А.А. Шкаликов - Задачи, рекомендованные для разбора на семинарских занятиях

Задачи, рекомендованные для разбора на семинарскихзанятиях по курсу «Действительный анализ»Лектор — А. А. ШкаликовI поток, IV семестр, 2005–2006 г.Последняя компиляция: 25 апреля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.1. Мера Лебега1. Доказать включениеA △ B ⊂ (A △ C) ∪ (C △ B).2. Доказать, что любой элемент наименьшего кольца R(S), порождённого полукольцом S, представим в видеA=nGA ∈ R(S),Ak ,Ak ∈ S.k=13. Доказать, что мера µ, заданная на полукольце S, однозначно продолжается на кольцо R(S).

При этом µявляется σ-аддитивной на R(S), если µ σ-аддитивна на S.4. Доказать, что функция на полукольце интервалов [a, b) ⊂ R µ([a, b)) = F (b) − F (a) задаёт σ-конечнуюмеру, если F (t) — непрерывная слева неубывающая функция.5. Доказать, что мера в задаче 4 является σ-аддитивной тогда и только тогда, когда F (t) непрерывна слева.6. Доказать, что A измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когдаµ∗ (A) + µ∗ (E r A) = 1(здесь E — единица, и µ(E) = 1).7.

Доказать, что произвольное ограниченное измеримое множество в Rn представимо в виде объединенияборелевского множества и множества меры нуль.8. Доказать, что непрерывная функция в Rn измерима. То же для монотонной функции.9. Доказать, что непрерывная почти всюду функция в Rn измерима.10. Построить нетривиальную меру в R1 , относительно которой все подмножества в R1 измеримы.11. Доказать, что ограниченное множество A ⊂ Rn измеримо тогда и только тогда, когда найдутся замкнутоеи открытое множества Fε , и Gε , такие, что Fε ⊂ A ⊂ Gε и µ(Gε r Fε ) < ε2.

Интеграл Лебега12. Доказать, что в случае f (x) > 0 все нижеприведенные определения эквивалентны: k−1k1. Пусть f (x) измерима, fn (x) := k−12n , если x ∈ Akm = y | 2n 6 f (y) 6 2n , k = 1, 2, . . .. f (x) называется суммируемой, если f0 (x) суммируема. Тогда fn (x) также суммируемы и I(fn ) ր I(f ).2. f суммируема, если существует последовательность суммируемых простых функций fn , сходящихсяк f (x) равномерно. При этом I(fn ) −→ I(f ) и не зависит от выбора такой последовательности fn .3.

f суммируема, если f измерима иI(f ) :=supI(g) < ∞g(x)6f (x)где sup берётся по простым функциям, принимающим конечное число значений.14. f суммируема если f измерима иI(f ) :=Z∞µ(Gf (t))dt < ∞,0где Gf := {x | f (x) 6 t}. Здесь подразумевается несобственный интеграл Римана, который корректноопределён, так как мера множества Gf (t) –— монотонная функция от I.13.

Доказать равенство(LS)Zbf dµ(x) = (L)aZbf µ′ dxa14. При каких a функция x−a принадлежит Lp (0, 1), p > 1?sin xβ15. При каких α, β функция f (x) =xαa) интегрируема по Риману на (0, 1) — возможно, в несобственном смысле?б) интегрируема по Лебегу (т. е. ∈ L1 (0, 1))?16. Привести пример ограниченной функции, интегрируемой по Лебегу, но не интегрируемой по Риману.

Привести пример функции, интегрируемой по Риману в несобственном смысле, но не интегрируемой по Лебегу.Возможен ли такой пример для неотрицательной функции?17. Доказать строгое включение Lp1 (0, 1) ⊂ Lp (0, 1) при p1 > p. Доказать, что Lp1 (R) не вложено в Lp (R) нипри каких p 6= p1 .18. Показать, что в условиях теоремы Фату предельный переход под знаком интеграла гарантировать нельзя.19. Следует ли из суммируемости f (x) суммируемость |f (x)|? Наоборот, следует ли из суммируемости |f (x)|суммируемость f (x)?3. Сходимость20. Привести пример последовательности функций {fn }, сходящейся по мере, но не сходящейся почти всюду.21.

Выяснить связь между сходимостями••••в L1 (0, 1)в L2 (0, 1)по мерепочти всюду(связь между сходимостями по мере и почти всюду прояснена на лекциях). Построить последовательностьфункций, сходящуюся в L1 (R), по не сходящуюся в L2 (R), и наоборот.22. Доказать, что в пространстве измеримых функций нельзя ввести метрику, сходимость в которой эквивалентна сходимости почти всюду.4. AC и BV функции:23.24.25.26.27.Найти полную вариацию функций f (x) = cos x на [0, 4π], f (x) = x − x2 на [0, 1].Доказать, что канторовская лестница — непрерывная, но не абсолютно непрерывная функция.При каких а функция α функция xα sin x1 является функцией ограниченной вариации на (0, 1)?Какая связь между AC− и BV − классами?Пусть f ∈ BV (0, 1).

Пояснить, почему существует f ′ (x), причём f ′ (x) ∈ L1 (0, 1). ДоказатьZf ′ (t)dt 6 f (x) − f (0).2.