Программа спецкурса, лектор - Винберг

Программа спецкурса «Дискретные группы отражений»Лектоp — Э. Б. Винберг2005–2006 г.1. Векторная модель пространства Лобачевского. Гиперплоскости, полупространства и отражения в пространствах постоянной кривизны. Взаимное расположение двух гиперплоскостей.2. Общая теория дискретных групп отражений: их камеры, порождающие элементы и определяющие соотношения, стабилизаторы точек. Разложение произвольной дискретной группы движений в полупрямоепроизведение подгруппы отражений и некоторой группы симметрий ее камеры.3.

Абстрактные группы Кокстера. Схемы Кокстера. Каноническое линейное представление группы Кокстера.4. Решение проблемы равенства слов в группе Кокстера. Стандартные подгруппы группы Кокстера.5. Классы сопряженных отражений в группе Кокстера.6. Построение дискретной группы отражений по любому многограннику Кокстера.7. Критерий конечности абстрактной группы Кокстера.8. Тупоугольные системы векторов и строение остроугольных многогранников в евклидовом пространстве.9. Эллиптические и параболические схемы Кокстера, их классификация.10.

Системы корней, их группы Вейля, камеры Вейля, системы простых корней, матрицы Картана и схемыДынкина. Дуальная система корней. Классификация систем корней и их явная реализация в классическихслучаях.11. Расширенные группы Вейля, ограниченные камеры Вейля, расширенные системы простых корней, расширенные схемы Дынкина.12. Инварианты конечных линейных групп. Теорема Гильберта об инвариантах.

Топологический и алгебраический факторы, их сравнение (в комплексном случае).13. Теорема Шепарда – Тодда – Шевалле. (Доказательство в любую сторону по желанию.)14. Остроугольные многогранники и остроугольные семейства полупространств.15. Теорема Перрона – Фробениуса (для симметричных матриц). Существование и единственность неразложимого невырожденного остроугольного многогранника с заданной матрицей Грама.16. Простота остроугольного многогранника и описание его комбинаторного строения в терминах матрицыГрама.17. Квазиограниченные выпуклые многогранники в пространстве Лобачевского, их невырожденность и неразложимость. Характеризация квазиограниченных многогранников как многогранников конечного объема.18.

Модулярная группа Клейна PSL(2, Z) как подгруппа индекса 2 в дискретной группе отражений на плоскости Лобачевского.19. Дискретные группы движений пространства постоянной кривизны как дискретные подгруппы группы всехдвижений. Фундаментальная область дискретной группы движений, ее существование и инвариантностьее объема и свойства ограниченности.20. Алгоритм для нахождения камеры дискретной группы отражений.21. Арифметические дискретные группы (простейшего типа) в пространстве Лобачевского. Нахождение фундаментального многогранника для группы O(n, 1, Z) целочисленных преобразований Лоренца при n 6 9.Последняя компиляция: 4 мая 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.1.