Домашнее задание №2 по теории вероятностей и случайным процессам (вариант №6)

2Домашнее задание №2.11IIDТеория вероятностей и случайные процессы.Посвящается светлой памяти Владимира Борисовича ЧадоваК годовщине смертиВариант №6.Задача №1.На прилавке стоят 4 включенных телевизора, в одном из которыхспрятался Заяц. Чтобы обнаружить его, нужно выключить соответствующийтелевизор. Волк начинает наудачу выключать телевизоры, пока не обнаружитЗайца.

Случайная величинаравна количеству выключенных телевизоров.Для дискретной случайной величиныпостроить ряд распределения, найтифункцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднееквадратическое отклонение. Найти вероятность ( ≤ 3).1Вероятность того, что11IIDобнаружит зайца, выключив один телевизор:Событие1( = 1) = .4= 2 означает, что при первом выключенном телевизореЗаяц не обнаружен, а при втором – обнаружен. По правилу умножениявероятностей независимых событий найдём вероятность этого события:( = 2) =Аналогично, вероятности событий( = 3) =( = 4) =3 1 1∙ = .4 3 4=3и3 2 1 1∙ ∙ = ,4 3 2 4= 4:3 2 11∙ ∙ ∙1= .4 3 24Ряд распределения вероятностей:10,2520,25Функция распределения:30,250, при ≤ 1,⎧1⎪ , при 1 < ≤ 2,⎪41( )=, при 2 < ≤ 3,⎨2⎪3, при 3 < ≤ 4,⎪4⎩ 1, при > 4.240,252= 1, равна вероятности того, что ВолкРешение.IIDФункция распределения любой прерывной случайной величины всегда11есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках,вероятностям этих значений.

Сумма всех скачков функции ( ) равна 1.Математическое ожидание:( )=+++" "( )(&! !Дисперсия:"#( ) = $%+ *3 −&)&−1111 10=1∙ +2∙ +3∙ +4∙ == 2,5.44444= *1 −101101+ ∙ + *2 − + ∙ +444410110191195+++= = 1,25.+ ∙ + *4 − + ∙ =4444 16 16 16 16 4Среднеквадратическое отклонение:. = /#( ) = /1,25 ≈ 1,118.Вероятность ( ≤ 3):( ≤ 3) = (−∞ << 3) + (3) = (3) − (−∞) + (3) ==11 3−0+ = .24 432соответствующих возможным случайным значениям величины, и равны11IIDЗадача №2.( )=30,< −1 или> 4,2,−1 < < 3,95( − 4),3 < < 4.2Задана плотность распределения непрерывной случайной величиныДля этой случайной величины найти параметр 5, функцию распределения,построить графики плотности и функции распределения. Найтиматематическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (2, 3).Параметр 5 найдём из условия нормировки:Решение.88!"6 ( )7 = 1.982243+ 5; − 4 <: =:6 ( )7 = 6 7 + 6 5( − 4)7 =3299 −1989!8>9 − 1?28 129= (3 + 1) + 5 ;8 − 16 − * − 12+< = − 5 = 1, ⇒ 5 ==− .199 2922Таким образом, плотность распределения:( )=⎧⎪0,2,9< −1 или> 4,3<< 4.−1 <⎨ 2⎪− ( − 4),⎩ 94< 3,IIDФункция распределения:< −1, то11( ) = 0,21).

Если@( ) = 6 ( )7 = 0.2). Если −1 <98< 3, то92( )= ,9@222( ) = 6 07 + 6 7 = 0 + ( + 1) = ( + 1).9993). Если 3 <989< 4, то2( ) = − ( − 4),99!@22( ) = 6 07 + 6 7 + 6 *− + ( − 4)7 =99998!8 222 92= 0 + ∙ 4 − ; − 4 < : = − ; − 4 < + * − 12+ =3 9 9 29 29 292824271= − ; −4 <+ +1−= − ; − 4 + < = − ( − 1)( − 7).9 2999 2294). Если> 4, то9!( ) = 0,"822( ) = 6 07 + 6 7 + 6 *− + ( − 4)7 + 6 07 =99989!18 2= 0 + − *− + + 0 = 1.29 95"0,2( + 1),9< −1,−1 << 3,⎨− 1 ( − 1)( − 7),3<⎪ 9⎩1,> 4.График плотности распределения:График функции распределения:6< 4,2( )=⎧⎪11IIDТаким образом, функция распределения:( )= 698!"22( )7 = 6 7 + 6 *− + ( − 4) 7 =999!2 ! 4222 644 13− ; −= ∙ :< : = (9 − 1) − * − 32+ + (9 − 18) =3 929 2 −1 9 399 3Дисперсия:==29!2= 699!=348 2328 64− *− + − 2 = +−2= .279 939 278#( ) = 6"( )7 − % ( )( =9827 + 6 *− + ( − 4)9!7 −*342+ =279!3 4: :−1 31156122562 813 4 2: : = *9 + + − *64 −=+ + * − 36+ −−1 3 97293939 41156122562 812== *9 + + − *64 −+ + * − 36+ −7293939 491156122562 812== *9 + + − *64 −+ + * − 36+ −7293939 4956 2 64 2 63 1156 6048 13824 10206 4624 2521+ ∙− ∙−=+−−=.27 9 3 9 47292916 29162916 2916 1458Среднее квадратическое отклонение:2521≈ 1,315..

