Диссертация (Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным), страница 2

Общая ее постановка такова.Пусть X — линейное пространство, Y и Z — нормированные пространства, T : X → Z и I : X → Y — линейные операторы, и W —некоторое непустое множество (класс) элементов из X. Рассматриваетсязадача о восстановлении значения оператора T на множестве W по неточнойинформации об элементах этого множества. О любом элементе x ∈ W намизвестен элемент y ∈ Y такой, что kIx − ykY 6 δ (если δ = 0, то известенэлемент Ix).Под методами восстановления понимаются произвольныеотображения m : Y → Z. Следующая диаграмма иллюстрирует действиявведенных отображений.W ⊂XIT-AAAUZmYПогрешностью метода m называется величинаe(T, W, I, δ, m) =supkT x − m(y)kZ .x∈W, y∈Y,kIx−ykY 6δНас интересуют те методы m,b на которых эта величина принимаетнаименьшее значение, т.

е. методы, для которых справедливо равенствоe(T, W, I, δ, m)b =inf e(T, W, I, δ, m).m: Y →Z7Такие методы будем называть оптимальными.Величина справа называется погрешностью оптимального восстановления(независимо от того, достигается нижняя грань или нет) и обозначаетсяE(T, W, I, δ).2. Краткое содержание работыВ данной работе решается задача об оптимальном восстановлениирешения задачи Дирихле в верхней полуплоскости по следующей информации: известны (с некоторой погрешностью) решения на двух или болеепрямых, либо информация о граничной функции задана не точно и неполностью.Рассмотрим следующую постановку задачи Дирихле:∆u (x, y) = 0, (x, y) ∈ R2 , y > 0(P1 )u (x, 0) = f (x) , ∀x ∈ R, f (·) ∈ L2 (R) ,заключающуюся в нахождении гармонической функции u(·, ·) в верхнейполуплоскости, удовлетворяющей заданному граничному условию, котороепонимается так: u(·, y) → f (·) при y → 0 в метрике L2 (R) и, кроме того,sup ku(·, y)kL2 (R) < ∞.y>0В этом случае, как следует из [48], решение данной задачи единственно изадается интегралом Пуассона:Zu (x, y) = u (x, y, f (·)) = P (x − t, y) · f (t) dt = P (x, y) ∗ f (x) ,(1)R1 y— ядро Пуассона.π x2 + y 21.

В первой главе мы хотим восстановить (по возможности, наилучшимгде P (x, y) =образом) решение задачи (P1 ) на прямой y = Y по неточным его измерениямна прямых y = y1 и y = y2 , где 0 6 y1 < Y < y2 .8Точная постановка задачи такова. Пусть u(·, ·) — решение задачи (P1 )и известны функции zi (·) ∈ L2 (R) такие, чтоku (·, yi ) − zi (·)kL2 (R) 6 δi ,δi > 0, i = 1, 2;0 6 y1 < y2 .По этой информации мы хотим восстановить решение задачи Дирихле напрямой y = Y , y1 < Y < y2 в метрике L2 (R).Мы действуем в соответствии с общей схемой, изложенной во введении.Любое отображение m : L2 (R) × L2 (R) → L2 (R) является методомвосстановления, при этом величинаe (m) = e (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m) =supf (·),zi (·)∈L2 (R),ku(·,yi )−zi (·)kL2 (R) 6δi , i=1,2ku (·, Y, f (·)) − m (z1 (·), z2 (·))kL2 (R)есть погрешность метода m.Тот методmb : L2 (R) × L2 (R) → L2 (R) ,на котором погрешность восстановления минимальна, то естьe (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m)b =infm: L2 (R)×L2 (R)→L2 (R)e (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m) ,называется оптимальным методом восстановления, а величинаE (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ) =infm: L2 (R)×L2 (R)→L2 (R)e (Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 , m)будет погрешностью оптимального восстановления.Свяжем с числами 0 < y1 < Y < y2 ,δ1 > 0, δ2 > 0 следующиевеличины:−y1 ) −2(Yy2 −y1y2 − Yδ1λ1 =·,y 2 − y1δ2−Y ) 2(yy 2−y21Y − y1δ1λ2 =·.y2 − y1δ2Теорема 1.

