Прошлогодние билеты

Билет 1: Краевая задачаu′′ − u = −1u(0)=u(1)=0h=1/4Написать разностную задачу. Получить решениедифференциальной и разностной задачи.Ответ:Y1=Y3 =0.0849Y2=0.1127Билет 2: Задача Кошиu′ +xu2=0u(1)=1(Видимо) определить погрешностьРешение методом Рунге-КнуттаОтвет: u(1+h)=1-h+0.5h2-1/4h4+O(h5) (точное решение)Y1=1-h+0.5h2+0.5h3-0.5h4=y(1+h)Y(1+h)-u(1+h) ≈ 0.5h3Билет 3: u′ (x)+xu2=0, u(1)=1.(видимо) определить погрешностьy(1+h)=1-h+0.5h2+0.25h3-0.125h4+…y(1+h)-u(1+h) ≈ h3/4Билет 4: u′(x) + (1+ x)u3 = 0 u(0)=1;Сделать 1 шаг по методу Рунге-Кнутта с h=0.05,Ответ: u(h)=0.95238, y(h)=0.95250α =1Билет 5: Доказать, что для такой задачиdu=u2 , 0<t<1/u0, u(0)=u0>0dtразностная схемаyn+1 − ynτ= yn * yn+1 ,n=0,1,…является точной, те yn=u(tn)2dxс помощью квадратурной формулыx1Билет 6: Вычислить I = ∫Гаусса с 3-мя узламиОтвет: Ih=0.6931216Билет 7: Методом Симпсона с шагом h=1/4 вичислить интеграл2dxI =∫.

Дать априорную и апостериорную оценкиx1погрешности.Ответ: Ih=0.6931545ψ ≤3.255* 10−5Ih-I=8*10-6Билет 8: С помощью квадратурной формулы Гаусса с двумяузлами вычислить интеграл2dxI =∫x1Ответ: Ih=0.6923Билет 9: Для n=3 построить квадратурные формулыинтерполяционного типаρ(x) ≡1, x1=a, x2=bbb− aa+b( f (a) + 4 f () + f (b))Ответ: ∫ f (x)dx≈62aБилет 10: Построить интерполяционный многочлен 2-ойстепениf(x)=cos(x),x0=0,x1=π, x2=π3431Ответ: L2(x)= - 2 x2x+12ππБилет 11: Построить интерполяционный многочлен функции u=1второй степени по ее значениям в точках x0=1, x1=0.5,1+ x2x2=1Ответ: L2(x)= -0.2x2-0.3x+1Билет 12: Построить интерполяционный многочлен 2-ойстепени функции11− xx0= -1, x1= -0.5, x2=0и вычислить его значение в точке x=0.515Ответ:L2(x)= x2 + x +136y=Билет 13: Построить сплайн для функции f(x)=x0=0, x1=1, x2=2Ответ: на [0,1]141109 x−1 − x−12− x−13S1=0.581108184На [1,2]1на [0,2] ,1+ xS2=1 4715− x−2  x−2 2 x−2 33 32427324Билет 14: Выписать систему уравнений, определяющихкубический сплайн с условием периодичностиОтвет:f i1−f i f i−f i1− , i=1…N-1hici-1+2(hi+hi+1)ci+hi+1ci+1=6 hi1hic0=cN; c1=cN+1; …h0=hN; f0=fNБилет 15: Решить СЛАУ методом Гаусса5x1+3x2+4x3=235x1-3x2+4x3=115x1+3x2-4x3=-1x1=1; x2=2; x3=3Ответ : x1=1; x2=2; x3=3Билет 16: 2x+y=4x+y=3Записать метод простой итерации и определить, при каких τон сходится, x0=y0=0; τ =2/3, построить две первые итерации.x −x nОтвет: n12x n y n=4τy n1−y nx n y n=3τ23 50< τ <λ max=≈2.

618λ max  A 28 /34 /928 /9¿¿righrigh¿¿На первом шаге итерации получим, на втором¿¿¿¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿¿¿¿Билет 17: Найти число обусловленности матрицы101 −0. 01Ответ: 200Билет 18: Найти число умножений, требуемых дляперемножения двух матриц y=Ax ( порядок матрицы A=m).Ответ: m2Билет 19: Найти число умножений, требуемых дляперемножения двух квадратных матриц y=AB (порядок матрицA и B=m)Билет 20: yi-1-2yi+yi+1=fiI=1,2,…,N-1, y0=m1, yN=m2Выписать формулы прогонки, посчитать число умножений иделений, определить, устойчива ли она.β i f i1Ответ: α i1=, βi1=, i=1…N-11−α i1−α iα 1 =0, β1 =m1Число делений = 2(N-1)Число умножений =N-1Прогонка устойчива.

Ахуеть, да?.