= /#( ) = B1458Вероятность попадания случайной величины в интервал (2, 3):(2 <228 6 2< 3) = (3) − (2) = (3 + 1) − (2 + 1) = − = .999 9 972811IIDМатематическое ожидание:IIDЗадача № 3.11Множество C на плоскости задано неравенствами20 < < 1;D√ < G < 1.Плотность распределения системы случайных величин ( , H) определяетсянеравенствами5( , G) = D!0,G,( , G) ∈ C,( , G) ∉ C.Требуется определить коэффициент 5; найти плотности распределенияраспределенияи H, входящих в систему; условные плотности( |G) иотдельных величинвеличины ( , H) в область(G| ); вероятность попадания случайной> 1⁄2; найти ковариацию M@N и коэффициенткорреляции O@N .

Выяснить, являются ли случайные величиныH независимыми.иНайдём коэффициент 5 из условия нормировки:Решение.QQP ( , G)7 7G = 1QP ( , G)7 7G = 6 6 5= 65RQ!R √@!G7G 7 = 6 5R!G 1S 7 =2 √5 " 1 5 T 1 5 551== 1, ⇒ 5 = 40.* − +7 = ∙ : − ∙ : = −2 4 0 2 5 0 8 10 402 28IID√@√@= 20!! (1G7G = 40− ),0<Плотность распределения величины H:(G) = 6 ( , G)7 = 6 40RR!!G7 = 40GG 1S = 402 √< 1.1: = 10G,4 0"!1* − +=2 20 < G < 1.Условные плотности распределения:( , G) 40 ! G( |G) ===4(G)10G!,( , G)40 ! G2G(G| ) ===.( )20 ! (1 − ) 1 −Вероятность попадания случайной величины ( , H) в область= 6 6 40/ √@= (5Q( )=PQ!"G7G 7 = 6 40−4T)/!G 1S 7 = 6(202 √/!− 20")− 20T)135 131= .=5−4−* − +=1−:0,516 816 16( , G)7 7G = 6 6 40= *4T−R √@2069V"G7G 7 = 6(20R20 21= .+: = 4 −036"> 1⁄2:7 =7 =2( ) = 6 ( , G)7G = 6 4011Плотность распределения величины := 6*R403!Q−403WR √@+7 = *103"Q= 6*R403"−R √@403+7 = *Ковариация:(( H) −M@N =Q( ) (H) =TQ=*Q(H ) = P GV−R √@207X!− 10#( ) =#(H) =T)(R √@7 =*−G 7G 7 = 6 408039104TG! 17 =S3 √81 8 80= .+: = −0 3 39 13G7G 7 = 6(20R"G 7G 7 = 6 40! !−106) − % ( )( =(H ) − % (H)( =10!"R1 20 20 10−= .+: =07216( , G)7 7G = 6 6 40Q= 6(10206"8 2 108 204− ∙=−=.13 3 11 13 33 429( , G)7 7G = 6 6 40)=PR831 10 80 10−= .+: =03 33 118033−( H) = P G ( , G)7 7G = 6 6 40RRVT− 20!V)G" 17 =S4 √1 10 10 5−= .+: =06641022−* + = .216335510−* + =.6726117 =2QG 7G 7 = 6 40G! 17 =S3 √!11(H) = P G ( , G)7 7G = 6 6 40!IIDQКоэффициент корреляции:O@NM@N==.@ .NСлучайные величины4429≈ 0,63.25Y ∙63 726и H не являются независимыми, так как( , G) ≠ ( ) (G);11O@N ≠ 0 %M@N ≠ 0(.25.N = /#(H) = B.72611IID2.@ = /#( ) = B .63[(задана соотношениямиТребуется определить коэффициент 5 и для случайной величины H =найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическоеотклонение и плотность распределения.Определим коэффициент 5 из условия нормировки:Решение.88698[(898#(H) = 6 %998T![ ( )7 = 698!98)7 = 6 5 7 =(H) = 62= 6*5![(6− 13=−!+9)7 = 1.525523=:= 1, ⇒ 5 = .−225!227 = 655981 16 13−== 6,5.10 102(H)(![ ( )7 = 6 *91692 V 13+7 = ; −45 64!7 =−"110":3=−213 27 =+2 5+1698<:3=−22 243 1053 1521169322 125 25= _−+− * − 52 += .+` = ∙5 24821235 241225 , при ∈ (−2; 3),)=D0, при прочих .Плотность распределения величины11IIDЗадача №4.11IIDОпределим распределение случайной величины H.

На интервале∈ (−2,2) функция H =не монотонна и обратная функция225.a = /#(H) = B ≈ 1,443.12= b(G)неоднозначна. Одному значению аргумента G соответствуют два значенияфункции := /G,e= −/G.(G) = $ %bc (G)( ∙ |bcd (G)|,c)(G) = %b (G)( ∙ |b d (G)| + %b (G)( ∙ |b d (G)|,2211(G) = /G ff + %−/G( f−f = 0.552 /G2 /GНа интервале= b(G) = /G.∈ (2,3) функция H =монотонна и обратная функция(G) = %b (G)( ∙ |b d (G)|,211(G) = /G ff= ,552 /G1, при G ∈ (4; 9),a (G) = g50, при прочих G.13IID11Задача № 5.составляет 10 м! .

Оценить вероятность того, что в некоторый день расходводы будет находиться в интервале 8 − 12 м! , если среднее квадратичноеотклонение суточного расхода составит 1 м! ?Решение.По неравенству Чебышева(| −По условию задачи( ) = 10,( )| ≤ 5) ≥ 1 −#( ) = .

= 1 = 1,#( ),55 > 0.5 = |8 − 10| = |12 − 10| = 2.Таким образом, вероятность того, что в некоторый день расход водыбудет находиться в интервале 8 − 12 м! :(| − 10| ≤ 2) ≥ 1 −141= 0,75.22Математическое ожидание суточного расхода воды в лаборатории.