1) Пусть 0 6 y1 < Y < y2 , δ1 > δ2 > 0. Тогда погрешностьоптимального восстановления имеет вид:y2 −Yy2 −y1E(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ) = δ19Y −y1y2 −y1· δ2.Для любых функций ai (·) ∈ L∞ (R) , i = 1, 2, таких, чтоe−Y |ξ| = a1 (ξ) e−y1 |ξ| + a2 (ξ) e−y2 |ξ| ,для п.в. ξ ∈ Rи |a1 (·)|2 |a2 (·)|2 6 1, λ1 + λ2 L∞ (R)линейный операторmb a1 ,a2 : L2 (R) × L2 (R) → L2 (R) ,действующий в образах Фурье по правилу:F [mb (z1 (·), z2 (·))](ξ) = a1 (ξ) · F [z1 (·)](ξ) + a2 (ξ) · F [z2 (·)](ξ) для п.в. ξ ∈ R,является оптимальным методом.2) Пусть 0 6 y1 < Y < y2 , 0 < δ1 6 δ2 . Тогда погрешность оптимальноговосстановления имеет вид:E(Y, y1 , y2 , δ1 , δ2 ) = δ1 .При этом метод видаm(z1 , z2 )(ξ) = e−y1 |ξ| · F [z1 (·)](ξ)является оптимальным.Как будет показано далее, множество оптимальных методов не пусто.2.

Во второй главе рассматривается аналогичная задача для случаяn (n > 2) измерений. Также получено значение погрешности оптимальноговосстановления для различных случаев расположения прямой. В каждомслучае указан оптимальный метод.Дадим точную постановку задачи. Пусть u(·, ·) — решение задачи (P1 ).Нам известны функции zi (·) ∈ L2 (R) такие, чтоku (·, yi ) − zi (·)kL2 (R) 6 δi , δi > 0, i = 1, .

. . , n;100 6 y1 < y2 < . . . < yn .По этой информации мы хотим восстановить наилучшим образом решениезадачи Дирихле на прямой y = Y , Y > 0 в метрике L2 (R). Обозначимȳ = (y1 (·), . . . , yn (·)) ,δ̄ = (δ1 (·), . . . , δn (·)) ,z̄ = (z1 (·), . . . , zn (·)).Аналогично предыдущему, любое отображениеm : (L2 (R))n = L2 (R) × . .

. × L2 (R) → L2 (R)есть метод восстановления. Погрешность этого метода задается величинойe (m) = e Y, ȳ, δ̄, m =supf (·),zi (·)∈L2 (R),ku(·,yi )−zi (·)kL2 (R) 6δi , i=1,2,...,nku (·, Y, f (·)) − m (z̄(·))kL2 (R) .Тот методmb : (L2 (R))n → L2 (R) ,на котором погрешность восстановления минимальна, будем называтьоптимальным методом восстановления, а соответствующую погрешностьE Y, ȳ, δ̄ = e Y, ȳ, δ̄, mb =infne Y, ȳ, δ̄, mm: (L2 (R)) →L2 (R)назовем погрешностью оптимального восстановления.Построим на плоскости (y, t) множество 1M = Coyj , ln, 1 6 j 6 n + {(y, 0) | y > 0} ,δj(где Co A обозначает выпуклую оболочку множества A), которое представляетсобой алгебраическую сумму выпуклого многогранника и положительнойполупрямой.Определим функцию θ(·) на [0, ∞) по формуле:max{t | (y, t) ∈ M },θ(y) =−∞, если (y, t) ∈/ M.Ясно, что на [y1 , +∞) график функции θ(·) — вогнутая ломаная. Обозначимточки ее излома через ys1 < ys2 < .

. . < ysk (будем считать, что ys1 = y1 ).11θ6ln δ1skqln δ1s3q2ln δ11ppppppqqqqqMqpqp pqp ppppqqθ(y)ln δ1sqqppppppy1 ys2ppppppq-p p pyp p s3yskp p p qpp p pp pppp pp pp pqpp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pСвяжем с числами 0 < ysj < Y < ysj+1 ,yδsj > 0, δsj+1 > 0, 1 6 j 6 k−1,следующие величины:−2(Y − ysj )δsjys − Yysj+1 − ysj ,λ1 = j+1·ysj+1 − ysj δsj+12(y−Y) sj+1δsjY − ysjysj+1 − ysj .·λ2 =ysj+1 − ysj δsj+1Теорема 2. Для любого Y > 0 справедливо равенство:E(Y, ȳ, δ̄) = e−θ(Y ) .1) Если 0 6 Y < y1 , то E(Y, z̄, δ̄) = +∞ и любой метод являетсяоптимальным;2) если Y = ysj , 1 6 j 6 k, то методmb (z̄(·)) (·) = zsj (·),является оптимальным;3) если k > 2 и tsj < Y < tsj+1 , 1 6 j 6 k − 1, то для любых функцийai (·) ∈ L∞ (R) , i = 1, 2, таких, чтоe−Y |ξ| = a1 (ξ) e−ysj |ξ| + a2 (ξ) e−ysj+1 |ξ| ,для п.в.

