chapter6 (Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (PDF))

Глава 6. Непрерывные случайные величины.§ 1. Плотность и функция распределения непрерывной случайнойвеличиныМножество значений непрерывной случайной величины несчетно иобычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.Случайная величина (),заданная в вероятностном пространстве{,S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) , если существуетнеотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределенияF(x) можно представить в виде интегралаxF ( x )  P (  x )  p (t )dt .Функция p (x ) называется функциейплотности распределениявероятностей.Из определения вытекают свойства функции плотности распределенияp (x ) :1.

Плотность распределения неотрицательна: p ( x )  0 .2. Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределениявероятностей равен единице: p ( x )dx  1.3. В точках непрерывности плотность распределения равна производнойфункции распределения: p ( x)  F ( x ) .4. Плотность распределения определяет закон распределения случайнойвеличины, т.к. определяет вероятность попадания случайной величины наинтервал [a, b) :bP  [a, b)  Pa    b  F (b)  F (a )   p (t )dt .a5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина приметконкретное значение a равна нулю: P(  a )  0 . Поэтому справедливыследующие равенства:Pa    b  Pa    b  Pa    b  Pa    b  F (b)  F (a ) .График функции плотности распределения называется кривойраспределения, и площадь, ограниченная кривой распределения и осьюабсцисс, равна единице.

Тогда геометрически значение функции распределенияF(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осьюабсцисс и лежащая левее точки х0.Рис.6.1.1Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:x  [0,2] 0,p ( x )   2Cx , x  [0,2]Определить константу C, построить функцию распределения F(x) и вычислитьвероятность P 1    1.Решение. Константа C находится из условия p ( x)dx  1.

Имеем:122x3 2 p ( x)dx   Cx dx  C 3008C, откуда C=3/8.3Чтобы построить функцию распределения F(x), отметим, что интервал[0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части:(,0),[0,2], (2, ). Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае(когда x<0) вероятность события {<x} вычисляется так:xF ( x)  P(  x ) x p (t )dt   0dt  0,так как плотность  на полуоси (,0) равна нулю. Во втором случаеF ( x) x0 p (t )dt  p (t )dt   p (t )dt  0 xx03 2x3tdt.8 08Наконец, в последнем случае, когда x>2,F ( x) x0 p (t )dt  p (t )dt   p (t )dt   p (t )dt  0 x20223 2t dt  0  1  0  1,8 0таккак плотность p (x) обращается в нуль на полуоси (2, ) . Итак, полученафункция распределенияx00,3 xF ( x)   , 0  x  28x21,ВероятностьP 1    1вычислимпоформулеPa    b  F (b)  F (a ) . Таким образом, P 1    1  F (1)  F (1)  1 / 8  0.§ 2.

Числовые характеристики непрерывной случайной величиныМатематическое ожидание для непрерывно распределенных случайныхвеличин определяется по формуле M  x p ( x)dx.При этом интеграл,стоящий справа, должен абсолютно сходиться. Пусть  имеет плотность р(х) и(х) - некоторая функция. Математическое ожидание величины () можновычислить по формулеM  ( )   ( x ) p ( x ) dx ,если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.2Дисперсия  может быть вычислена по формуле D  ( x  M )2p( x )dx , атакже, как и в дискретном случае, по формуле D  M 2  (M ) 2 , гдеM 2 x2p ( x)dx .Все свойства математического ожидания и дисперсии, приведенные вглаве 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывныхслучайных величин.Задача 2.

Для случайной величины  из задачи 1 вычислить математическоеожидание и дисперсию.Решение.02233 x43M   x p ( x)dx   x  0dx   x  x 2dx   x  0dx   .808 4 0 22Далее,223 2 23 x512M   x p ( x )dx   x  x dx   , и значит,808 5 0 522D  M 2  (M )2 12 3  0,9.5 2§ 3. Примеры непрерывных случайных величинРавномерное распределение. Непрерывная случайная величина  имеетравномерное распределение на отрезке [a,b], если плотность распределенияр(x) сохраняет постоянное значение на этом промежутке: 1,x  [ a, b]p ( x)   b  a0,x  [a, b].График плотности равномерного распределения см. на рис.

.Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерногозаконаФункция распределения F(x) равномерно распределенной случайной величиныравна3x  a,0, x  aF(x)= ,a  x  b,b  ax  b.1,Математическое ожидание и дисперсия М (b  a ) 2ab; D .212Показательное (экспоненециальное) распределение.

