Диссертация (Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным), страница 9

При этом функция q(ξ) примет вид:σ 2r 2rξ−2Y |ξ|+ e−2Y σ,еслиξ ∈ (−σ; σ);1 − eσ! 2rq(ξ) =ξ−2Y σ− e−2Y (|ξ|−σ) , еслиξ ∈/ (−σ; σ).eσПоложим λ̂1 = 1 и λ̂2 =Легко проверить, что функция q(·) всюду неотрицательна и обращается вноль в точках ξ = 0 и ξ = σ (то есть q(0) = 0 и q(σ) = 0).

Пусть, далее,dbµ(ξ) = Aδ(ξ) + Bδ(ξ − σ), где δ(ξ − ξ0 ) — дельта функция в точке ξ0 . ИзусловийZχ(−σ,σ) (ξ) dµ̂(ξ) =δ12 ,RZR70ξ 2r dµ̂(ξ) = 1,находим коэффициенты:A = δ12 и B =1.σ 2rТаким образом, с данными λ̂1 , λ̂2 и dµ̂(·) условия a), b) и c) выполнены.δ(ξ − σ)— решение задач (37), (38). ПодставляяЗначит, dµ̂(ξ) = δ12 · δ(ξ) +σ 2rнайденное выражение для меры в максимизируемый функционал задачи(37), получим, что ее значение таково:Ze−2Y σ−2Y |ξ|2edbµ(ξ) = δ1 + 2r .σ(39)RПонятно, что значение задачи (36) не больше значения ее «расширения».Покажем, что на самом деле они совпадают.

Рассмотрим семейство функцийfn (·), преобразование Фурье которых имеет вид:K1 (n), если ξ ∈ (0; 1/n);F [fn ](ξ) = K2 (n), если ξ ∈ (σ; σ + 1/n) ;0,иначе.ПоложимK12 (n) = 2πnδ12 , K22 (n) = 2πn1 − δ12 /n2r.(σ + 1/n)2rЛегко проверить, что функции fn (·) допустимы в задаче (36).Значение максимизируемого функционала в (36) на этих функциях таково:12πZσ+1/nZ1/nZ1  2−2Y ξe−2Y |ξ| |F [fn ](ξ)|2 dξ =dξ + K22 (n)e−2Y ξ dξ K1 (n) e2πR0>e−2Y /n2πnσ22r1−δ/n1−2Y σK12 (n) + K22 (n)e−2Y σ = e−2Y /n δ12 +.2r e(σ + 1/n)e−2Y σи, тем самым, значенияσ 2rзадач (36) и (37) совпадают. Откуда следует, что в случае неточно заданнойЯсно, что величина справа стремится к δ12 +71информации (δ > 0), значение нижней границы погрешности оптимальноговосстановления таковоre−2Y σS=+ 2r .σТаким образом, показано, что в случае δ > 0 для погрешности оптимальногоδ12восстановления справедлива следующая оценка снизу:rδ2e−2Y σrE(Y, W2 (R), δ, σ) >+ 2r .2πσ(40)В случае, когда информация задана точно (δ = 0), аналогичные выкладкиприводят к следующему результатуe−Y σS= rσи тем самым,E(Y, W2r (R), σ)e−Y σ> r .σ(41)4.4 Оценка сверху погрешности оптимального восстановления иоптимальные методыБудем искать оптимальные методы среди методов вида:m (g(·)) = Λg(·),(42)где Λ : L2 ([−σ, σ]) → L2 (R) — линейный непрерывный оператор, действиекоторого в образах Фурье имеет вид:F [Λg(·)](ξ) = a(ξ)g(ξ)e−Y |ξ| ,где a(·) ∈ L∞ ([−σ, σ]).(43)1.

