Диссертация (Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным), страница 4

Перейдем к образам Фурье. Так какF [u(·, y, f (·))](ξ) = F [P (·, y) ∗ f (·)](ξ) =F [P (·, y)](ξ) · F [f (·)](ξ) = e−y|ξ| · F [f (·)](ξ),24то по теореме Планшереля квадрат значения задачи (5) равен значениюследующей задачи:12πZe−2Y |ξ| · |F [f (·)](ξ)|2 dξ → max,R12πZe−2yi |ξ| · |F [f (·)](ξ)|2 dξ 6 δi2 ,f (·) ∈ L2 (R) . (7)i = 1, 2,R1. Пусть δ1 > δ2 . Оценим сверху максимизируемый функционал в (7).Представим Y в виде:Y = y1y2 − YY − y1+ y2.y 2 − y1y 2 − y1Тогда, очевидно, справедливо равенство:y2 −Yy2 −YY −y1Y −y1e−2Y |ξ| ·|F [f (·)](ξ)|2 = e−2y1 |ξ| y2 −y1 |F [f (·)](ξ)|2 y2 −y1 ·e−2y2 |ξ| y2 −y1 |F [f (·)](ξ)|2 y2 −y1 .По неравенству Гёльдера для любого f (·) ∈ L2 (R) получим:12πZe−2Y |ξ| · |F [f (·)](ξ)|2 dξ 6R−Y  yy2−y12π2Ze−2y1 |ξ|2· |F [f (·)](ξ)| dξ 1 yY −y1−y1·2πRZ2−2y2 |ξ|e12· |F [f (·)](ξ)| dξ 6R2(y2 −Y )y2 −y1δ12(Y −y1 )y2 −y1· δ2.Покажем, что эта оценка точна.

Построим для этого последовательностьдопустимых в задаче (7) функций ϕn , таких, чтоZ2(y2 −Y )2(Y −y1 )1y2 −y1−2Y |ξ|2lime· |F [ϕn (·)](ξ)| dξ = δ1· δ2 y2 −y1 .n→∞ 2πRПоложимξ0 =ln (δ1 /δ2 )> 0,y2 − y1Kn =√25y2y2 − y12πn · δ1−y1y2 − y1· δ2.Пусть функции ϕn (·) ∈ L2 (R) таковы, чтоKn , если ξ ∈ [ξ0 ; ξ0 + 1 ];nF [ϕn (·)](ξ) =0,если ξ ∈/ [ξ0 ; ξ0 + n1 ].(8)Покажем, что эти функции допустимы в задаче (7), то естьZ1e−2yi |ξ| · |F [ϕn (·)](ξ)|2 dξ 6 δi2 , i = 1, 2.2πRДействительно,12πZ−2yi |ξ|e2· |F [ϕn (·)](ξ)| dξ =Kn2ξ0 + n1Ze2π−2yi ξKn2 −2yi ξ0dξ 6e=2πnξ0R−2y12y2−2y1 −2yi ln(δ1 /δ2 )2y2y − y1 y2 − y1 −2yi ξ0y − y 1 y2 − y1y2 − y1=δ2e= δ1 2δ2eδ1 22y2−2y1 −2yi2(y2 − yi ) −2(y1 − yi )y − y 1 y 2 − y 1 δ1 y 2 − y 1y − y1y − y1δ1 2δ2= δ1 2δ2 2= δi2 ,δ2i = 1, 2.(9)Вычислим значение максимизируемого функционала в (7):12πZξ0 + n11e−2Y |ξ| · |F [ϕn (·)]|2 (ξ)dξ =2πZe−2Y ξ · Kn2 dξ =ξ0RKn2=2πξ0 + n1Z−2Y ξe −2YKn2−2Y ξ0ndξ = −·ee−1 =4πYξ0 2Y12πn y22y−y2 1 y−2y−2Y ξ0−n2 −y1=−·δ· δ2·e· e−1 =4πY 1 2Y2y2−2y1ln(δ /δ )n−2Y y 1−y 2y2 −y1y2 −y1−n21=−·δ−1 =· δ2·e· e2Y 1 2Y2(y2 −Y )2(Y −y1 )ny2 −y1y2 −y1−n=−·δ· δ2· e−1 .2Y 12(y2 −Y )y2 −y1Выражение справа при n → ∞ стремится к величине δ1262(Y −y1 )y2 −y1· δ2.Таком образом, значение задачи (7) равно2(y2 −Y )y2 −y1ku(·, yi , f (·))kL2 (R) = δ1sup2(Y −y1 )y2 −y1· δ2.f (·)∈L2 (R),ku(·,yi ,f (·))kL2 (R) 6δi , i=1,2Тогда, согласно (6), справедлива следующая оценка снизу для погрешностиоптимального восстановления:y2 −Yy2 −y1E(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ) > δ1Y −y1y2 −y1· δ2.2.

