Таблица неопределённых интегралов

1. , a+bx 1dx1).∫ a + bx = b ln(a + bx) + C2).n∫ (a + bx) dx =dx∫ (a + bx )2*).3).(a + bx) n+1+ C , n ≠ −1b(n + 1)1=−+ C, n ≠ 1n −1b(n − 1)(bx + a )nxdx1∫ a + bx = b [a + bx − a ln(a + bx)] + C2x 2 dx122∫ a + bx = b 3 12 (a + bx) − 2a(a + bx) + a ln(a + bx) + Cdx1 a + bx5).

∫= − ln+Cx(a + bx)axdx1ba + bx6). ∫ 2= − + 2 ln+Cax axx (a + bx)[4).]a ln(a + bx) + a + bx  + Cx 2 dx1a2 =a+bx−2aln(a+bx)−8). ∫+Ca + bx (a + bx) 2 b 3 dx11a + bx9). ∫=− 2 ln+C2a(a + bx) axx(a + bx)7).xdx∫ (a + bx)10).2=xdx∫ (a + bx)31b2=1b21a++C−2  a + bx 2(a + bx) 2. , a2+x2, a2-x2, a2+bx211).dx∫1+ x2= arctan x + Cdx1 x= arctan  + C2a+xadx1a+x13). ∫ 2=ln+C22a a − xa −xdx1x+a14).

∫ 2= − ln+C22a x − aa −x12).∫a15).∫ a + bx16).∫ a − bx17).2dx2=2=2=dxxdx∫ a + bx b+Carctan xaab112 ablna+x b+Ca−x b1aln x 2 − + C2bbx 2 dxx adx∫ a + bx 2 = b − b ∫ a + bx 2dx1x219). ∫=ln+Cx(a + bx 2 ) 2a a + bx 218).dx1 bdx=− − ∫2ax a a + bx 2(a + bx )dxx1dx=+21). ∫2 22∫(a + bx )2a (a + bx ) 2a a + bx 220).∫x2a + bx3.

, 22).∫a + bx dx = −23b(a + bx )3+C2(2a − 3bx) (a + bx )323).∫x24).∫x24*).∫25).∫26).∫26*).∫27).∫x28).∫xa + bx dx = −2a + bx dx =15b 2+C2(8a 2 − 12abx + 15b 2 x 2 ) (a + bx) 3105b 3+Cn + n \ 2 +1nn n + n \ 2 +1 nn −i (2i − 1)2n −i i i 2(−1)2a+(−1)(1+2i)ab x ∑2ix n dxi =1 2 (a + bx )3 + C=n(2i − 1) 2 n+ n \ 2+1 (1 + 2i )a + bx3b n +1  2 n + n \ 2+1 + ∑2ii =1xdx2(2a − bx)=−a + bx + C3b 2a + bxx 2 dx2(8a 2 − 4abx + 3b 2 x 2 )=a + bx + C15b 3a + bxn + n \ 2 +1nn n + n \ 2 +1 nn −i (2i − 1)2n −i i i (−)a+(−)ab x 2121∑2ix n dxi =1 a + bx + C=n(2i − 1) 2 n+ n \ 2+1 a + bxb n +1  2 n+ n \ 2+1 + ∑2ii =1dx1=a + bxa + bx − alndx2=bx − adx+Ca + bx + aaa + bx+C−aarctan−a− bx + a bdx29).

