Диссертация (Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным), страница 7

По теореме Планшереля имеемku(·, Y, f (·)) − mb (z̄(·))k2L2 (R) =Z 21 −Y |ξ|−(Y −ysk )|ξ|· F [f (·)](ξ) − e· F [zsk (·)](ξ) dξ =e2πZR21−2(Y −ysk )|ξ| −ysk |ξ|e· e· F [f (·)](ξ) − F [zsk (·)](ξ) dξ 62πRZ 21 −ysk |ξ|· F [f (·)](ξ) − F [zsk (·)](ξ) dξ =e2πRku(·, ysk , f (·)) − zsk (·)k2L2 (R) 6 δs2k = e−2θ(ysk ) .Отсюда следует нужная оценка для погрешности данного метода, и,следовательно, он является оптимальным.52Глава 3.

Оптимальное восстановление решения задачиДирихле для полуплоскости по неточно заданномупреобразованию Фурье граничной функциив метрике L∞Эта глава посвящена проблеме наилучшего восстановления решениязадачи Дирихле в метрике L2 на прямой в верхней полуплоскости,параллельной оси абсцисс, по следующей информации о граничной функции:граничная функция принадлежит некоторому соболевскому пространствуфункций, а ее преобразования Фурье известно приближенное (в метрикеL∞ ) на конечном отрезке, симметричном относительно нуля.Построеноптимальный метод восстановления и найдено точное значение погрешностиоптимального восстановления. Следует отметить, что оптимальный методиспользует, вообще говоря, не всю доступную информацию, а ту, которуюиспользует, определенным образом «сглаживает».3.1 Постановка задачиРассмотрим задачу Дирихле:∆u(x, y) = 0, (x, y) ∈ R2 ,y > 0,(P1 )u(·, 0) = f (·),заключающуюся в нахождении гармонической функции u(·, ·) в верхнейполуплоскости, для которой f (·) ∈ L2 (R) является граничной функцией.Равенство u(·, 0) = f (·) понимается так: u(·, y) → f (·) при y → 0 в метрикеL2 (R).Рассмотрим пространство функций:W2r∞ (R) = {f (·) ∈ L2 (R) : f (r) (·) ∈ L2 (R), F [f ](·) ∈ L∞ (R)},53где производные функции f (·) и ее преобразование Фурье F [f ](·) понимаютсяв обобщенном смысле.Обозначим через W2r∞ (R) соболевский класс функций на прямой: (r) rr6 1}.W2 ∞ (R) = {f (·) ∈ W2 ∞ (R), f (·)L2 (R)В силу принятых предположений (см.Предварительные сведения)единственным решением данной задачи является интеграл ПуассонаZu(x, y) = P (x − t, y) f (t) dt,Ry.

Ставится задача о наилучшем восстановленииπ(x2 + y 2 )функции u(·, Y ) — решения задачи Дирихле на прямой y = Y , где Y > 0,где P (x, y) =по следующей информации о граничной функции f (·) ∈ W2r∞ (R): заданоприближенно ее преобразование Фурье F [f ](·) на отрезке [−σ, σ], σ > 0, вметрике L∞ ([−σ, σ]). То есть известна функция g(·) ∈ L∞ ([−σ, σ]) такая,чтоkF [f ](·) − g(·)kL∞ ([−σ,σ]) 6 δ,где δ > 0.Задача оптимального восстановления u(·, Y ) понимается аналогичнопредыдущим случаям. Любое отображениеm : L∞ [−σ, σ] → L2 (R)объявляется методом восстановления. Погрешность этого метода определяется величинойre(Y, W2∞(R), δ, σ, m) =supf (·)∈W2r∞ (R), g(·)∈L∞ [−σ, σ]kF [f ](·)−g(·)kL∞ [−σ, σ] 6δku(·, Y ) − m(g(·))kL2 (R) .Нас интересует величинаE(Y, W2r∞ (R), δ, σ) =infm : L∞ [−σ, σ]→L2 (R)54re(Y, W2∞(R), δ, σ, m),которая называется погрешностью оптимального восстановления и теметоды m,b на которых нижняя грань достигается:E(Y, W2r∞ (R), δ, σ) = e(Y, W2r∞ (R), δ, σ, m).bЭти методы, как и раньше, мы называем оптимальными методамивосстановления.Нашей целью является построение оптимального метода и нахождениесоответствующей погрешности оптимального восстановления в поставленнойзадаче.3.2 Формулировка основного результата1/(2r+1)π(2r + 1)Теорема 3.

