чем на5?Решение. Пусть n - случайное число деталей отличного качества в коробке,1тогдаприn=200,pqполучим:25m  np5P(95  m  105)  P( )  Ф(0,71)  Ф( 0,71)  0,5450npq50Задача 3.

Используя условия предыдущей задачи, указать в каких границах свероятностью 0,997 находится число деталей отличного качества в коробке. m  npРешение. По таблицам при условии P t   0,997 находим t и npqследовательно, Sn лежит в пределах np  3 npq , т.е. число деталей отличногокачества в коробке с вероятностью 0,997 находится в пределах 100  21.Задача 4. Используя условия примера 1, определить, сколько деталей надоположить в коробку, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно былоутверждать, что число деталей отличного качества в коробке не меньше 100.Решение. Необходимо найти n из условия Р (Sn 100) 0,99.

Используянормальное приближение, получаем m  np 100  np   1  Ф 100  np   0,99 ,P (m  100)  P  npq npq npq 100  npи из таблиц получаем неравенство 2,3, откуда, полагая n  x , приnpq1p  q  имеем х2-2,3х-2000, откуда получаем n240.2Задача 5. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%.Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно 3бракованных детали? Какова вероятность обнаружить не меньше 3-хбракованных деталей?Решение.

Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью р=0,005 «успеха»,здесь npq5. Применяя пуассоновское приближение с  = np = 5, получаем3P(m1000253 55 i 5 3)  e , P(m1000  3)  1  P(m1000  3)  1   e3!i  0 i!и по таблицам находим: P(m1000 =3)  0,14,Р(m10003) 0,875.Задача 8. Телефонная станция обслуживает 2000 абонентов, в час пик каждыйабонент использует связь в среднем в течение 2 минут, т.е. мы считаем, что1абонент с вероятностью p использует связь. Какое наименьшее число линий30необходимо, чтобы только один из 100 вызовов получал отказ?Решение. Считая вызовы абонентов независимым, имеем 2000 испытаний1Бернулли с вероятностью "успеха" р= .

Надо найти число линий N из условия302000Р(m2000N) 0,01. Применяя приближение Пуассона с   66,67 , по30таблицам находим N87. При использовании нормального приближенияполучается, что достаточно 86 линий.Задачи для самостоятельного решенияТеоретические задачи.1. Пусть задана последовательность независимых случайных1 , 2 ,..., n ,... , имеющих следующий закон распределения:0n  nnвеличинP 1/ n 1  2 / n 1/ nПрименим ли к этой последовательности закон больших чисел?2. Пусть задана последовательность независимых случайных1 , 2 ,..., n ,...

, имеющих следующий закон распределения:nn  nP1/21/2Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?величин3. Доказать закон больших чисел в «обобщенной форме»: пусть 1 ,  2 ,..., n ,... –последовательностьслучайныхвеличин,укоторыхсуществуютматематические ожидания Mi и дисперсии D i , причем все дисперсииограничены одной константой C>0. Тогда для любого >01 n1 nlim P   i   M i     0 .n n i 1 n i 14.

Пусть случайная величина  имеет нормальное распределение с параметрамиМ=а, D=2. Найти вероятности P|   a |   и P|   a | 3  , пользуясьтаблицами функции Лапласа, оцените те же вероятности с помощьюнеравенства Чебышева.45. Пусть случайная величина  имеет распределение Лапласа, т.е. ее плотность  xравна f ( x)  e ,   0 . Найти М и D. Найти вероятности P|  |   и2P|  | 3  и сравнить их с оценками, получаемыми с помощью неравенстваЧебышева.6. Будет ли выполнен закон больших чисел для последовательностинезависимых случайных величин 1, 2, ...

n , ... если111). P( n  2 n )  ,P( n  2 n )  ;22n ( 2 n 1)2). Р(  n  2 )  2,Р ( n  0)  1  2 2 n ,P ( n  2 n )  2  ( 2 n 1) .7. Пусть некоторая величина а измеряется прибором без систематическойошибки, но со средним квадратическим отклонением . Это означает, чторезультат измерения можно считать случайной величиной  с М=а, D=2.Какова вероятность при 100 измерениях получить для среднегоарифметического (из этих 100 измерений) отклонение от величины а более,чем на? Дать оценки этой вероятности с помощью неравенства Чебышева4и с помощью ЦПТ.8.

Пусть 1, 2, ... i, ... — независимые, одинаково распределенные случайныевеличины с функцией распределения F(x). Пусть задана случайная величина1,  i  x,.i  0,  i  x.Выполняется ли для последовательности 1,2, ... i, ... закон больших чисел?9. Пусть для последовательностей  n  и n  случайных величин существуютчисла а и b такие, чтоlim P(  n  a   )  0,n lim P(  n  b   )  0 ,n длялюбого 0. Доказать, чтоа) lim P(  n  a   ,  n  b   )  1;n б) если f(x, у) непрерывна в точке (а, b), то для любого 0lim P( f ( n , n )  f (a , b)   )  1 .n 10.

Последовательности 1, , ... и 1, 2, ... случайных величин таковы, чтоlim P(  n   )  1,  0 и существует функция распределения F(x), дляn каждой точки непрерывности которой выполняется соотношенияlim P( n  x )  F ( x ) . Доказать, что для каждой точки непрерывности F(x)n справедливо равенство lim P( n   n  x )  F ( x ) .n 5Вычислительные задачи.11. Средний размер вклада в отделении банка равен 6000руб. Оценитьвероятность, что случайно взятый вклад не превысит 10000 руб.12. Среднее количество вызовов, поступающих на АТС завода в течение часа,равно 300.