Непрерывнаяслучайная величина , принимающая неотрицательные значения, имеетпоказательное распределение с параметром >0, если плотность распределениявероятностей случайной величины равнаe  x ,x  0,р(x)= x  0.0,Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательногозакона.Функция распределения показательного распределения имеет вид1  å õ ,x  0,F(x)= x  0,0,11а математическое ожидание и дисперсия равны М= , D= 2 .Нормальное распределение (распределение Гаусса). Непрерывнаяслучайная величина называется распределенной по нормальному закону спараметрами a и  2 , если ее плотность распределения равна( xa) 212ð ( x) e 2 . 22Через   N (a ,  ) обозначается множество всех случайных величин,распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами a и  2 .Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна1F ( x)  2xe(t  a ) 22 2dt .Рис.

6.4. Функция распределения и плотность распределения нормальногозакона4Параметры нормального распределения суть математическое ожиданиеM  a и дисперсия D   2 .В частном случае, когда a  0 и  2  1 нормальное распределениеназывается стандартным, и класс таких распределений обозначается  N (0,1) .В этом случае плотность стандартного распределения равнаx21 2ð ( x) e ,2а функция распределенияxt21F ( x) e 2 dt2  Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), ипотому для функции F (x) составлены таблицы. Функция F (x) связана свведенной в главе 4 функцией Лапласаõt21 ( x) e 2 dt ,2 01следующим соотношением F ( x )  2   ( x ) . В случае же произвольныхзначений параметров a и  2 функция распределения F (x) случайнойвеличины   N (a, 2 ) связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:1хаF ( x )    .2  Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайнойвеличины   N (a, 2 ) на интервал (c1 , c2 ) можно вычислять по формулеc àc àPc1    c2    2   1.    Неотрицательная случайная величина  называется логарифмическинормально распределенной, если ее логарифм =ln подчинен нормальномузакону.

Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально222распределенной случайной величины равны М= ае  и D= a 2 e  (e   1) .Задача 3. Пусть задана случайная величина   N (1,4) . Вычислить вероятностьP0    3.Решение. Здесь a  1 и   2 . Согласно указанной выше формуле 3 1 0 1P0    3      (1)   (0,5)   (1)   (0,5)  0,34  0,19  0,53. 2  2 Распределение Лапласа задается функциейf(x)= -xe,2-х.(двусторонняя показательная плотность).5Функция плотности распределения симметрична относительно нуля иМ=Хmed=Xmod=0 и асимметрия -=0. Дисперсия в два раза большедисперсии случайной величины, распределенной по показательному законуD= =2и эксцесс равен =3.2Рис.6.5.

Функция плотности распределения Лапласа.Случайная величина  распределена по закону Вейбулла, если она имеетфункцию плотности распределения, равнуюx  1e  x ,f ( x)  0,x  0,x  0.Функция распределения в этом случае определяется следующимвыражением :1  e  x ,F ( x )  0,x  0,x  0.Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многихтехнических устройств.

В задачах данного профиля важной характеристикойявляется интенсивность отказа (коэффициент смертности) (t) исследуемыхэлементов возраста t, определяемый соотношением (t)=f  (t )1  F (t ). Если =1, тораспределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, аесли =2 - в так называемое распределение Рэлея.Математическое ожидание распределения Вейбулла:2дисперсия - D  0 [ Г (1 - М  1Г (1 1) и21)  Г 2 (1  )] , где Г(а) -функция Эйлера. .В различных задачах прикладной статистики часто встречаются такназываемые«усеченные»распределения.Например,налоговыеорганыинтересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых6превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении.Этираспределенияоказываютсяприближенносовпадающимисраспределением Парето. Распределение Парето задается функциямиF(x)=P(<x)=1–(с0 ) ;хf ( x )  c0  1( ) ,c0 xгде 0, а хс0.

Основные числовые характеристики этого распределениясуществуют не всегда, а лишь при соблюдении определенных требований кзначению параметра : математическое ожидание - М=дисперсия - D=с 0 1при 1,с02существует при 2;(  1) 2 (  2)§ 4. Функции от случайных величинПусть задана плотность р ( x ) случайной величины  и монотоннаядифференцируемая функция y   (x) . Тогда плотность распределенияслучайной величины    ( ) равнар ( y )  р ( 1 ( y ))d  1 ( y ).dyЗдесь  1 ( y ) – функция, обратная к функции y   (x) .Задача 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [0,2].

Найтиплотность случайной величины      1 .Решение. Из условия задачи следует, что0, x  [0,2]p ( x)   1 2 , x  [0,2]Далее, функция y   x  1 является монотонной и дифференцируемойфункцией на отрезке [0,2] и имеет обратную функцию x   1 ( y )  y 2  1 ,производная которой равнаd 1 ( y ) 2 y. Следовательно,dy0,d 1 ( y )ð ( y )  ð ( ( y )) ð ( 1 ( y ))  2 | y | 2 | y |  1dy 2 ,1y 2  1  [ 0, 2]y 2  1  [ 0, 2].Значит,0,ð ( y )   y ,y  [ 3 ,1]y  [ 3 ,1]7§ 5.