Пусть δ > 0, σ > 0, σb=, σ0 = min{σ, σb}.δ2Метод mb : L∞ [−σ, σ] → L2 (R), действующий в образах Фурье по правилу:e−Y |ξ| 1 − e−2Y (σ0 −|ξ|) (ξ/σ0 )2r g(ξ), |ξ| 6 σ0 ,F [m(g(·))](ξ)b=0,|ξ| > σ0 ,является оптимальным.Погрешность оптимального восстановления имеет вид:s2δ2δσ10rE(Y, W2 ∞ (R), δ, σ) =(1 − e−2Y σ0 ) + e−2Y σ0−.2πYσ02r π(2r + 1)Доказательство проведем в несколько этапов.3.3 Оценка снизу погрешности оптимального восстановленияПокажем, что погрешность оптимального восстановления E(Y, W2r∞ (R), δ, σ)не меньше значения следующей экстремальной задачи:ku(·, Y )kL2 (R) → max,f (·) ∈ W2r∞ (R),kF [f ](·)kL∞ ([−σ,σ]) 6 δ,(26)то есть верхней грани максимизируемого функционала при данныхограничениях.55Пусть f (·)—допустимая функция в задаче (26).

Заметим, что если f (·)допустима, то функция −f (·) тоже допустима и ей соответствует решение−u(·, Y ). Тогда для любого метода m имеем:2 ku(·, Y )kL2 (R) = ku(·, Y ) − m(0) − (−u(·, Y ) − m(0))kL2 (R)6 ku(·, Y ) − m(0)kL2 (R) + k−u(·, Y ) − m(0)kL2 (R)6262suprf (·)∈W2∞(R)kF [f ](·)kL∞ ([−σ,σ]) 6δku(·, Y ) − m(0)kL2 (R)suprf (·)∈W2∞(R)g(·)∈L∞ ([−σ,σ])kF [f ](·)−g(·)kL∞ ([−σ,σ]) 6δku(·, Y ) − m(g(·))kL2 (R)r= 2 e (Y, W2∞(R), δ, σ, m) .Таким образом,rku(·, Y )kL2 (R) 6 e(Y, W2∞(R), δ, σ, m).Переходя слева к верхней грани по всем допустимым функциям f (·), асправа к нижней грани по всем методам m : L∞ ([−σ, σ]) → L2 (R), получим:rE (Y, W2∞(R), δ, σ) >suprf (·)∈W2∞(R)kF [f ](·)kL∞ ([−σ,σ]) 6δku(·, Y )kL2 (R) ,то естьrE(Y, W2∞(R), δ, σ) > S,(27)где S — значение задачи (26).Определим величину S, найдя решение задачи (26).Так какF [u(·, Y )](ξ) = e−Y |ξ| · F [f ](ξ) для всех ξ ∈ R (см., например, [48]), то,согласно теореме Планшереля, квадрат значения задачи (26) равен значениюследующей задачи:Z21e−2Y |ξ| F [f ](ξ) dξ → max,2πRF [f ](ξ)2 6 δ 2 для п.

в. ξ ∈ [−σ, σ],12πZR562ξ 2r F [f ](ξ) dξ 6 1. (28)Сопоставим данной задаче функцию Лагранжа:1L (f (·), λ1 (·), λ2 ) = −2πZ2e−2Y |ξ| · F [f ](ξ) dξRZσ+Z221ξ 2r F [f ](ξ) dξ − 1 . (29)λ1 (ξ) F [f ](ξ) − δ 2 dξ + λ2 2π−σRСправедлива следующая лемма.Лемма 1. Если найдутся такие функция:b1 (·) ∈ L∞ ([−σ, σ]), λb1 (·) > 0,λb2 > 0 и допустимая в задаче (28) функция fb(·), чточисло λbbbbb(a) L f (·), λ1 (·), λ2 = min L f (·), λ1 (·), λ2 ,f (·)∈L2 (R)Zσ(b)22bbλ1 (ξ) F [f ](ξ) − δ dξ = 0,−σb2  1(c) λ2πZ2ξ 2r F [fb](ξ) dξ − 1 = 0,Rто fb(·) — решение задачи (28).Доказательство.