Пусть δ1 6 δ2 . Поскольку Y > y1 , тоZZ112−2Y |ξ|e· |F [f (·)](ξ)| dξ 6e−2y1 |ξ| · |F [f (·)](ξ)|2 dξ 6 δ12 .2π2πRRПокажем, что эта оценка точна. Построим для этого последовательностьдопустимых в задаче (7) функций ϕn , таких, чтоZ21lime−2Y |ξ| · F [ϕn (·)](ξ) dξ = δ12 .n→∞ 2πRПоложимKn =√2πn · δ1 .Пусть функции ϕn (·) ∈ L2 (R) таковы, чтоKn , если ξ ∈ [0; 1 ];nF [ϕn (·)](ξ) =0,если ξ ∈/ [0; n1 ].Покажем, что эти функции допустимы в задаче (7), то естьZ21e−2yi |ξ| · F [ϕn (·)](ξ) dξ 6 δi2 , i = 1, 2.2πRДействительно,12πZKn22−2yi |ξ|e· |F [ϕn (·)](ξ)| dξ =2πZ1/nKn2−2yi ξedξ 6= δ12 6 δ22 .2πn0R27(10)Вычислим значение максимизируемого функционала в (7):12πZ1e−2Y |ξ| · |F [ϕn (·)]|2 (ξ) dξ =2πZ1/ne−2Y ξ · Kn2 dξ =0RKn2=2πZ1/n 2YKn2 −2Yn−2Y ξ2−nnedξ = −e−1 =−·δ e−1 .4πY2Y 10Выражение справа при n → ∞ стремится к величине δ12 .Таким образом, в этом случае значение задачи (7) равноsupku(·, yi , f (·))kL2 (R) = δ12 .f (·)∈L2 (R),ku(·,yi ,f (·))kL2 (R) 6δi , i=1,2Тогда, согласно (6), справедлива следующая оценка снизу для погрешностиоптимального восстановления:E(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ) > δ1 .1.4 Оценка сверху погрешности оптимального восстановления иоптимальные методы1.

