chapter2 (Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (PDF))

Глава 2. Классическая вероятностная модельГеометрическая вероятность§ 1. Пространство элементарных исходов.Каждый эксперимент заканчивается каким-то определенным результатом,который не всегда возможно заранее предугадать. Для того, чтобы формальноописать некоторый эксперимент, нужно указать все возможные вариантырезультатов, которыми этот эксперимент может закончиться.В теориивероятностей такие результаты называются исходами. Множество  всехвозможных исходов эксперимента называется пространством элементарныхисходов.

Предполагается, что эксперимент может закончиться одним и толькоодним элементарным исходом. В наиболее простом случае все эти исходы можноперечислить: = 1 , 2, ... n, или = 1, 2 , ....Такое пространство элементарных исходов называется дискретным.Простейшим пространством элементарных исходов является такоепространство, в котором все указанные исходы рассматриваемого эксперимента1) равновозможны;2) взаимно несовместны (т.е. в результате эксперимента может произойтиодин и только один из указанных исходов),3) все исходы образуют полную группу событий (т.е . никакие другиеисходы, кроме перечисленных, не могут произойти).Такое пространство конечно и называется пространством равновозможныхисходов (или симметричным пространством).ПРИМЕР 1.

При бросании симметричной монеты возможны два исхода –выпадение решки или герба. Они удовлетворяют всем трем указанным вышеусловиям и потому в этом случае пространство элементарных исходовпредставляется так (здесь буквами Р и Г обозначены решка и гербсоответственно):  Р, Г .ПРИМЕР 2. При одновременном бросании двух монет исходы представляютсобой упорядоченные пары, состоящих из символов Р и Г. Первый элемент этойпары – результат, выпавший на первой монете, второй элемент – результат навторой монете.

Очевидно, что таких пар – четыре:  РР, РГ , ГР, ГГ .ПРИМЕР 3. В случае бросания игральной кости может выпасть любое из чисел1, 2, 3, 4, 5, 6. Поэтому пространство элементарных исходов   1,2,3,4,5,6.ПРИМЕР 4. При одновременном бросании двух игральных костей элементарныеисходы представляют собой пары (x, y), где x – число очков, выпавшее на первойкости, а y – число очков на второй кости. Всего таких пар – 36:  ( x, y ) : x  1,...,6, y  1,...,61§ 2. Событие и его вероятность.В дискретном пространстве вероятность каждого элементарного исходасчитается заданной и обозначается Р(i), или просто рi , причем всегда1) рi  0n2)pi 1 (илиi 1pi 1 ),i 1т.е. сумма (конечная или бесконечная) вероятностей всех элементарных исходовравна единице.

Элементарные исходы мы называем элементарным событием.Событием A   называетсялюбое подмножество, состоящее изэлементарных исходов пространства элементарных событий . Говорят, что«событие А произошло», если эксперимент закончился одним из элементарныхисходов iА.Вероятностью события А называется сумма вероятностей всехэлементарных исходов, входящих в А, то есть Р(А)=  P( i ) . Из этого i Aопределения вероятности события следует, что всегда 0  Р(А)  1.В случае равновозможных исходов вероятность элементарного события Аопределяется формулойmP( A)  ,nгде n |  | – число элементов во множестве , которое обычно называется«общее число исходов», а m | A | – число элементов во множестве A, называемое«числом благоприятствующих исходов».Событие А, состоящее из всех элементарных исходов, не входящих в А,называется противоположным событием к событию А. Оно происходит тогда итолько тогда, когда событие A не произошло.

Очевидно что Р(А) + Р(А) = 1. Эторавенство используется для вычисления вероятности события А в случае, когдавероятность противоположного события известна или легко может быть найдена,тогда Р(А) = 1 - Р(А).Таким образом, для вычисления вероятности в каждой задаче важноопределить, в чем состоит эксперимент, правильно построить соответствующеепространство элементарных событий  и выделить в нем требуемое событие A.Затем, используя методы комбинаторики, подсчитать число элементов в  и A.Задача 1.

В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта.Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины?Решение. Элементарными исходами здесь являются выборки, включающие 3фрукта.Решение. Так как порядок здесь безразличен, будем считать выборкинеупорядоченными (и, разумеется, бесповторными). Общее число элементарныхисходов |  | равно числу способов выбрать 3 элемента из 9, т.е. числу сочетанийn= C93 . Число благоприятных исходов m= | A | будет равно числу способов выбора2трех апельсинов из имеющихся 5, т.е. числу сочетаний трех элементов из 5, т.е.С 53 .