Вначале исследуем случай неточно заданной информации (δ > 0).Рассмотрим экстремальную задачу:ku(·, Y ) − m(g) (·, Y )kL2 (R) → max,kF [f ](·) − g(·)kL2 ([−σ,σ]) 6 δ,72 (r) f (·)L2 (R)6 1.Применяя теорему Планшереля, получим, что квадрат значения этой задачиравен значению следующей задачи:Z1|e−Y |ξ| (F [f ] (ξ) − a(ξ)g(ξ)) |2 dξ → max,2πR12πZσ2|F [f ] (ξ) − g(ξ)| dξ 612πδ12 ,−σПусть λ1 > 0,Zξ 2r |F [f ] (ξ)|2 dξ 6 1.Rλ2 > 0 — некоторые положительные числа. Оценим сверхуподынтегральное выражение в максимизируемом функционале, используянеравенство Коши-Буняковского:2 −Y |ξ|(F [f ] (ξ) − a(ξ)g(ξ))e2 −Y |ξ|= e(F [f ] (ξ) − a(ξ)F [f ](ξ) + a(ξ)F [f ](ξ) − a(ξ)g(ξ))= e−2Y |ξ| |(1 − a(ξ)) F [f ] (ξ) + a(ξ) (F [f ] (ξ) − g(ξ))|22pp1−a(ξ)a(ξ)= e−2Y |ξ| √ rλ2 ξ r F [f ] (ξ) + √λ1 (F [f ] (ξ) − g(ξ))λ2 ξλ12 2|a(ξ)|22−2Y |ξ| |1 − a(ξ)|2r6e+λ2 ξ |F [f ] (ξ)| + λ1 |F [f ] (ξ) − g(ξ)| .λ2 ξ 2rλ1Обозначим−2Y |ξ|S(ξ) = e|1 − a(ξ)|2 |a(ξ)|2+λ2 ξ 2rλ1Пусть A = ess supξ∈[−σ,σ] S(ξ).,ξ ∈ [−σ, σ].Тогда на отрезке [−σ, σ] справедливаследующая оценка:12πZσ 2 −Y |ξ|(F [f ] (ξ) − a(ξ)g(ξ)) dξe−σA62πZσ 2r22λ2 ξ |F [f ] (ξ)| + λ1 |F [f ] (ξ) − g(ξ)|dξ−σ6λ2 A2πZσ−σ73ξ 2r |F [f ] (ξ)|2 dξ + λ1 Aδ12 .Если ξ ∈ R\ [−σ, σ], то g(ξ) = 0, поэтому, учитывая, что |ξ/σ| > 1, можемзаписать:Z 21 −Y |ξ|(F [f ] (ξ) − a(ξ)g(ξ)) dξe2πR\[−σ,σ]2e−2Y σ −Y |ξ|F [f ] (ξ) dξ 6e2πσ 2rZ1=2πR\[−σ,σ]Zξ 2r |F [f ] (ξ)|2 dξ.R\[−σ,σ]Складывая эти неравенства, получим оценку на всей оси:Z 21 −Y |ξ|(F [f ] (ξ) − a(ξ)g(ξ)) dξe2πRλ2 A62πZσe−2Y σξ |F [f ] (ξ)| dξ +2π · σ 2rZ22r−σξ 2r |F [f ] (ξ)|2 dξ + λ1 Aδ12 .R\[−σ,σ]Все вышесказанное справедливо для произвольных положительных чиселe−2Y σλ1 и λ2 .

