Диссертация (Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным), страница 5

Пустькоэффициенты λ1 , λ2 из формулировки теоремы: −2 yY −y12 −y1y2 − Yδ1λ1 =·> 0,y2 − y1δ2−Y 2 yy2−y21Y − y1δ1λ2 =·> 0.y2 − y1δ2Будем искать функции a1 (·), a2 (·), удовлетворяющие условию: |a1 (·)|2 |a2 (·)|2 kS(·)k∞ = 6 1. λ1 + λ2 L∞ (R)Из предыдущего ясно, что необходимо должно выполняться равенство:e−Y |ξ| = a1 (ξ) e−y1 |ξ| + a2 (ξ) e−y2 |ξ| .Тогдаe−Y |ξ| − a1 (ξ)e−y1 |ξ|a2 (ξ) == e(y2 −Y )|ξ| − a1 (ξ)e(y2 −y1 )|ξ| .−y|ξ|2eПри этом функция S(·) примет вид:S(ξ) =|a1 (ξ)|2 |a2 (ξ)|2|a1 (ξ)|2 |e(y2 −Y )|ξ| − a1 (ξ)e(y2 −y1 )|ξ| |2+=+.λ1λ2λ1λ2Преобразуем это выражение:Re2 a1 (ξ) + Im2 a1 (ξ)S(ξ) =+λ12e(y2 −Y )|ξ| − Re a1 (ξ) · e(y2 −y1 )|ξ| + e2(y2 −y1 ) · Im2 a1 (ξ)=λ234λ2 + λ1 e2(y2 −y1 )|ξ|λ1 λ2(y2 −Y )|ξ| (y2 −y1 )|ξ|2λee1· Re a1 (ξ) + Im2 a1 (ξ)Re2 a1 (ξ) −2(y−y)|ξ|21λ2 + λ1 ee2(y2 −Y )|ξ|+=λ2!2(y2 −y1 )|ξ|(y2 −Y )|ξ| (y2 −y1 )|ξ| 2λ2 + λ1 eλ1 eeRe a1 (ξ) −+ Im2 a1 (ξ) +2(y−y)|ξ|21λ1 λ2λ2 + λ1 eλ2 + λ1 e2(y2 −y1 )|ξ|λ1 λ2e2(y2 −Y )|ξ|=λ2 + λ1 e2(y2 −y1 )|ξ|(y2 −Y )|ξ| (y2 −y1 )|ξ| 2e2(y2 −Y )|ξ|λee1+.· a1 (ξ) −λ2 + λ1 e2(y2 −y1 )|ξ| λ2 + λ1 e2(y2 −y1 )|ξ|Условие kS(·)k∞ 6 1 означает, что(y2 −Y )|ξ| (y2 −y1 )|ξ| λee1a1 (ξ) −6λ2 + λ1 e2(y2 −y1 )|ξ| √λ1 λ2 · ey2 |ξ| p −2y1 |ξ|λ1 e+ λ2 e−2y2 |ξ| − e−2Y |ξ| .

(20)λ2 + λ1 e2(y2 −y1 )|ξ|Покажем, что выражение, стоящее справа, имеет смысл.Рассмотримфункциюϕ(ξ) = λ1 e2(Y −y1 )|ξ| + λ2 e−2(y2 −Y )|ξ| − 1.Поскольку ϕ(·) — четна, рассмотрим ξ > 0. Найдем точку экстремумафункции. Ее производная −2 Y − y1(Y − y1 )(y2 − Y ) δ1y2 − y1 e2(Y −y1 )ξ σ×ϕ0 (ξ) = −2y2 − y1δ2! 2δ1e−2(y2 −y1 )ξ − 1×δ2обращается в ноль приξ = ξ0 =ln(δ1 /δ2 )> 0.y2 − y1Заметим, что при λ1 > 0, λ2 > 0 функция ϕ(ξ) выпукла. Значитϕ(ξ) > ϕ(ξ0 ) = 0 ∀ξ ∈ R.35Тогдаλ1 e−2y1 |ξ| + λ2 e−2y2 |ξ| − e−2Y |ξ| = e−2Y |ξ| ϕ(ξ) > 0 ∀ξ ∈ R.Из формулы (20) видно, что функции a1 (·) (а тем самым и a2 (·)),удовлетворяющие приведенным условиям, существуют.