Тогда вероятность5!C 53 2!3!P( A)  3  0,12 .9!C93!6!Задача 2. Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любоечисло от 1 до 10. Считая, что выбор каждым из студентов любого числа иззаданных равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из нихзадуманы числа совпадут.Решение. Подсчитаем сначала общее количество исходов. Элементарнымиисходами будем считать упорядоченные совокупности задуманных чисел: N1, N2,N3, где N1 - число, задуманное первым студентом, N2 - вторым и N3 - третьимПервый из них выбирает одно из 10 чисел — 10 возможностей, второй делает тоже самое — 10 возможностей, наконец, выбор третьего также 10 возможностей.Согласно основной теоремы комбинаторики общее число способов будет равно:n= N1N2N3=103 = 1000 элементарных исходов.Подсчет количества благоприятных исходов более сложен.

Заметим, чтосовпадение задуманных чисел может произойти у любой пары студентов (илидаже одновременно у всех троих). Чтобы не разбирать отдельно все эти случаи,удобно перейти к противоположному событию, т.е. подсчитать количество техслучаев, когда все три студента задумывают разные числа. Первый из них попрежнему имеет 10 способов выбора числа. Второй студент теперь имеет лишь 9возможностей (поскольку ему приходится заботиться о том, чтобы его число несовпало с задуманным числом первого студента N2  N1. Третий студент ещеболее ограничен в выборе — у него всего 8 возможностей (из 10 возможных дляN3 исключаются два числа: N3  N1 , N3  N2).

Поэтому общее число комбинацийзадуманных чисел, в которых нет совпадений, равно в силу той же основнойтеоремы m=10  9  8 = 720. Остальные случаи 1000 - 720 = 280 характеризуютсяналичием хотя бы одного совпадения. Следовательно, искомая вероятностьсовпадения равна Р=280/1000= 0,28.Задача 3. Найти вероятность того, что в 8-значном числе ровно 4 цифрысовпадают, а остальные различны.Решение. Событие А={8-значное число содержит 4 одинаковые цифры}.

Изусловия задачи следует, что в числе 5 различных цифр, одна из них повторяется число способов её выбора - любая из 10 цифр, и эта цифра занимает любые 4места в числе – число способов С 84 . Оставшиеся 4 места занимают различныецифры из неиспользованных 9, и так как число зависит от порядка расположенияцифр, то число способов выбора четырех цифр равно А94 . Тогда числоблагоприятствующих исходов | A | 10С 84 А94 . Всего же способов составления 8значныхчиселравно||=108.Искомаявероятностьравна4 4| A | 10C8 A98! 9! 1P  0,021168 .8||104!4! 5! 107Задача 4. Шесть клиентов случайным образом обращаются в 5 фирм.

Найтивероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратится.3Решение. Рассмотрим обратное событие A , состоящее в том, что в каждую из 5фирм обратился клиент, тогда в какую-то из них обратились два человека, а востальные 4 фирмы – по одному клиенту.

Таких возможностей5  6!| A | 5  N 6 (2,1,1,1,1) . А всего способов распределить 6 клиентов по 51!1!1!1!2!5  6! 1фирмам|  | 5 6 .ОтсюдаÐ( A)   0,1152 ,следовательно1!1!1!1!2! 56P ( A)  1  Р ( A)  0,8848 .Задача 5. Среди 25 экзаменационных билетов имеется 5 «счастливых» и 20«несчастливых». Студенты подходят за билетами один за другим по очереди.

Укого больше вероятность вытащить «счастливый» билет: у того, кто подошелпервым, или у того, кто подошел вторым?Решение. Пусть «счастливые» билеты имеют номера 1,2,3,4,5. Обозначим через i1номер билета, взятого первым студентом, через i2 - номер билета, взятого вторымстудентом, тогда элементарным исходом будет пара (i1 , i2 ) , а пространствоэлементарных исходов  (i1 , i2 ) : i1  1,...,25, i2  1,...,25, i1  i2 ,здесь все элементарные исходы равновероятны.

Событие А={первый студентвзял «счастливый» билет} имеет видA  (i1, i2 ) : i1  1,...,5, i2  1,...,25, i1  i2 ,а событие В={второй студент взял «счастливый» билет} имеет вид:B  (i1 , i2 ) : i1  1,...,25, i2  1,...,5, i1  i2 .1Каждое из событий А и В содержит | A || B | С 51С 24 120 элементов, а всепространство Р(А)=Р(В)=1/5.содержит11|  | С 25С 24 600 элементов.Следовательно,§ 3.