Неофициальный отзыв (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации)

Отзыв на автореферат Д.ф.-м.н., в.н.с. отдела математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН (тел. 89167716628 )гозугеуЯгпсгаз.ги) Козырев Сергей Владимирович 18. 12. 2014 Ученый секретарь Мате Института им. В.А. Стекл д.ф.-м.н. Ь'- (х Печень А.Н. диссертации Мохамеда Хаммада Нумана Эльшейха «Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации» на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы, и оптимальное управление.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Во введении перечисляются основные результаты диссертации. В первой главе обсуждаются операторы Шредингера на геометрических графах и их самосопряженные расширения. Геометрическим графом в диссертации называется набор полупрямых, соединенных общей вершиной. Нэ таких полупрямых рассматриваются дифференциальные операторы второго порядка, действующие в пространствах функций с компактным носителем, причем носитель не содержит вершину. Рассматриваются расширения операторов на пространства функций, удовлетворяющих некоторым граничным условиям (вида набора линейных условий на граничные значения функции и ее производной на наборе сходящихся в граничной точке полупрямых).

Описаны все самосопряженные расширения. Во второй главе диссертации для порожденной рассмотренными расширениями оператора Лапласа динамики строятся формулы Фейнмана (по так называемой теореме Чернова в смысле Смолянова и соавторов, являющейся операторным обобщением первого замечательного предела). При атом динамика на графе строится как предел для функции времени, которая стоится как композиция продолжения функции с полупрямой на прямую, свертки с фундаментальным решением уравнения теплопроводности и ограничения функции на полупрямую. Самосопряженное расширение оператора Лапласа при этом выбирается специальным образом и обсуждается связь такого выбора с условиями Кирхгоффа (линейными условиями на функцию и производные, отвечающими непрерывности и сохранению потока).

В третьей главе диссертации эта же программа проделывается для уравнения Шредингера на графе, а в четвертой главе диссертации для диффузии со сносом. При этом функции времени для теоремы Чернова выбираются более сложным образом и рассматриваются соответствующие обобщения граничных условий типа Кирхгоффа. Работа представляет собой обширное исследование, содержащее ряд новых результатов, представляющих значительный научный интерес. Решенные в диссертации задачи представляют существенный интерес для специалистов.

Основные результаты диссертации были своевременно опубликованы. Диссертация удовлетворяет всем требованиям «Положения о порядке присуждения ученых степеней» ВАК, а ее автор, Мохамед Хаммад Нуман Эльшейх, заслуживает присуждения ему ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы, и оптимальное управление. .