Пусть теперь λ̂1 = 1, λ̂2 = 2r . Дополнительно потребуем, чтобыσA = ess supξ∈[−σ,σ] S(ξ) 6 1. Тогда, учитывая чтоZ1ξ 2r |F [f ] (ξ)|2 dξ 6 1,2πRполучим:Z 21 −Y |ξ|(F [f ] (ξ) − a(ξ)g(ξ)) dξe2πRZλ2e−2Y σ22r26ξ |F [f ] (ξ)| dξ + δ1 6 2r + δ12 . (44)2πσRТаким образом, если метод восстановления m удовлетворяет условиям(42) − (43), причем A = ess supξ∈[−σ,σ] S(ξ) 6 1, то для его погрешностисправедлива оценкаre(Y, W2r (R), δ, σ, m)6δ12e−2Y σ+ 2r .σ(45)Эта оценка совпадает со значением нижней границы погрешности оптимальноговосстановления (40).74Проанализируем, какое условие на функцию a(ξ) накладывает требованиеS(ξ) 6 1,ξ ∈ [−σ, σ]. Имеем, выделяя полный квадрат,22|a(ξ)||1−a(ξ)|S(ξ) = e−2Y |ξ|+λ2 ξ 2rλ1!22r λ+λξλ1121a(ξ) − += e−2Y |ξ|6 1.2rλ1 λ2 ξλ1 + λ2 ξ 2r λ1 + λ2 ξ 2rОткуда 2Y |ξ|22r2rλλξλ+λξe−1λ121 6 1 2a(ξ) −.2rλ1 + λ2 ξ(λ1 + λ2 ξ 2r )2e−2Y σ:σ 2r 2Y |ξ|2−2Y σ2r−2Y σ2re(ξ/σ)1+e(ξ/σ)e−11 6a(ξ) −.2r−2Yσ1 + (ξ/σ) e(1 + e−2Y σ (ξ/σ)2r )2Подставим выбранные нами ранее значения λ̂1 = 1, λ̂2 =Следовательно, если функция a(·) удовлетворяет данному соотношению,то для его погрешности соответствующего метода восстановления справедлива оценка (45).2.

Теперь перейдем к случаю точно заданной информации (δ = 0).Аналогично предыдущему случаю, рассмотрим экстремальную задачу:ku(·, Y ) − m(g)(·, Y )kL2 (R) → max, (r) 6 1,f (·)F [f ](·) = g(·) для п.в. ξ ∈ [−σ, σ] .L2 (R)Применяя теорему Планшереля, получим, что квадрат значения этой задачиравен значению следующей задачи:12πZ|e−Y |ξ| (F [f ] (ξ) − a(ξ)g(ξ)) |2 dξ → max,RF [f ](·) = 0 для п.в. ξ ∈ [−σ, σ] ,12πZR75ξ 2r |F [f ] (ξ)|2 dξ 6 1. (46)Оценим максимизируемый функционал. Так как g(·) = 0, ξ ∈ R\ [−σ, σ] иY > 0, то:Z1e−2Y |ξ| |F [f ] (ξ) − a(ξ)g(ξ)|22πR1=2πZσ−2Y |ξ|e2−σ162πZ1· |a(ξ) − 1| · |F [f ] (ξ)| dξ +2π2e−2Y |ξ| · |F [f ] (ξ)|2 dξR\[−σ,σ]Zσe−2Y σ|a(ξ) − 1| · |F [f ] (ξ)| dξ +2πσ 2r2Z2−σξ 2r · |F [f ] (ξ)|2 dξ.R\[−σ,σ]Потребуем, чтобы функция a(·) удовлетворяла следующему условию:|a(ξ) − 1|2 6 e−2Y σ (ξ/σ)2r ,ξ ∈ [−σ, σ] .Тогда неравенство примет вид:ZZe−2Y σe−2Y σ122−2Y |ξ|2re|F [f ] (ξ) − a(ξ)g(ξ)| 6ξ |F [f ] (ξ)| 6 2r2π2πσ 2rσ .RRЗначит, если метод восстановления m удовлетворяет условиям (42) − (43),причем |a(ξ) − 1|2 6 e−2Y σ (ξ/σ)2r ,ξ ∈ [−σ, σ], тоe(Y, W2r (R), σ, m) 6e−2Y σ.σ 2rПолученная оценка снова совпадает со значением нижней границы погрешности оптимального восстановления (40).В п.4.3 доказано, что для погрешности оптимального восстановлениясправедливы следующие оценки снизу:rE(Y, W2r (R), δ, σ)E(Y, W2r (R), σ)>δ12e−2Y σ+ 2r , если δ > 0,σe−Y σ> r , если δ = 0.σВ п.