ξ ∈ Rи |a1 (·)|2 |a2 (·)|2 6 1, λ1 + λ2 L∞ (R)12линейный операторmb a1 ,a2 : (L2 (R))n → L2 (R) ,действующий в образах Фурье по правилу:F [mb a1 ,a2 (z1 (·), z2 (·))](ξ) = a1 (ξ)·F [z1 (·)](ξ)+a2 (ξ)·F [z2 (·)](ξ) для п.в. ξ ∈ R,является оптимальным методом;4) если Y > ysk , то методmb (z̄(·)) (·) = P (·, Y − ysk ) ∗ zsk (·).является оптимальным.Сделаем некоторые замечания по поводу сформулированной теоремы.1) Если 0 6 Y < y1 , то θ(Y ) = −∞. Значит E(Y, z̄, δ̄) = +∞, то естьневозможно восстановить значение функции до поступления какой-либоинформации о ней.2) Если точка восстановления совпадает с одной из точек излома графикаθ(·), то берем значение z(·) в этой точке.3) Оптимальный метод линеен, сглаживает наблюдения и используетинформацию не более, чем о двух измерениях до и после значения Y .4) В случае, когда Y > ysk , оптимальный метод — решение задачи Дирихлес начальной функцией zsk (·).3.Третья глава посвящена проблеме наилучшего восстановлениярешения задачи Дирихле в метрике L2 на прямой в верхней полуплоскости,параллельной оси абсцисс, по следующей информации о граничной функции:граничная функция принадлежит некоторому соболевскому пространствуфункций, а ее преобразования Фурье известно приближенное (в метрикеL∞ ) на конечном отрезке, симметричном относительно нуля.13Построеноптимальный метод восстановления и найдено точное значение погрешностиоптимального восстановления.Точная постановка задачи следующая.Рассмотрим пространствофункций:W2r∞ (R) = {f (·) ∈ L2 (R) : f (r) (·) ∈ L2 (R), F [f ](·) ∈ L∞ (R)},где производные функции f (·) и ее преобразование Фурье F [f ](·) понимаютсяв обобщенном смысле.Обозначим через W2r∞ (R) соболевский класс функций на прямой: (r) rr6 1}.W2 ∞ (R) = {f (·) ∈ W2 ∞ (R), f (·)L2 (R)Ставится задача о наилучшем восстановлении функции u(·, Y ) — решениязадачи Дирихле на прямой y = Y , где Y > 0, по следующей информации ограничной функции f (·) ∈ W2r∞ (R): задано приближенно ее преобразованиеФурье F [f ](·) на отрезке [−σ, σ], σ > 0, в метрике L∞ ([−σ, σ]).

То естьизвестна функция g(·) ∈ L∞ ([−σ, σ]) такая, чтоkF [f ](·) − g(·)kL∞ ([−σ,σ]) 6 δ,где δ > 0.Задача оптимального восстановления u(·, Y ) понимается следующимобразом. Как и ранее, любое отображениеm : L∞ [−σ, σ] → L2 (R)объявляется методом восстановления. Погрешность этого метода определяетсявеличинойre(Y, W2∞(R), δ, σ, m) =supf (·)∈W2r∞ (R), g(·)∈L∞ [−σ, σ]kF [f ](·)−g(·)kL∞ [−σ, σ] 6δku(·, Y ) − m(g(·))kL2 (R) .Нас интересует величинаE(Y, W2r∞ (R), δ, σ) =infm : L∞ [−σ, σ]→L2 (R)14re(Y, W2∞(R), δ, σ, m),которая называется погрешностью оптимального восстановления и, конечно,те методы m,b на которых нижняя грань достигается:E(Y, W2r∞ (R), δ, σ) = e(Y, W2r∞ (R), δ, σ, m).bЭти методы мы называем оптимальными методами восстановления.1/(2r+1)π(2r + 1)Теорема 3.

Пусть δ > 0, σ > 0, σb=, σ0 = min{σ, σb}.δ2Метод mb : L∞ [−σ, σ] → L2 (R), действующий в образах Фурье по правилу:e−Y |ξ| 1 − e−2Y (σ0 −|ξ|) (ξ/σ0 )2r g(ξ), |ξ| 6 σ0 ,F [m(g(·))](ξ)b=0,|ξ| > σ0 ,является оптимальным.Погрешность оптимального восстановления имеет вид:s22δδσ10E(Y, W2r∞ (R), δ, σ) =(1 − e−2Y σ0 ) + e−2Y σ0−.2πYσ02r π(2r + 1)Следует отметить, что оптимальный метод использует, вообще говоря,не всю доступную информацию, а ту, которую использует, определеннымобразом «сглаживает».4. В четвертой главе рассматривается задача о наилучшем (оптимальном) восстановлении решения задачи Дирихле для верхней полуплоскостипо точно или приближенно известному преобразованию Фурье граничнойфункции в метрике L2 .