Например:λ1 e(y2 −Y )|ξ| e(y2 −y1 )|ξ|λ1 e(y2 −Y )|ξ|a1 (ξ) ==,λ2 + λ1 e2(y2 −y1 )|ξ|λ2 e−(y2 −y1 )|ξ| + λ1 e(y2 −y1 )|ξ|λ2 e(−Y −y1 )|ξ|a2 (ξ) =.λ2 e−(y2 −y1 )|ξ| + λ1 e(y2 −y1 )|ξ|Заметим, что поскольку0 6 a1 (ξ) 6 e−(Y −y1 )|ξ|иλ2 2y1 −y2 −Ye|ξ|,λ1то a1 (·) ∈ L2 (R), a2 (·) ∈ L2 (R) и оптимальный метод может быть записан0 6 a2 (ξ) 6так:mb (z1 (·), z2 (·)) (·) = F −1 [a1 (·)](·) ∗ z1 (·) + F −1 [a2 (·)](·) ∗ z2 (·).1.6 Случай точно заданных измеренийЕсли хотя бы одно из измерений известно с нулевой погрешностью(то есть δ1 · δ2 = 0), то решение может быть восстановлено точно. Покажемэто.

Пусть, например, значение на прямой y = y1 известно точно. Так какZu (x, y) = u (x, y, f (·)) = P (x − t, y) · f (t) dt = P (x, y) ∗ f (x) ,Rто в образах ФурьеF [u(·, ·, f (·))](ξ) = e−y|ξ| · F [f (·)](ξ).Тогда значение на прямой y = Y может быть найдено точно по формуле:F [u(·, Y, f (·))](ξ) = e−(Y −y1 )|ξ| · F [u(·, y1 , f (·))](ξ).Для случая y = y2 получаем аналогичное выражение.361.7 Линейная интерполяцияВ численных методах для восстановления значения функции в тойили иной метрике часто используют линейную интерполяцию.

Рассмотриманалогичный метод восстановления для решения задачи (P1 ).Пусть zi (·), i = 1, 2 — неточные измерения решения u(·, ·) задачиДирихле при y = yi , i = 1, 2, то естьku (·, yi ) − zi (·)kL2 (R) 6 δi ,δi > 0, i = 1, 2;0 6 y1 < y2 .Рассмотрим в качестве метода восстановления решения u(·, Y ), y1 < Y < y2следующий метод:m(z1 (·), z2 (·))(·) =Оценим его погрешность.Y − y2Y − y1z1 (·) +z2 (·).y1 − y2y 2 − y1По определению она является значениемследующей экстремальной задачи:Y−yY−y21u(·,Y)−→ maxz(·)+z(·)12y−yy−y1221L2 (R)ku (·, yi ) − zi (·)kL2 (R) 6 δi , δi > 0, z (·) ∈ L (R) , i = 1, 2, f (·) ∈ L (R).i22(21)Очевидно, что квадрат значения данной задачи не меньше следующейвеличины:2Y−yY−y21u (·, Y ) −.u(·,y)+u(·,y)12y1 − y2y 2 − y1L2 (R)По теореме Планшереля данная величина равна2Z −Y |ξ| Y − y2 −y |ξ| Y − y1 −y |ξ|112 e dξ.e−eF[f(·)](ξ)−2πy1 − y2y 2 − y1RЛегко проверить, что функцияg(ξ) = e−Y |ξ| −Y − y2 −y1 |ξ| Y − y1 −y2 |ξ|e−ey 1 − y2y2 − y137обращается в ноль только при ξ = 0.

Поэтому с помощью выбора f (·) можносделать интеграл сколь угодно большим. Это означает, что погрешностьметода линейной интерполяции равна бесконечности.38Глава 2. Оптимальное восстановление решения задачиДирихле для полуплоскости по n (n > 2) измерениямВ этой главе рассматривается задача об оптимальном восстановлениирешения задачи Дирихле для полуплоскости на прямой, параллельнойоси абсцисс по неточным его измерениям на n (n > 2) прямых, такжепараллельных оси абсцисс.2.1 Постановка задачиРассмотрим задачу Дирихле:∆u (x, y) = 0, (x, y) ∈ R2 , y > 0(P1 )u (x, 0) = f (x) , ∀x ∈ R, f (·) ∈ L2 (R) ,заключающуюся в нахождении гармонической функции u(·, ·) в верхнейполуплоскости, удовлетворяющей заданному граничному условию, котороепонимается так: u(·, y) → f (·) при y → 0 в метрике L2 (R) и, кроме того,sup ku(·, y)kL2 (R) < ∞.y>0В этом случае (см.