4.4 показано, что если метод имеет видm (g(·)) = Λg(·),76где Λ : L2 ([−σ, σ]) → L2 (R) — линейный непрерывный оператор, действиекоторого в образах Фурье имеет вид:F [Λg(·)](ξ) = a(ξ)g(ξ)e−Y |ξ| ,и функция a(ξ) удовлетворяют следующим условиям:a(·) ∈ L∞ ([−σ, σ]) , 2Y |ξ|2−2Y σ2r−2Y σ2re(ξ/σ)1+e(ξ/σ)e−11a(ξ) − 6,1 + (ξ/σ)2r · e−2Y σ (1 + e−2Y σ (ξ/σ)2r )2если δ > 0;|a(ξ) − 1| 6 e−Y σ (ξ/σ)r ,если δ = 0,то погрешность соответствующего метода не превышает таких же величини тем самым он оптимален.4.5 Пример оптимального методаРассмотри случай неточно заданной информации (δ > 0).

Можно показать,1что метод вида (42) − (43), где a(ξ) =, ξ ∈ [−σ, σ],1 + (ξ/σ)2r · e−2Y σудовлетворяет всем требуемым условиям. Тогдаe−Y |ξ| · g(ξ), если ξ ∈ [−σ, σ] ;−2Y σ1+(ξ/σ)·eF [m(g)](ξ) =0если ξ ∈/ [−σ, σ] .В этом случае восстановленное решение имеет вид:1u (x, Y ) =2πZσ−σe−Y |ξ| · g(ξ)eiξx dξ,2r−2Yσ1 + (ξ/σ) · e1— сглаживающий множитель.1 + (ξ/σ)2r · e−2Y σТеперь рассмотрим случай точно заданной информации (δ = 0).где C =77Функция a(·) = 1, ξ ∈ [−σ, σ], очевидно, удовлетворяет всем требованиямтеоремы.

Тогда восстановленное решение имеет видu(x, Y ) =12πZσe−Y |ξ| g(ξ)eiξx dξ.−σТеорема доказана.78ЗаключениеВ диссертационной работе рассмотрены вопросы восстановления решения задачи Дирихле в верхней полуплоскости. Во всех случаях построеныоптимальные методы восстановления и найдены точные значения соответствующих погрешностей оптимального восстановления. Важно отметить, чтооптимальные методы, вообще говоря, используют не всю доступную дляизмерения информацию, а та (полезная) информация, которая участвует впостроении метода, подвергается определенному «сглаживанию».Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Личныйвклад автора заключается в получении всех результатов, приведенных вработе. Достоверность этих результатов обеспечивается приведением ихполных доказательств.Во многих областях науки и прикладных задачах возникает необходимость восстанавливать функции или какие-либо функционалы и операторыот них по частотным характеристикам этих функций, которые, какправило, заданы неполно а возможно, и не точно (например, в геофизике,астрономии, дистанционном зондировании Земли, спектральном анализеи т.п.).

Полученные в диссертации явные выражения для оптимальныхметодов восстановления решения задачи Дирихле могут служить основойдля разработки эффективных численных алгоритмов.79Список литературы[1] Абрамова Е. В. Об оптимальном восстановлении решения задачиДирихле по неточным начальным данным // Вестник ТамбовскогоУниверситета, Серия: естественные и технические науки. –– 2009. —Т. 14, вып. 4 –– С. 654-655.[2] Абрамова Е. В. Восстановление решения задачи Дирихле понеточным граничным данным. //Владикавк. матем.

журн. — 2015.— Т. 17, вып. 1. — С. 3-13.[3] Абрамова Е. В. Наилучшее восстановление решения задачи Дирихлепо неточно заданному спектру граничной функции. // Владикавк.матем. журн. — 2017. — Т. 19, вып. 4. — С. 3-11.[4]Абрамова Е. В. О наилучшем восстановлении решения задачиДирихле в полуплоскости // Тезисы докладов XIII междунар.