Диссертация (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации), страница 9

А в силу унитарности преобразования F0 (t) справедливоравенствоkwkj (t, x)k2L2 (R) = kwkj (0, x)k2L2 (R) .Лемма 3.4.11. Для любого j = 1, ..., n справедливо равенствоXwkj = F1 u|Γ̂j .k6=jРавенство проверяется непосредственно.78Следствие 3.4.7. Для любого j = 1, ..., n и любого t ≥ 0 справедливоравенствоXwkj (t, x) = F0 (t)F1 u|Γ̂j ,k6=jи, следовательно,Xzkj (t, x) = F(t)u|Γj = uj (t, x),k6=jпри всех t ≥ 0.Действительно, при b = 0, c = 0, равенствоΦ0 (t) = F3 F2 (t)F1 ,справедливо при всех t ≥ 0, поэтому утверждение следствия следует изутверждения леммы 3.4.11.Лемма 3.4.12. Преобразования Φ0 (t), t ≥ 0, являются сжимающими преобразованиями пространства H = L2 (Γ).Доказательство.Для всякой функции u ∈ H справедливо равенствоkΦ0 (t)u(x)k2H=nXkuj (t, x)k2L2 (Γj ) ,j=1поэтому в силу следствия 3.4.7kΦ0 (t)u(x)k2Hn h Xn hXi XXj2k=zk (t, x)kL2 (Γj ) =kzkj (t, x)k2L2 (Γj ) +j=1+2j=1k6=jXk6=jiRe(zkj (t, x), zlj (t, x))k,l6=j; l<kПоэтому в силу неравенства2|Re(u, v)| ≤ kuk2 + kvk2 ,79.справедлива оценкаkΦ0 (t)u(x)k2H≤n hXXj=1+n hXj=1X kzkj (t, x)k2L2 (Γj )i+k6=jkzkj (t, x)k2L2 (Γj )+kzlj (t, x)k2L2 (Γj )i=k,l6=j; l<k= (n − 1)n hXXj=1= (n − 1)n h XXj=1kzkj (t, x)k2L2 (Γj )i=k6=jkzkj (t, x)k2L2 (Γj )+kzjk (t, x)k2L2 (Γk )i.k>jПоэтому в силу леммы 3.4.10 для всех t ≥ 0 справедливо неравенствоkΦ0 (t)u(x)k2H≤ (n − 1)n h XXj=1kzkj (0, x)k2L2 (Γj )+kzjk (0, x)k2L2 (Γk )i=k>jhi12n−12n2= (n − 1) kz2 (0, x)kL2 (Γ1 ) + ...

+ kzn (0, x)kL2 (Γn−1 ) + kz1 (0, x)kL2 (Γn ) .2Поэтому в силу определения функций zkj по функции u ∈ L2 (Γ) справедлива оценкаkΦ0 (t)uk2H≤nXkuj k2L2 (Γj ) = kuk2H .j=1Лемма 3.4.12, а вместе с ней и теорема 3.4.11, доказаны.Временно обозначим через Fc,b (t), t ≥ 0, оператор-функцию (3.2.45)при каких-либо b ∈ Cb1 (Γ), c ∈ Cb (Γ), а через Φ0 (t) = F3 F2 (t)F1 , t ≥ 0 –тоже функцию при условии b = 0, c = 0.Теперь исследуем оценку роста нормы функции Fc,b (t), t ≥ 0, припроизвольных c ∈ L∞ (Γ) и b ∈ Cb1 (Γ).Так какkF3 kB(L2 (Γ),Lb 2 (Γ)) = 1; kMS,±b kB(L2 (Γ)) = 1, kFCb (t)kB(L2 (Γ))b = 1,80kF2 (t)kB(L2 (Γ))b = 1 kF1 kB(L2 (Γ),L2 (Γ))b = 2,тоkFc,b (t)−Φ0 (t)kB(L2 (Γ)) ≤ kF3 kkMS,−b kkFCb (t)−IkkF2 (t)kkkMS,b kkF1 k ≤≤ 2kFCb (t) − Ik ≤ 2kCb kL∞ (Γ) t,(3.4.50)где Cb (x) = C(x) + B 2 (x)Следствие 3.4.8.

Если H = L2 (Γ), c ∈ Cb (Γ) и b ∈ Cb1 (Γ), тоkFc,b (t)kB(H) ≤ 1 + 2(kckL∞ (Γ) + kb2 kL∞ (Γ) )t.Доказательство.kFc,b kB(H) ≤ kΦ0 (t)kB(H) + kFc,b (t) − Φ0 (t)kB(H) ,в силу леммы 3.4.12 и оценки (3.4.50), следуетkFc,b (t)kB(H) ≤ 1 + 2(kckL∞ (Γ) + kb2 kL∞ (Γ) )t.Тогда согласно следствию 3.4.8, теореме 3.3.10, замечанию 3.3.5 и следствию 2.1.2 справедлива теорема.Теорема 3.4.12. Пусть c ∈ Cb (Γ) и b ∈ Cb1 (Γ). Тогда группаe−itLS , t ∈ R в пространстве L2 (Γ) допускает предствление формулойФейнмана −itLt n Slim sup eu− Fc,buL2 (Γ) = 0,n→∞ t∈[−T,T ]n∀ T > 0, u ∈ L2 (Γ).Доказательство.