Предварительные сведения) решение данной задачиединственно и задается интегралом ПуассонаZu (x, y) = u (x, y, f (·)) = P (x − t, y) · f (t) dt = P (x, y) ∗ f (x) ,(22)R1 y— ядро Пуассона.π x2 + y 2Пусть приближенно известны значения гармонической функции нагде P (x, y) =n (n > 2) прямых y1 , y2 , . . . , yn (0 6 y1 < y2 < . . .

< yn ). Требуетсявосстановить ее значение на прямой y = Y (Y > 0) наилучшим образом.Дадим точную постановку задачи.39Пусть u(·, ·) — решение задачи (P1 ). Нам известны функции zi (·) ∈L2 (R) такие, чтоku (·, yi ) − zi (·)kL2 (R) 6 δi , δi > 0, i = 1, . . . , n;0 6 y1 < y2 < . . . < yn .По этой информации мы хотим восстановить наилучшим образом решениезадачи Дирихле на прямой y = Y , Y > 0, в метрике L2 (R). Обозначимȳ = (y1 (·), .

. . , yn (·)) ,δ̄ = (δ1 (·), . . . , δn (·)) ,z̄ = (z1 (·), . . . , zn (·)).Аналогично случаю двух переменных, назовем методом восстановлениялюбое отображениеm : (L2 (R))n = L2 (R) × . . . × L2 (R) → L2 (R) ,при этом величинуe (m) = e Y, ȳ, δ̄, m =supf (·),zi (·)∈L2 (R),ku(·,yi )−zi (·)kL2 (R) 6δi , i=1,2,...,nku (·, Y, f (·)) − m (z̄(·))kL2 (R)назовем погрешностью восстановления метода m. Тот методmb : (L2 (R))n → L2 (R) ,на котором погрешность восстановления минимальна, будем называтьоптимальным методом восстановления, а соответствующую погрешностьE Y, ȳ, δ̄ = e Y, ȳ, δ̄, mb =infne Y, ȳ, δ̄, mm: (L2 (R)) →L2 (R)назовем погрешностью оптимального восстановления.2.2 Формулировка основного результатаПостроим на плоскости (y, t) множество 1, 1 6 j 6 n + {(y, 0) | y > 0} ,M = Coyj , lnδj40(где Co A обозначает выпуклую оболочку множества A), которое представляетсобой алгебраическую сумму выпуклого многогранника и положительнойполупрямой.Определим функцию θ(·) на [0, ∞) по формуле:max{t | (y, t) ∈ M },θ(y) =−∞, если (y, t) ∈/ M.Ясно, что на [y1 , +∞) график функции θ(·) — вогнутая ломаная.

Обозначимточки ее излома через ys1 < ys2 < . . . < ysk (будем считать, что ys1 = y1 ).θ6ln δ1skqln δ1s3q2ln δ11qqqqqMqpqp pqp p ppppqqθ(y)ln δ1sqppppppy1 ys2qpppppppppppq-p p pyp p ps3yskp p qpp p pp pp pp pppp pqpp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pСвяжем с числами 0 < ysj < Y < ysj+1 ,yδsj > 0, δsj+1 > 0, 1 6 j 6 k−1,следующие величины:−2(Y − ysj )δsjys − Yysj+1 − ysj ,λ1 = j+1·ysj+1 − ysj δsj+12(y−Y) sj+1Y − ysjδsjysj+1 − ysj .λ2 =·ysj+1 − ysj δsj+1Теорема 2. Для любого Y > 0 справедливо равенство:E(Y, ȳ, δ̄) = e−θ(Y ) .1) Если 0 6 Y < y1 , то E(Y, z̄, δ̄) = +∞ и любой метод являетсяоптимальным;412) если Y = ysj , 1 6 j 6 k, то методmb (z̄(·)) (·) = zsj (·),является оптимальным;3) если k > 2 и tsj < Y < tsj+1 , 1 6 j 6 k − 1, то для любых функцийai (·) ∈ L∞ (R) , i = 1, 2, таких, чтоe−Y |ξ| = a1 (ξ) e−ysj |ξ| + a2 (ξ) e−ysj+1 |ξ| ,для п.в.

