chapter4 (Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (PDF))

Глава 4. Повторные независимые испытания. Теорема Бернулли.§ 1. Испытания Бернулли.Теория вероятностей имеет дело с такими экспериментами, которые можноповторять, по крайней мере теоретически, неограниченное число раз. Пустьнекоторый эксперимент повторяется n раз, причем результаты каждогоповторения не зависят от исходов предыдущих повторений. Такие серииповторений часто называют независимыми испытаниями. Частным случаемтаких испытаний являютсянезависимые испытания Бернулли, которыехарактеризуются двумя условиями:1) результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов,называемых соответственно «успехом» или «неудачей»;2) вероятность «успеха» в каждом последующем испытании не зависит отрезультатов предыдущих испытаний.Теорема Бернулли.

Если производится серия из n независимых испытанийБернулли, в каждом из которых успех появляется с вероятностью р, товероятность того, что успех в n испытаниях появится ровно m раз , выражаетсяформулойPn(m)=Cnmpmqn-m,где q=1-p – где вероятность неудачи.Эта формула называется формулой Бернулли.Задача 1. Игральная кость бросается 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3раза выпадет «шестерка».Решение. Пятикратное бросание кости можно рассматривать какпоследовательность независимых испытаний с вероятностью успеха(«шестерки») равно 1/6 и вероятностью неудачи — 5/6.

Искомую вероятность331 5найдем по формуле P6 ( 3 )  C      0 . 053 .6 636Задача 2. Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет неболее, чем 2 раза.Решение. Искомая вероятность равна сумме трех вероятностей0615241 11 11 1Р = Р6(0) + Р6(1) + Р6(2) = C      C 61      C 62      0,315 .2 22 22 206§ 2. Наивероятнейшее число успехов.Число m, при котором биномиальные вероятности Pn(m) достигаютсвоего максимального значения (при фиксированном числе испытаний n)называют обычно наиболее вероятным (наивероятнейшим) числом успехов.Справедливо следующее утверждение о наивероятнейшим числе успехов:1Наивероятнейшее число успехов m* в серии из n независимыхиспытаний Бернулли (с вероятностью успеха р в одном испытании)определяется соотношением np-qm*np+p, причем1. если число np-q - дробное, то существует одно наивероятнейшее числоm*;2.

если число np-q - целое, то существует два наивероятнейших числаm*=np-q, m*=np+p;3. если np - целое число, то наивероятнейшее число m*=np.Задача 3. Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное числоуспехов (выпадений герба).Решение. Возможными значениями для числа успехов в 3-х рассматриваемыхиспытаниях являются m = 0, 1, 2 или 3.

Пусть Am - событие , состоящее в том,что при 3-х подбрасываниях монеты герб появляется m раз. По формулеБернулли легко найти вероятности событий Am (см. таблицу):m0123Pn(m)1/83/83/81/8Из этой таблицы видно, что наиболее вероятными значениями являются числа 1и 2 (их вероятности равны 3/8).

Этот же результат можно получить и изприведенного выше утверждения.Задача 4. Вероятность получения удачного результата при производствесложного химического опыта равна ¾. Найти наивероятнейшее число удачныхопытов, если общее их количество равно 10.Решение. В этом примере n=10, p=3/4=0,75, q=1/4=0,25.

Тогда неравенство длянаиболее вероятного числа успехов выглядит так:np-qm*np+p,т.е. 10*0,75-0,25 m*10*0,75+0,75,или 7,25m*8,25.Существует только одно целое решение этого неравенства, а именно, m*=8.§ 3. Приближенные формулы.При больших n непосредственное вычисление вероятностей Pn(m) поформуле Бернулли сопряжено с трудностями вычислительного порядка,поэтому в таких случаях используют различные варианты приближенныхвычислений, основанные на предельных теоремах Пуассона и Муавра-Лапласа.А.

Приближенная формула Пуассона используется в том случае, когдачисло испытаний Бернулли (n) – велико, а вероятность успеха в отдельномиспытании мала (p<0,1). Тогдаm  Pn(m) e ,   np.m!Задача 5. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%.Контролер проверяет 1000 деталей.

Какова вероятность обнаружить ровно 3бракованных детали? Какова вероятность обнаружить не меньше 3-хбракованных деталей?Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» р=0,005, иnpq <5. Применяя пуассоновское приближение с np=5, получаем2P1000(3)53 5e ,3!P1000(m3)=1-P1000(m<3)= 1-[ P1000 (0)  P1000 (1)  P1000 (2) ] 1-5m 5 e и по таблицам находим Р1000(3)0,14, Р1000(m3)0,875.m  0 m!2В силу определенной «симметричности» понятий «успех» и «неудача»приближенная формула Пуассона может использоваться в схеме независимыхиспытаний Бернулли также и в случае, когда р близко к единице (т.е.

q<0,1), аnq - не велико и не мало:mPn(n-m)=Cnn-mpn-mqm=Cnmpn-mqm  e   ,   nq.m!Б. Приближенные формулы Муавра – Лапласа. Если в схеменезависимых испытаний Бернулли число испытаний n велико, а вероятностиуспеха и неудачи не малы (например, 0,1<p<0,9), то вероятность Pn(m)появления ровно m успехов в n испытаниях вычисляется по формуле (локальнаятеорема Муавра-Лапласа): ( õ)m  npPn(m)=,x,npqnpqx21 2где (х)=e . Функция (х) – четная и для положительных значений х2составлена таблица ее значений.Задача 6.