∫=−∫ax2a x bx + ax 2 bx + abx + a dxdx30). ∫= 2 bx + a + a ∫xx bx + aa2 + x2x 2a2x 2 ± a 2 dx =x ± a2 ±224. , 31).∫32).∫ (x33).∫x33*).2)3± a 2 dx =22x + a dx =∫ x (x2)n((x+ a 2 dx =34).222∫ x x ± a dx =35).∫dx2x 22 x ± 5a 28x ±a22+ a231n+2)(x+Cx2 ± a23a 4dxx2 ± a2 ++C∫8x2 ± a232+C+ a2x2x 2 ± a 28()dx∫))n+2+Cx2 ± a2 −= ln x + x 2 ± a 2 + Ca48∫dxx2 ± a2+C36).37).(x2∫39).∫∫x42).∫x43).44).(x)+axdx22)=± a2)3dx2a ±x150).n−21xln+Ca a + a2 ± x2a2 ± x2+Ca2xa2 ± x2dx1dx1=m 2∫a 2 ± x 2 2 x x 2 a 2 ± x 2 2adx23+C=−∫xdxa2 ± x2∫∫49*).)a2 ± x2a2 ± x2dxdx = −±∫+C22xxa ± x246).49).+ a2∫∫48).2a2 ± x2xdxdxdx = ± ∫+ a2 ∫+Cxa2 ± x2x a2 ± x245).47).(x(n − 2)5. , 46*).+Cx + a2xxdxa2dx+Cm∫∫22x2 ± a2x2 ± a2xdx=−+∫+C222x ±ax ± a2=212=−2 n+ax2 ± a2x 2 dx(x+Ca2 x2 ± a2=−2 3x 2 dx∫x41).2x= x2 ± a2 + C2(x∫38).)x ±axdx∫37**).=±2 32±axdx∫37*).40).dx∫∫∫∫∫∫∫dx1− x2dx= arcsin x + Ca2 − x2= arcsindx=a − bx 2dx(a2− x2xdx2a −xxdx(a2(a2)3−xxdx−xx 2 dxa2 m x2x+Cab+Carcsin  xbax=+Ca2 a2 − x21= − a2 − x2 + C)2 32a2 − x2)2 n===12a − x2+C1(( n − 2) a 2 − x 2xxdxa2±2 ∫ x2 m a22∫)n−2+Cdxx2 m a2+C+Cdx+Ca 2 − x 2 dx = 12  x a 2 − x 2 + a 2 ∫a2 − x2 3dxa 2 − x 2 dx = 18  x 5a 2 − 2 x 2 a 2 − x 2 + 3a 4 ∫a2 − x251).∫52).∫ ()()∫ x ± a m x dx = m (± a m x ) + C54).

∫ x (± a m x ) dx = m(± a m x ) + C54*). ∫ x (± a m x ) dx = m(± a m x )253).22 3255).56).57).222∫ x a m x dx =∫∫x59).∫x61).(a2mx)=a2 m x2x2x 2 m a 28(xx2 m a263).64).)x2 m a2 ±m∫dxx2 m a2a2 m x2+Ca2xa2 m x2dx1dx1=± 2∫a 2 m x 2 2 x x 2 a 2 m x 2 2adx23a48dxx2 m a2=−dx∫xa2 m x2∫a2 m x2a2 m x2dxdx=−m∫+C2xxa2 m x2∫∫∫dx2x ma22maxdx2x ma66).∫ (x)a2+Cx2 m a2= x2 m a2 + Cx 2 m a 2 dx =2x2 − a2x=m2 32x 2a2x m a2 m22)3m a 2 dx =x 22 x m 5a 28()dx∫+Cx2 m a2dx3a 4x2 m a2 ++C∫8x2 m a2∫ x ± a m x dx = m (± a m x ) + C68). ∫ x (± a m x ) dx = m(± a m x ) + C68*). ∫ x (± a m x ) dx = m(± a m x )222222∫ x x m a dx =21n+2x2x 2 m a 28(2 52152 n2 32132 32+C= ln x + x 2 m a 2 + Cdx(x+C+C∫∫69).∫a2 m x2a + a2 m x2dx = a 2 m x 2 − a ln+Cxx65).67).+C1xln+Ca a + a2 m x26.

, 62).2 n+221n+2=±2 3dx∫x58).60).x 2 dx2 52152 n22 3213+C)2 n+2x2 m a2 −+Ca48∫dxx2 m a2+C70).∫71).∫72).73).x 2 dxx2 m a2x 2 dx(x75).∫x22)32x −a32=1xsec −1 + Caax2 m a2+Ca2xx2 m a211dxdx=± 2∫x 2 m a 2 2 x x 2 a 2 m x 2 2adx2xxdxa2dx±+C∫∫22222x max m a2xdx=−+∫+C222x max m a2= sec −1 x + Cx −1dx∫x∫x77).m a2dx∫x74).76).==±∫xdxa2 m x2∫x2 − a2xdxadx = ∫− a arccos + C22xxx −a∫x2 m a2x2 m a2dxdx=−+∫+C22xxx m a2+C2ax ± x 27. , 2ax ± x 2 , - t = x ± a. - -2ax ± x 2 .2a (t m a ) ± (t m a ) 2 = 2at m 2a 2 ± (t 2 m 2at + a 2 ) = m a 2 ± t 2 - / .a + bx + cx 2 , c > 0 2cx + b 2 + C , если b 2 < 4acarctan 22 4ac − b 4ac − b  2cx + b − b 2 − 4ac 1 + C , если b 2 > 4acln22b − 4ac  2cx + b + b − 4ac 1ln 2cx + b + 2 c(a + bx + cx 2 ) + Cc8.

