Отзыв ведущей организации (Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным)

УТВЕРЖДАЮ р Института прикладной им. М. В. Келдыша РАН пондент РАН, профессор А. И. Аптекарев б апреля 2018 года ОТЗЫВ ВЕДУЩЕЙ ОРГАНИЗАЦИИ на диссертационную работу Абрамовой Елены Владимировны "Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным", представленную на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Темой диссертационной работы Абрамовой Елены Владимировны является построение оптимальных методов восстановления сужения решения задачи Дирихле для верхней полуплоскости на прямую, параллельную оси абсцисс, по неточным измерениям сужений этого решения на другие параллельные ей прямые и/или неточной информации о граничной функции. Предполагается, что эта функция принадлежит некоторому соболевскому классу функций на прямой, а ее преобразование Фурье известно приближенно (в смысле той или иной нормы) на некотором отрезке, симметричным относительно нуля.

Найдены точные значения соответствующих погрешностей оптимального восстановления. Актуальность темы обусловлена важностью для практики задач, связанных с наилучшим восстановлением функций и линейных операторов от них по имеющейся информации (как правило, неполной и~или неточной) о других их характеристиках. В диссертации такой информационной характеристикой является, в частности, знание с определенной точностью решения задачи Дирихле на прямых, параллельных оси абсцисс. Явные выражения для оптимальных методов восстановления могут служить основой для построения эффективных численных алгоритмов. Математическая теория задач оптимального восстановления активно развивается в гюследнее время.

Методы исследования. Задачи оптимального восстановления, рассматриваемые в диссертации, сводятся к выпуклым экстремальным задачам. Для их решения используются методы выпуклой оптимизации, гармонический анализ и методы теории оптимального восстановления, развитые в работах Г. Г. Магарил-Ильяева и К.

Ю. Осипенко. Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, предварительных сведений, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 87 страниц. Содержание работы и основные результаты. Во введении дается краткий обзор истории вопроса и формулируются основные результаты диссертации. Первая глава посвящена решению задачи оптимального восстановлении сужения решения задачи Дирихле на прямой у = У в метрике Х~(К) цо приближенным его измерениям также в метрике Х~(К) на прямых у = у1 и у = уе, где 0 < у1 < У < уя. Здесь найдено семейство линейных оптимальных методов восстановления и вычислена погрешность оптимального восстановления. Во второй главе решается подобная задача для случая, когда известны приближенные решения задачи Дирихле на произвольном конечном семействе прямых, параллельных оси абсцисс.

Здесь также построено семейство линейных оптимальных методов восстановления. Важно при этом отметить, что каждый оптимальный метод использует только два измерения. Приведена геометрическая интерпретация основного результата данной главы. Третья глава посвящена задаче оптимального восстановления решения задачи Дирихле на прямой, параллельной оси абсцисс по следующей информации: граничная функция принадлежит некоторому соболевскому классу функций на прямой, и на отрезке [ — и, и] известно приближенно в метрике Х ([ — о,п]) ее преобразование Фурье. Построен оптимальный метод восстановления, и он использует, вообще говоря, не всю доступную информацию о преобразовании Фурье.

Используемая им информация подвергается определенному "сглаживанию". В четвертой главе рассматривается аналогичная задача, но преобразование Фурье граничной функции приближенно известно на отрезке [ — о, и] в метрике Х~[[ — о,п]). Степень обоснованности научных положений. Все утверждения, содержащиеся в диссертации, полностью доказаны. Работа написана аккуратно и грамотно. Оценка новизны и достоверности. Полученные результаты являются новыми и достоверными. Они изложены с полными доказательствами и вовремя опубликованы в статьях в российских математических журналах.

Автореферат правильно отражает содержание диссертации. Замечания. Как уже было сказано, работа написана аккуратно. Некоторое количество опечаток несущественно и не снижает ценности работы. Основные положения и выводы диссертации носят теоретический характер, они могут быть использованы в исследованиях, проводимых в Московском государственном университете имени М.

В. Ломоносова и в математических институтах РАН, в частности, в Институте прикладной математике им. М. В. Келдыша РАН. Отзыв ведущей организации обсужден и одобрен на заседании отдела №4 (Математический отдел) Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН 5 апреля 2018 г. Заключение. Диссертационная работа "Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным" удовлетворяет требованиям "Положения о порядке присуждения ученых степеней", а ее автор Абрамова Елена Владимировна заслуживает присуждения ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление. Адрес Института прикладной математики им.

М. В. Келдыша Российской академии наук: 125047, Москва, Миусская пл., д. 4, ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. Телефон: +7(499)978-13-14, е-ша~1: ойсей1ге1йувЬ.гп, сайт: ъ ъ"ь . 1се1дувЬ. гп Ведущий научный сотрудник, доктор физ.-мат. наук А. А. Ильин // Г Д,4' .