Пусть f (·) — допустимая функция в (28). Тогда,учитывая это обстоятельство, а также неотрицательность λ1 (·) и λ2 , а также условия (a), (b), (c), получим:1−2πZe−2Y |ξ|R21· F [f ](ξ) dξ > −2πZe−2Y |ξ|2· F [f ](ξ) dξ+RZσ22bb2  1λ1 (ξ) |F [f ](ξ)| − δ dξ + λ2π−σZR57ξ 2r |F [f ]( ξ)|2 dξ − 1 = (a) bbbbbL f (·), λ1 (·), λ2 > L f (·), λ1 (·), λ2 =1−2πZ2e−2Y |ξ| · F [fb](ξ) dξ +22b1 (ξ) F [fb](ξ) − δ dξλ−σRb2  1+λ2πZσZZ21(b),(c) b2ξ F [f ] ξ)| dξ − 1 = −e−2Y |ξ| · F [fb](ξ) dξ,2π2rRRт. е. fb(·) — решение задачи (28).Лемма 1 доказана.Воспользуемся теперь этой леммой, чтобы найти решение задачи (28).Рассмотрим два случая. 1.

Пусть σ > σb. Положим 2r !1ξe−2Y |ξ| − e−2Y σb, |ξ| 6 σb;σbb1 (ξ) = 2πλ0,|ξ| > σb,e−2Y σbbλ2 = 2r ,σbфункция fb(·) такова, что ее преобразование Фурье имеет вид:|ξ| 6 σb, δ,F [fb](ξ) =0,|ξ| > σb.b1 (·) > 0, λb2 > 0.Проверим выполнение условий Леммы 1. Очевидно, что λПростая проверка показывает, что функция fb(·) допустима в задаче(28) ивыполнены условия (b) и (c) Леммы 1.

Проверим выполнение условия (a).Для этого запишем функцию Лагранжа (29) в виде:1L (f (·), λ1 (·), λ2 ) = −2πZR582e−2Y |ξ| F [f ](ξ) dξ+Zσ−σZ221λ1 (ξ) F [f ](ξ) − δ 2 dξ + λ2 ξ 2r F [f ](ξ) dξ − 1 =2πRZ 21−2Y |ξ|2r −e+ 2πλ1 (ξ) · χ[−σ, σ](ξ) + λ2 · ξF [f ](ξ) dξ−2πRZσδ 2 λ1 (ξ) dξ + λ2  ,−σгде χ[−σ, σ](·) — характеристическая функция отрезка [−σ, σ].b1 (·) иОценим первое слагаемое полученного выражения с λ1 (·) = λb2 :λ2 = λ12πZ −e−2Y |ξ|22r bb+ 2π λ1 (ξ) · χ[−σ, σ](ξ) + λ2 · ξF [f ](ξ) dξR1=2πZσb −2Y |ξ|−e22r bb+ 2π λ1 (ξ) + λ2 · ξF [f ](ξ) dξ−bσZ1+2π−e−2Y |ξ|22r b+ λ2 ξF [f ](ξ) dξR\[−bσ; σb]Zσb 11b2 · ξ 2r + λb2 · ξ 2r F [f ](ξ)2 dξ=−e−2Y |ξ| + 2π ·e−2Y |ξ| − λ2π2π−bσZ21−2Y |ξ|2r b−e+ λ2 ξF [f ](ξ) dξ+2πR\[−bσ; σb]! 2rZ21ξ=e−2Y σb− e−2Y (|ξ|−bσ) F [f ](ξ) dξ > 0.2πσbR\[−bσ; σb]Но, если f (·) = fb(·), то12πZ −e−2Y |ξ|22r bb+ 2π λ1 (ξ) · χ[−σ, σ](ξ) + λ2 · ξF [fb](ξ) dξR1=2πZσb 1 −2Y |ξ| b−2Y |ξ|2r2rb2 · ξ−e+ 2π ·e− λ2 · ξ+λδ 2 dξ = 0.2π−bσ59Следовательно, выполнено и условие (a) Леммы 1 и тем самым fb(·) —решение задачи (28).