, dx78). ∫=2a + bx + cxdx79). ∫=a + bx + cx 280).∫81).∫2cx ± bb 2 m 4acdxa + bx ± cx 2 m+C∫4c8ca + bx ± cx 2xdx1bdx+C= ±  a + bx ± cx 2 − ∫c2a + bx ± cx 2a + bx ± cx 2 a + bx ± cx 2 dx =9. , 82).dx∫ a + bx − cx 2 =83).∫84).∫85).∫a + bx − cx 2 , c > 01b 2 + 4aclnb 2 + 4ac + 2cx − bb 2 + 4ac − 2cx + b+C 2cx − b +Carcsin2ca + bx − cx 2 b + 4ac 2cx m bb 2 ± 4acdx22a + bx m cx dx =a + bx m cx ±+C∫4c8ca + bx m cx 21bdxxdx+C= m  a + bx m cx 2 − ∫c2a + bx m cx 2a + bx m cx 2 dx=110. 1 .

286).∫87).∫88).∫89).∫90).∫a+xdx = (a + x )(b + x ) + (a − b ) ln a + x + b + x + Cb+ xa−xx+bdx = (a − x )(b + x ) + (a + b ) arcsin+Cb+ xa+ba+xb−xdx = (a + x )(b − x ) − (a + b ) arcsin+Cb−xa+b1± xdx = ± 1 − x 2 + arcsin x + C1m x x−a dx+C= 2 arcsin (x − a )(b − x ) b−a dx∫ (x − a )(x − b) = ln90*).10*10*. ∫∫∫∫∫∫∫dxa2 x2 ± b2dxb2 − a2 x2xdxa2 x2 ± b2xdxb2 − a2 x2x 2 dx22a x ±bx 2 dx22b −a x22x−a + x−bx−a − x−b+Cax 2 ± b 21ln ax + a 2 x 2 ± b 2 + Ca1ax= arcsin + Cab1= 2 a2 x2 ± b2 + Ca1= − 2 b2 − a2 x2 + Ca==1 2 2222 22 ax a x ± b m b ln ax + a x ± b  + C32a =1 ax − ax b 2 − a 2 x 2 + b 2 arcsin  + C3 b 2a a 2 x 2 ± b 2 dx =1b2 x a 2 x 2 ± b 2 ± ln ax + a 2 x 2 ± b 22a + C1b2ax 22 2xb−ax+arcsin  + C∫ b 2 − a 2 x 2 2 ab 12 222 22 3∫ x a x ± b dx = 3a 2 (a x ± b ) + C122 222 2 3∫ x b − a x dx = − 3a 2 (b − a x ) + C122 222 222 2242 22∫ x a x ± b dx = 8a 3  ax(2a x ± b ) a x ± b − b ln ax + a x ± b  + Cx 2 dx=∫a2 x2 + b2ba2 x2 + b2 − ba2 x2 + b2 − bdx = a 2 x 2 + b 2 − ln+ C = a 2 x 2 + b 2 − b ln+Cx2axa2 x2 + b2 + b∫a2 x2 − b2bdx = a 2 x 2 − b 2 − b arcsin+Cxax∫b2 − a 2 x2b − b2 − a2 x2dx = b 2 − a 2 x 2 − b ln+Cxx∫a2 x2 ± b2a2 x2 ± b2dxdx=−+ a2 ∫+C2xxa2 x2 ± b2∫b2 − a 2 x2b2 − a2 x2dxdx=−− a2 ∫+C2xxb2 − a2 x21xln+C2b b + a x2 + b2a x +bdx1b∫ x a 2 x 2 − b 2 = − b arcsin ax + Cdx∫x2∫x=21x= ln+C2b b + b − a2 x2b −a xdx∫x∫x2222a2 x2 ± b2=m+Cb2 xa2 x2 ± b2dx2dx2b2 − a2 x2=−b2 − a2 x2+Cb2 x11.

3/4 5. 2a bx91). ∫ a dx =+Cb ln axx92). ∫ e dx = e + Cbx92*).∫ e (1 − )dx = ea xaxa x+Cex∫ x dx = Ei x + C , 64 e axax93). ∫ e dx =+Caxxx93*). ∫ xe dx =xe − e + C92*).i1x n e ax93*). ∫ x e dx =+ ∑ (− 1)ai=ndx−x93*). ∫ x = −e + Ce94). ∫ sin xdx = − cos x + Cnn − i +1xi −1∏jj =naxan − i +1e ax + Csin x∫ x dx = Si x + C95). ∫ cos xdx = sin x + C94*).sin x∫ x dx = Ci x + C96). ∫ tan xdx = − ln cos x + C97). ∫ cot xdx = ln sin x + C95*).dx∫ sec xdx = ∫ cos x = ln sec x + tan x + C98).π x = ln tan  +  + C 4 2xxxx+ sin − ln cos − sin + C2222x99).