Пусть δ1 > δ2 . Построим методы m, для которых погрешность имеет вид:y2 −Yy2 −y1e (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m)b = δ1Y −y1y2 −y1· δ2.Такие методы, очевидно, будут являться оптимальными.Будем рассматривать методы вида:ma1 ,a2 (z1 (·), z2 (·)) = Λ1 z1 (·) + Λ2 z2 (·),(11)где Λi : L2 (R) → L2 (R) , i = 1, 2 — линейные непрерывные операторы,действия которых в образах Фурье имеют вид:F [Λi zi (·)](ξ) = ai (ξ) · F [zi (·)](ξ),28ai (·) ∈ L∞ (R) , i = 1, 2.Оценим погрешность такого метода. По определению, она равна значениюследующей задачи:ku (·, Y ) − (Λ1 z1 (·) + Λ2 z2 (·))kL2 (R) → maxku (·, yi ) − zi (·)kL2 (R) 6 δi ,(12)δi > 0, zi (·) ∈ L2 (R) , i = 1, 2, f (·) ∈ L2 (R)u (·, ·) − решение задачи (P1 ).Запишем эту задачу в образах Фурье. Используя теорему Планшереля,получим, что квадрат значения задачи (12) будет равен значению следующейзадачи: Z 21 −Y |ξ|F [f (·)](ξ) − (a1 (ξ) · F [z1 (·)](ξ) + a2 (ξ) · F [z2 (·)](ξ)) dξ → max,e2πR Z21 −yi |ξ|eF[f(·)](ξ)−F[z(·)](ξ) dξ 6 δi2 ,i2πRai (·) ∈ L∞ (R) , δi > 0, zi (·) ∈ L2 (R) , i = 1, 2, f (·) ∈ L2 (R).(13)Положимri (ξ) = F [u(·, yi ) − zi (·)](ξ) = e−yi |ξ| F [f (·)](ξ) − F [zi (·)](ξ), i = 1, 2.Тогда задача (13) примет вид: Z −Y |ξ|1−y1 |ξ|eF [f (·)](ξ) − a1 (ξ) · e· F [f (·)](ξ) − r1 (ξ) −2πR 2−a2 (ξ) · e−y2 |ξ| · F [f (·)](ξ) − r2 (ξ) dξ → max,Z1|ri (ξ)|2 dξ 6 δi2 ,2πR a (·) ∈ L (R) , δ > 0, z (·) ∈ L (R) , i = 1, 2, f (·) ∈ L (R).i∞ii2292(14)Преобразуем максимизируемый функционал:12πZ −Y |ξ|−y1 |ξ|eF [f ](ξ) − a1 (ξ) · e· F [f ](ξ) − r1 (ξ) −R−y2 |ξ|2· F [f ](ξ) − r2 (ξ) dξ =− a2 (ξ) · eZ1−Y |ξ|−y1 |ξ|−y2 |ξ|F [f ](ξ) · e− a1 (ξ)e− a2 (ξ)e+=2πR2a1 (ξ)r1 (ξ) + a2 (ξ)r2 (ξ) dξ.Если функцияh(ξ) = e−Y |ξ| − a1 (ξ)e−y1 |ξ| − a2 (ξ)e−y2 |ξ| .отлична от нуля на множестве положительной меры, то, полагая ri (ξ) = 0,и подбирая функцию f (·) так, чтобы интеграл был сколь угодно большим,мы получим, что значение задачи (14) равно бесконечности.

Поскольку насинтересуют оптимальные методы, то этот случай мы исключаем. Итак,считаем, что h(·) = 0 и задача (14) примет вид: Z12|a(ξ)r(ξ)+a(ξ)·r(ξ)|dξ → max1122 2πRZ1|ri (ξ)|2 dξ 6 δi , δi > 0, ai (·) ∈ L∞ (R) , i = 1, 2, f (·) ∈ L2 (R) . 2πR(15)Оценим сверху максимизируемый функционал. Для произвольных λ1 , λ2 > 0,применяя неравенство Коши-Буняковского, получим:2p a1 (ξ) pa(ξ)2|a1 (ξ) · r1 (ξ) + a2 (ξ) · r2 (ξ)| = √ · λ1 r1 (ξ) + √ · λ2 r2 (ξ) 6λ1λ2!|a1 (ξ)|2 |a2 (ξ)|26+· λ1 · |r1 (ξ)|2 + λ2 · |r2 (ξ)|2 .λ1λ22Обозначим|a1 (ξ)|2 |a2 (ξ)|2S(ξ) =+.λ1λ230Тогда, учитывая, что12πZ|ri (ξ)|2 dξ 6 δi2 ,i = 1, 2,Rбудем иметь:12πZ|a1 (ξ) · r1 (ξ) + a2 (ξ) · r2 (ξ)|2 dξ 6R12πZS(ξ) · λ1 · |r1 (ξ)|2 + λ2 · |r2 (ξ)|2 dξ 6Rmax |S(ξ)| · λ1 ·ξ∈R12πZ|r1 (ξ)|2 dξ + λ2 ·12πRZ|r2 (ξ)|2 dξ  6RkS(·)k∞ · λ1 δ12 + λ2 δ22 .

(16)Пусть теперь коэффициенты λ1 , λ2 из формулировки теоремы:y2 − Yλ1 =·y 2 − y1−Y 2 yy1−y21δ1,δ2Y − y1·λ2 =y2 − y1−Y 2 yy2−y21δ1.δ2Легко проверить, чтоy −Yλ1 δ12+λ2 δ22=2 2δ1 y2 −y1Y −y·12δ2 y2 −y1 .В этом случае неравенство (16) примет вид:Zy −YY −y2 y 2−y2 y −y11221|a1 (ξ)ϕ1 (ξ) + a2 (ξ)ϕ2 (ξ)| dξ 6 kS(·)k∞ · δ1· δ2 2 1 .2πRПотребуем, чтобы kS(·)k∞ 6 1.