Таким образом,S2 =12πZ2b1 (·), λb2 ) = δ 2e−2Y |ξ| F [fb](ξ) dξ = −L(fb(·), λZσb1 (ξ) dξ + λb2λ−σ2R=δ1 − e−2Y σb .2πYВместе с формулой (27) это означает, что в рассматриваемом случаеrδ2rE(Y, W2∞ (R), δ, σ) >(1 − e−2Y σb ).2πY2. Пусть σ < σb. Положим1b1 (ξ) = 2πλ0,(30) 2r !ξe−2Y |ξ| − e−2Y σ, |ξ| 6 σ;σ|ξ| > σ,e−2Y σbλ2 = 2r ,σδ,F [fb](ξ)] = C · δ(ξ ± σ),0,|ξ| < σ,|ξ| = σ,|ξ| > σ,πδ2 σгде C = 2r −, а δ(· − ξ0 ) — дельта-функция в точке ξ0 .σ2r + 1Как и в первом случае, проверим выполнение условий Леммы 1.

Очевидно,2b1 (·) > 0 и λb2 > 0. Функция f (·) допустима в (28). Действительно,что λF [fb](ξ)2 6 δ 2 для п.в. ξ ∈ [−σ, σ]. Далее,12πZR2r+1σ2δ 2 ·+ 2C 2 · σ 2r2r + 12r+121σπδσ=2δ 2 ·+2−· σ 2r = 1.2r2π2r + 1σ2r + 121ξ 2r F [fb](ξ) dξ =2π60Очевидно, что условия (b) и (c) Леммы 1 выполняются.Проверимвыполнение условия (a). Как и раньше, преобразуем функцию Лагранжак виду:L (f (·), λ1 (·), λ2 ) =Z 21−2Y |ξ|2r −e+ 2πλ1 (ξ) · χ[−σ, σ](ξ) + λ2 · ξF [f ](ξ) dξ−2πRZσδ 2 λ1 (ξ) dξ + λ2  .−σb1 (·) иОценивая первое слагаемое полученного выражения с λ1 (·) = λb2 , получим:λ2 = λ12πZ −e−2Y |ξ|22r bb+ 2π λ1 (ξ) · χ[−σ, σ] + λ2 · ξF [f ](ξ) dξR=12πZe−2Y σ! 2r2ξ− e−2Y (|ξ|−σ) F [f ](ξ) dξ > 0.σ|ξ|>σПри этом значение этого слагаемого на функции fb(·), как нетруднопроверить, равно нулю.

Следовательно, fb(·) — решение задачи (28) и значит,S2 =12πZ2b1 (·), λb2 ) = δ 2e−2Y |ξ| F [f ](ξ) dξ = −L(fb(·), λZσb1 (ξ) dξ + λb2λ−σR2δ=1 − e−2Y σ + e−2Y σ2πY1σ−σ 2r σb2r+1Отсюда и формулы (27) следует, что в рассматриваемом случаеs2δ1σrE(Y, W2∞(R), δ, σ) >(1 − e−2Y σ ) + e−2Y σ− 2r+1 .2πYσ 2r σb61.(31)3.4 Оценка сверху погрешности оптимального восстановления иоптимальный методПокажем, что метод mb из формулировки теоремы является оптимальным.Снова рассмотрим два случая.b1 (·)1. Пусть σ > σb. Выше для данного случая были определены функция λb2 . Обозначими число λ 2r1 − e−2Y (bσ−|ξ|) ξ, |ξ| 6 σb;σba1 (ξ) =0,|ξ| > σb.Погрешность метода mb равна, по определению, значению следующейэкстремальной задачи:ku(·, Y ) − m(g)(·)kbL2 (R) → max,kF [f ](·) − g(·)kL∞ ([−σ,σ]) 6 δ, (r) f (·)L2 (R)6 1.Применяя теорему Планшереля, получим, что квадрат значения этой задачиравен значению следующей задачи:Z1|e−Y |ξ| (F [f ] (ξ) − a1 (ξ)g(ξ)) |2 dξ → max,2πR12πF [f ] (ξ) − g(ξ)2 6 δ 2 при п.в.