∫ csc xdx = ln csc x + cot x + C = ln tan + C2= ln cos100).101).102).103).104).105).106).107).108).109).110).111).112).114).115).116).dx= tan x + Ccos 2 xdx2∫ csc xdx = ∫ sin 2 x = − cot x + Csin x1∫ sec x tan xdx = ∫ cos 2 x dx = sec x + C = cos x + Ccos x1∫ csc x cot xdx = ∫ sin 2 x dx = − csc x + C = − sin x + Cx 12∫ sin xdx = 2 − 4 sin 2 x + Cx 12∫ cos xdx = 2 + 4 sin 2 x + Csin n −1 x cos x n − 1nxdxsin=−+sin n− 2 xdx + C∫nn ∫cos n −1 x sin x n − 1nxdxcos=+cos n− 2 xdx + C∫∫nndx1 cos xn−2dx∫ sin n x = − n − 1 sin n−1 x + n − 1 ∫ sin n−2 x + Cdx1sin xn−2dx∫ cos n x = n − 1 cos n−1 x + n − 1 ∫ cos n−2 x + Ccos n+1 xnsinxcosxdx=−+C∫n +1sin n +1 xnsinxcosxdx=+C∫n +1 cos m −1 x sin m+1 x m − 1+cos m − 2 x sin n xdx + C , если m < n∫nmnm+nm +1∫ sin x cos xdx =  sin n−m1 x+cosxn −1−+cos m x sin n− 2 xdx + C , если n < mm+nm+n∫sin(m + n) x sin(m − n) x∫ sin mx sin nxdx = − 2(n + m) + 2(m − n) + C , (m ≠ n )sin( m + n) x sin(m − n) x∫ cos mx cos nxdx = 2(n + m) + 2(m − n) + C , (m ≠ n )cos(m + n) x cos(m − n) x∫ sin mx cos nxdx = − 2(n + m) − 2(m − n) + C , (m ≠ n)∫ sec2xdx = ∫ a −bx2arctantan  + C , если a > b222 a −b a+bdxx117).

∫=b − a tan + b + aa + b cos x 12ln+ C , если a < b b2 − a2xb − a tan − b + a2x a tan + b 22 + C , если a > barctan2222 a −b a −b dx119).∫ a + b sin x = xa tan + b − b 2 − a 212ln+ C , если a < b b2 − a2x22a tan + b + b − a2121).122).123).124).125).126).127).128).dx1 b tan x =arctan+C22cos x + b sin x ab a e x (sin x − cos x )xsinexdx=+C∫2e ax (a sin nx − n cos nx )axesinnxdx=+C∫a2 + n2e x (sin x + cos x )xcosexdx=+C∫2e ax (n sin nx + a cos nx )ax+C∫ e cos nxdx =a2 + n2e axaxxedx=(ax − 1) + C∫a2x n e ax n n −1 axn axxedx=− ∫x e +C∫aamxxaa mxmxxadx=−+C∫m ln x m(ln a )2∫a22a mx x nn−a mx x n −1dx + C∫n ln a m ln ae ax cos n −1 x(n sin x + a cos x ) n(n − 1) axaxne cos n − 2 xdx + C+ 2130).

∫ e cos xdx =222 ∫a +na +n131). ∫ sinh xdx = cosh x + C129).mx∫ xa dx =∫ cosh xdx = sinh x + C133). ∫ tanh xdx = ln cosh x + C134). ∫ coth xdx = ln sinh x + C135). ∫ sech xdx = 2 arctan e + C132).x136).x∫ csch xdx = ln tanh 2 + C∫ sech xdx = tanh x + C138). ∫ csch xdx = − coth x + C139).

∫ sech x tan xdx = sech x + C140). ∫ csch x cot xdx = − csch x + C2137).2x 1+ sinh 2 x + C2 4x 122142). ∫ cosh xdx = + sinh 2 x + C2 4141).∫ sinh2xdx = −12. 725. 2143).∫ ln xdx = x ln x − x + C144).∫ x ln x = ln(ln x) + Cdx ln x1ln xdx = x n +1 −2 n + 1 (n + 1)nnn −1146). ∫ ln xdx = x ln x − n ∫ lnxdx145).∫xn+Cx m +1 nn147). ∫ x ln xdx =ln x −x m ln n −1 xdx∫m +1m +1mn.