Отзыв оппонента 2 (Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным)

ОТЗЫВ ОФИЦИАЛЬНОГО ОППОНЕНТА Тюленева Александра Ивановича на диссертационную работу Абрамовой Елены Владимировны ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ПО НЕТОЧНЫМ ДАННЫМ представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление В диссертации рассматриваются различные задачи оптимального восстановления решения задачи Дирихле в верхней полуплоскости по различного сорта априорной информации.

Говоря неформально, в зависимости от постановки предполагается, что с некоторой погрешностью известны либо следы единственного решения задачи Дирихле (для верхней полуплоскости) на двух или более прямых, параллельных граничной прямой, либо преобразование Фурье граничной функции. В диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи. 1) Пусть при г = 1,2 заданы функции г;() Е Ь~(К), точки О < у1 ( д2 и параметры 6, > О. Пусть априори известно, что функции ~,( ) приближают в метрике 1 в® следы и(з у,) решения и(з ) задачи Дирихле (для верхней полуплоскости) на прямых р = у; с погрешностями 4. В этих предположениях автор решает задачу оптимального восстановления в метрике Ь2(К) ограничений и(., У) решения задачи Дирихле при каждом У б (уь р2).

При этом автор строит семейство линейных методов оптимального восстановления. 2) Многопараметрический аналог предыдущей задачи рассмотрен во второй главе диссертации. Иными словами, следы решения задачи Дирихле для полуплоскости априори известны с фиксированными погрешностями уже для з > 2 на прямых, параллельных граничной прямой. Так же как и в случае г = 2 автор строит семейство линейных оптимальных методов восстановления. Интересно отметить, что для восстановления следа и(, У) решения и(з ), метод, предложенный автором, использует лишь приближенные данные на двух прямых у = у,„у = р,, „У Е (у.од..~.) с "наилучшими" измерениями, и не зависит от приближенной информации о следах решения на других прямых.

Кроме того, здесь представлена интересная геометрическая интерпретация данного результата. Множеству пар [до1п11/д,)) сопоставляется выпуклый многогранник на плоскости, который определяет те измерения, которые участвуют в формировании оптимального метода восстановления. 3) В третьей главе рассматривается задача оптимального восстановления, которая идеологически отлична от первых двух задач. Рассматривается задача Дирихле в полуплоскости с граничной функцией у из некоторого соболевского класса. По заданной функции д Е 1 ([ — о, о')), о' ) 0 и параметру 6 > 0 требуется оптимальным образом восстановить следы на прямых д = сопз$ > 0 решения задачи Дирихле для полуплоскости, априори предполагая, что преобразование Фурье К[Я граничной функции отличается от д в метрике Х ([ — о, и[) менее чем на д.

Автором в явном виде построен метод оптимального восстановления, интересной особенностью которого является наличие "эффекта насыщения". А именно, при определенном соотношении параметров 6 и и для оптимального восстановления достаточно использовать значения функции д лишь на подотрезке отрезка [ — о, о.). 4) В четвертой главе рассматривается близкая задача. Однако в этом случае функция д имеет заданную погрешность отклонения от Р[Я в метрике 1 2([ — о, о)).

Результаты, полученные в диссертационной работе Абрамовой Елены Владимировны являются новыми и оригинальными. Все утверждения сформулированы математически строго и снабжены аккуратными и подробными доказательствами. Автор использует методы теории дифференциальных уравнений в частных производных, гармонического анализа, а также минимаксные методы. Считаю, что результаты, полученные в диссертации могут быть интересны специалистам по теории дифференциальных уравнений в частных производных. Кроме того, разработанные методы могут быть полезны в прикладной математике. В диссертации имеются мелкие опечатки и неточности.

Так например, на страницах 10 и 40 параметр погрешности Б обозначен как функции, хотя в действительности является числом. Кроме того, фраза на странице 10 "...восстановить наилучшим образом решение задачи Дирихле на прямой д = У..." звучит некорректно. Лучше было бы сказать: "... восстановить наилучшим образом ограничение решения задачи Дирихле на прямую д = У...". Отметим, что указанные опечатки не влияют на смысл полученных в работе результатов и не уменьшают их научную ценность.

Считаю, что диссертационная работа Абрамовой Елены Владимировны "Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным" удовлетворяет всем требованиям, которые 3 предъявляются к диссертациям на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02— дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление, а ее автор безусловно заслуживает присуждения ему данной степени. Официальный оппонент: Научный сотрудник Отдела теории функций Федерального государственного бюджетного учреждение науки Математический институт им. В. А.

Стеклова Российской академии наук, кандидат физико-математических наук- А. И. Тюленев '.К.,О~.,~ .."сО1 Ь- Место работы: Россия, 119991, г. Москва, ул. Губкина, д. 8, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН Телефон: + 7 1495) 984-81-41 Адрес электронной почты: з$е1с1очйппхаэхп Сайт: ~гилч.пп.газ.гп Подпись А. И. Тюленева заверяю.

'~ р„-.д.;"и:..:,,: 4к~клК~~~~ „,,-,,"" "'. " '!, Д,о.,~ д5;;,4;ы ~ сс. ~~.о ~ Ученый секретарь Института математики им. В. А. Стеклова РАН, кандидат физико-математических наук ,ц.';.4 .". - П. А. Яськов :Ь' .