ТогдаZy −YY −y2 y 2−y2 y −y11221· δ2 2 1 ,|a1 (ξ) · r1 (ξ) + a2 (ξ) · r2 (ξ)| dξ 6 δ12πRи, следовательно, значение задачи (12) удовлетворяет неравенству:y2 −Yy2 −y1ku(·, Y ) − m(z1 , z2 )kL2 (R) 6 δ131Y −y1y2 −y1· δ2.Переходя к верхней грани по всем допустимым функциям z1 (·), z2 (·), f (·),мы получим оценку погрешности метода m:e(m) = e (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m) =y2 −Yy2 −y1supzi (·)∈L2 (R),f (·)∈L2 (R)ku(·,yi )−zi (·)kL2 (R) 6δi ,i=1,2,ku (·, Y ) − m (z1 (·), z2 (·))kL2 (R) 6 δ1Y −y1y2 −y1· δ2.В пункте 1 было показано, что для погрешности оптимального восстановлениясправедлива оценка снизу:y2 −Yy2 −y1E(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ) > δ1Y −y1y2 −y1· δ2.Таким образом, если функции a1 (·), a2 (·) таковы, что kS(·)k∞ 6 1, тосоответствующий метод ma1 ,a2 является оптимальным:y2 −Yy2 −y1δ1Y −y1y2 −y1· δ2y2 −Yy2 −y16 E(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ) 6 e(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , ma1 ,a2 ) 6 δ1Y −y1y2 −y1· δ2,то естьE(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ) = e(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , mb a1 ,a2 ).2.

Пусть δ1 6 δ2 . Построим метод m,b для которого погрешность имеет вид:e (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m)b = δ1 .Такой метод, очевидно, будет являться оптимальным.Будем рассматривать методы вида:m (z1 (·), z2 (·)) = Λz1 (·),(17)где Λ : L2 (R) → L2 (R) — линейный непрерывный оператор, действиекоторого в образах Фурье имеет вид:F [Λz1 (·)](ξ) = a(ξ) · F [z1 (·)](ξ),32a(·) ∈ L∞ (R) .Оценим погрешность такого метода. По определению, она равна значениюследующей задачи:ku (·, Y ) − (Λz1 (·))kL2 (R) → maxku (·, yi ) − zi (·)kL2 (R) 6 δi ,(18)δi > 0, zi (·) ∈ L2 (R) , i = 1, 2, f (·) ∈ L2 (R)u (·, ·) − решение задачи (P1 ).Запишем эту задачу в образах Фурье. Используя теорему Планшереля,получим, что квадрат значения задачи (18) будет равен значению такойзадачи: Z 21 −Y |ξ|F [f (·)](ξ) − (a(ξ) · F [z1 (·)](ξ)) dξ → max,e2πR Z21 −yi |ξ|2eF[f(·)](ξ)−F[z(·)](ξ)dξ6δ,ii2πRa(·) ∈ L∞ (R) , δi > 0, zi (·) ∈ L2 (R) , i = 1, 2, f (·) ∈ L2 (R).(19)Пусть a(ξ) = e−(Y −y1 )|ξ| .

Оценим при этом значение задачи (19).Z 21 −Y |ξ|F [f (·)](ξ) − (a(ξ) · F [z1 (·)](ξ)) dξ =e2πRZ 21 −Y |ξ|−(Y −y1 )|ξ|F [f (·)](ξ) − e· F [z1 (·)](ξ) dξ =e2πRZ −(Y −y )|ξ| −y |ξ|121ieeF [f (·)](ξ) − F [zi (·)](ξ) dξ 62πRZ −y |ξ|1e 1 F [f (·)](ξ) − F [z1 (·)](ξ)2 dξ 6 δ12 .2πRМы показали, чтоδ1 6 E(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ) 6 e(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m)b 6 δ1 ,то естьE(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ) = e(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m)b = δ1 ..33Следовательно, метод видаm(z1 , z2 )(ξ) = e−y1 |ξ| · F [z1 (·)](ξ)является оптимальным.1.5 Оптимальный методПостроим семейство оптимальных методов для случая δ1 > δ2 > 0.