ξ ∈ Rи |a1 (·)|2 |a2 (·)|2 6 1, λ1 + λ2 L∞ (R)линейный операторmb a1 ,a2 : (L2 (R))n → L2 (R) ,действующий в образах Фурье по правилу:F [mb a1 ,a2 (z1 (·), z2 (·))](ξ) = a1 (ξ)·F [z1 (·)](ξ)+a2 (ξ)·F [z2 (·)](ξ) для п.в. ξ ∈ R,является оптимальным методом;4) если Y > ysk , то методmb (z̄(·)) (·) = P (·, Y − ysk ) ∗ zsk (·).является оптимальным.Сделаем некоторые замечания по поводу сформулированной теоремы.1) Если 0 6 Y < y1 , то θ(Y ) = −∞.

Значит E(Y, z̄, δ̄) = +∞, то естьневозможно восстановить значение функции до поступления какой-либоинформации о ней.2) Если точка восстановления совпадает с одной из точек излома графикаθ(·), то берем значение z(·) в этой точке.3) Оптимальный метод линеен, сглаживает наблюдения и используетинформацию не более, чем о двух измерениях до и после значения Y .424) В случае, когда Y > ysk , оптимальный метод — решение задачи Дирихлес начальной функцией zsk (·).Доказательство теоремы проведем в несколько этапов.2.3 Оценка снизу погрешности оптимального восстановления1. Рассмотрим задачу:ku(·, Y, f (·))kL2 (R) → max,ku(·, yi , f (·))kL2 (R) 6 δi , i = 1, . . .

, n,f (·) ∈ L2 (R) . (23)Покажем, что погрешность оптимального восстановления не меньше значенияэтой задачи, то естьE Y, ȳ, δ̄ >supku(·, Y, f (·))kL2 (R) .f (·)∈L2 (R),ku(·,yi ,f (·))kL2 (R) 6δi ,i=1,...,nПусть функция f (·) допустима в задаче (23). Тогда функция −f (·) —тоже допустима. Учитывая, что u(·, y, −f (·)) = −u(·, y, f (·)), для любогометодаm : (L2 (R))n → L2 (R) ,будем иметь:2ku(·, Y, f (·))kL2 (R) = ku(·, Y, f (·)) − m(0̄) − (−u(·, Y, f (·)) − m(0̄))kL2 (R) 6ku(·, Y, f (·)) − m(0̄)kL2 (R) + ku(·, Y, −f (·)) − m(0̄)kL2 (R) 62supku(·, Y, f (·)) − m(0̄)kL2 (R) 6f (·)∈L2 (R)2supku(·, Y, f (·)) − m(z̄(·))kL2 (R) =f (·),zi (·)∈L2 (R),ku(·,yi ,f (·))−zi (·)kL2 6δi ,i=1,...,n2 · e Y, ȳ, δ̄, m .Таким образом,ku(·, Y, f (·))kL2 (R) 6 e Y, ȳ, δ̄, m .43Переходя в этом неравенстве слева к верхней грани по всем допустимымфункциям f (·) в задаче (23), а затем справа к нижней грани по всем методамm, получим:ku(·, Y, f (·))kL2 (R) 6 E(Y, ȳ, δ̄).supf (·)∈L2 (R),ku(·,yi ,f (·))kL2 (R) 6δi ,i=1,...,n2.

Найдем значение задачи (23). Перейдем к образам Фурье. Так какF [u(·)](ξ) = F [P (·, ·) ∗ f (·)](ξ) = F [P (·, ·)](ξ) · F [f (·)](ξ) = e−y|ξ| · F [f (·)](ξ),то по теореме Планшереля квадрат значения задачи (23) равен значениюследующей задачи:12πZe−2Y |ξ| · |F [f (·)](ξ)|2 dξ → max,R12πZe−2yi |ξ| · |F [f (·)](ξ)|2 dξ 6 δi2 , i = 1, . .

. , n, f (·) ∈ L2 (R) . (24)RРассмотрим более общую задачу, а именно, задачу, где переменнымиявляются положительные борелевские меры на прямой:Ze−2Y |ξ| dµ (ξ) → max,RZe−2yi |ξ| dµ (ξ) 6 δi2 , i = 1, . . . , n, dµ (·) > 0. (25)RЭто выпуклая задача. Сопоставим ей функцию Лагранжа:ZZnX−2Y |ξ|L (dµ(·), λ) = − edµ (ξ) +λi ·  e−2y1 |ξ| dµ (ξ) − δi2  ,i=1RRгде λ = (λ1 , λ2 , . . . , λn ) — набор множителей Лагранжа.По теореме Каруша–Куна–Таккера, если существует допустимая мераb = (λb1 , λb2 , . .