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстрелер=0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень8 раз.8  10  0,75Решение. Здесь n=10, m=8, p=0,75, q=0,25. Найдем х= 0,36 , и10  0,75  0,25по таблице определяем  (x)=0,3739, тогда искомая вероятность равна0,3739Р10(8)= 0,273 .10  0,75  0,25Для вычисления вероятности Pn(m1,m2)= P(m1mm2)события,состоящего в том, что число успехов в n испытаниях Бернулли окажетсязаключенным в пределах от m1 до m2, используется следующая приближеннаяформула (интегральная теорема Муавра-Лапласа):Pn(m1,m2)Ф(x2)-Ф(x1),хz2m  npm  np1где x1= 1, x2= 2, а Ф(х)=e 2 dz - функция Лапласа.npqnpq2 0Функция Ф(x) равна 0 при x=0; Ф(-х)-Ф(x) для всех x, то есть симметричнаотносительно x=0.

Для функции Ф(х) составлены специальные таблицы приположительных значениях аргумента.3Задача 7. Вероятность появления события А в каждом из 21 независимыхиспытания равна 0,7. Найти вероятность того, что событие А появится вбольшинстве испытаний.11  21  0,7Решение. х1= 1,76 . Аналогично подсчитывается х2 = 3. Тогда21  0,7  0,3Р(11m21)=Ф(х2)–Ф(х1)=0,49865+0,4608=0,9594.Используя интегральную формулу Муавра-Лапласа можно вычислитьвероятность того, что частота появления успеха в n независимых испытанияхБернулли (т.е. число m/n) отклонится от вероятности успеха не более чем наmn положительную величину  : P  p     2Ô  .pq  nЗадача 8. Вероятность появления события в каждом из 400 независимыхиспытаний равна 0,8.

Найти такое положительное число , чтобы свероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частотыпоявления события от его вероятности не превышала .Решение. В этом примере p=0,8, n=400. По условию задачиmn   n   0,495 , ПоP  p     0,99  2Ô  .Следовательно,Ôpq pq  nтаблице для функции Лапласа определяем n 2,58; и значит, =0,0516.pqПриближенную формулу можно использовать и в следующей «урновой»схеме: из генеральной совокупности объема N, содержащей М белых и N-Mчерных шаров, осуществляется последовательный выбор без возвращения nэлементов.

Вероятность того, что в полученной выборке окажется ровно mбелых шаров, вычисляется по формулеС m C n mPM,N(m,n)= M nN  M .CNЕсли объем генеральной совокупности и число белых шаров достаточно велики(N, M, M/Np=const), то «урновую» схему можно приближеннозаменить схемой Бернулли:PM,N(m,n)Pn(m) , где Pn(m)=Cnmpmqn-m§ 4.

Полиномиальные испытанияОт схемы независимых последовательных испытаний с двумя исходами(схема Бернулли или биномиальная схема) можно перейти к полиномиальнойсхеме, то есть к схеме последовательных независимых испытаний, в каждом изkкоторых возможны k исходов, k>2, с вероятностями p1,p2,…,pk, 0<pi<1,pi=1.i 1В этом случае пространство элементарных событий содержит kn таких событий,а вероятность того, что из n испытаний m1 закончатся первым исходом, m2 –вторым исходом,…, mk – k-м исходом равнаn!mmmPn(m1,…,mk) =p1 1 p2 2 ... pk k .m1!m2!...mk !4Полученная формулараспределения.носитназваниеполиномиальногозаконаЗадача 9.

Шесть рукописей раскладываются случайным образом в пять папок.Какова вероятность, что ни одна папка не останется пустой?Решение. На раскладку 6 рукописей в папку можно смотреть на серию шестиполиномиальных испытаний с 5 исходами (попадание в i-ую папку – это i-ыйисход). Вероятности исходов (папок) совпадают и равны p1  p2  ...  pk  1 / 5 .Событие A=«ни одна папка не останется пустой» означает, что в одну папкупопадут 2 рукописи, а в остальные папки – по одной рукописи. Следовательно,вероятность того, что в первую папку попадут 2 рукописи, а в остальные папки– по одной рукописи, равна211116!  1   1   1   1   1  6! 1P6 (2,1,1,1,1) .       2!1!1!1!1!  5   5   5   5   5  2! 56а вероятность искомого события A (для которого неважно, в какую из 5 папокпопадают две рукописи) равнаP( A)  5P6 (2,1,1,1,1)  5 6! 1 6! 1   .2! 56 2! 55Задачи для самостоятельного решения1.

Ежедневно новая сделка совершается с вероятностью 0,2 (но не болееодной в день). Какова вероятность, что за 5 дней будет совершено 3сделки?2. В результате каждого визита страхового агента договор заключается свероятностью ¼. Какова вероятность, что из 10 визитов страховогоагента 5 закончатся заключением договора?3. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,9. Найти вероятностьтого, что он поразит мишень не двух раз, сделав 5 выстрелов.4. Для вычислительной лаборатории приобретено 9 компьютеров, причемвероятность брака для одного компьютера равна 0,1. Какова вероятность,что придется заменить более двух компьютеров?5.