Оператор-функция Fc,b удовлетворяет всем условиям теоремы Чернова в форме следствия 2.1.5. Действительно, Fc,b (0) =1, в силу следствия 3.4.8 существует постоянная a ≥ 0 такая, чтоkFc,b (t)kB(H) ≤ 1 + at,81для каждой функции u ∈ D(LS ) вектор-функция Fc,b (t)u, t ≥ 0, дифференцируема в нуле иF0c,b (0)u = −iLS u,а оператор LS является генератором унитарной полугруппы e−itLS , t ≥ 0.Согласно теореме Чернова в форме следствия 2.1.5 справедливо утверждение теоремы 3.4.12.Замечание 3.4.7. Выбранное нами расширение оператора L0 соответствует такому продолжению F1 функции u ∈ L2 (Γ) до функцииU ∈ L2 (Γ̂), при котором значении функции U на дополнении каждой полупрямой Γ̂j \Γj является усреднением функции u по оставшимся (n − 1)полупрямым с равными весами.

Другие самосопряженные расширениямогут быть получены за счет изменения весов (2.5.17), участвующих вусреднении (2.5.19).Замечание 3.4.8. При неограниченном возрастании функции m нанекотором подмножестве графа Γ и вырождении оператора L на частиΓ, свойства задачи Коши для уравнения Шредингера исследованы в статьях [28, 17]. Там же исследованы свойства фейнмановских аппроксимаций полугруппы, порождаемой уравнением Шредингера.82Глава 4Формулы Фейнмана дляуравнения диффузии4.1Постановка задачи и обозначения.Изучаются операторы Шредингера на графе Γ, задающие процессыдиффузии или квантовой динамики на графе Γ как на разветвленноммногообразии.

Графом Γ будем называть конечную или счетную совокупность гладких одномерных многообразий Γi (называемых рёбрамиграфа), каждое из которых диффеоморфно лучу [0, +∞) или отрезку[0, 1]. Граничные точки рёбер будем называть вершинами графа Γ.

Каждая вершина графа Γ является граничной точкой некоторого непустогомножества рёбер графа.Предполагается, что на Γ задана Борелевская мера, определяемаятребованием, чтобы её сужение на каждое рёбро Γj совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда L2 (Γ) = ⊕L2 (Γj ).∞Пусть C0,0(Γ)– векторное пространство бесконечно дифференцируе-83мых комплекснозначных функций на Γ с компактными носителями, несодержащими вершин графа, и L0 = ⊕Lj0 – линейный оператор, определяемый на линейном пространстве D(L0 ) = C0∞ (Γ) с помощью равенстваLu =1∂u ∂(b(x)u)∆u + b(x)++ c(x)u,m∂x∂x(4.1.52)здесь функции m, b, c – вещественнозначные, ограниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа Γ, функция m принимаетна каждом рёбре Γj постоянное значение mj , причем mj ≥ m0 > 0∀j = 1, ..., n; u ∈ C0∞ (Γ).Изучается задача Коши для уравнения Фоккера-Планкаπdu(x, t) = e−i 2 s Lu(x, t), t > 0,dt(4.1.51)при s = 0, гдеLuj =1∂uj ∂(bj (x)uj )∆uj + bj (x)++ cj (x)uj ,mj∂x∂x(4.1.53)а функции mj , bj , cj – вещественнозначные, ограниченые и непрерывныевсюду за исключением вершин графа Γ, функция m принимает на каждом рёбре Γj постоянное значение mj , причем mj ≥ m0 > 0 ∀j = 1, ..., n;u ∈ C0∞ (Γ).С помощью однородного сжатия координат на каждом ребер можнодобиться, чтобы все значения констант m1 , ..., mn были равны единице(см.

замечание 1.2.1).Через bj , cj , j = 1, ..., n обозначим сужения функций b и c на Γj при всехj = 1, ..., n, и при всех j = 1, ..., n функции bj , cj являютя вещественнозначными функциями на промежутке Γj .Операторы диффузии будем обозначать через A. Действовать онибудут из W12 в L1 и полугруппы порождать будут в пространстве L1 .84При изучении диффузии на графе Γ нет необходимости требовать,чтобы оператор A0 был симметрическим оператором.

Вместо этого будем считать, что оператор A0 является линейным дифференциальнымоператором второго порядка в пространстве L2 (Γ) с областью определения C0∞ (Γ).Предположим, что в системе координат на Γ, в которойm ≡ 1,оператор A0 задан на линейном пространстве C0∞ (Γ) дифференциальным выражениемAj0 uj = ∆uj + bj∂∂uj +(bj uj ) + cj uj ,∂x∂x(4.1.54)где функции bj , cj вещественнозначные, ограниченые и непрерывныевсюду за исключением вершин Γ.4.2Случай закона Кирхгоффа для диффузииИсследуем уравнение диффузии на графе Γ∂∂∂u = ∆u + b u +(bu) + cu ≡ Aτ u,∂t∂x∂x(4.2.55)с начальным условиемu|t=0 = u0 (x), x ∈ Γ.Предположим, что в системе координат на Γ, в которойm ≡ 1,85(4.2.56)оператор L0 задан на линейном пространстве C0∞ (Γ) дифференциальнымвыражениемAj0 uj = ∆uj + bj∂∂uj +(bj uj ) + cj uj ,∂x∂x(4.2.57)где функции bj (x), cj (x) вещественнозначные, ограниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа Γ, а оператор Aτ являетсясамосопряженным расширением оператора A0 , действующего в гильбертовом пространстве L1 (Γ).Применим подход, опробованный на уравнении квантовой динамики.Рассмотрим то из расширений Aτ оператора A0 , действующего в пространстве L1 (Γ), область определения D(Aτ ) которого состоит из функции u : Γ → C таких, что uj = u|Γj ∈ W12 (Γj ), и удовлетворяющих nусловиями:u1 (0) = ...

= un (0),nX(u0j (0) + bj (0)uj (0)) = 0.(4.2.58)(4.2.59)j=1Область определения D(Aτ ) указанного расширения принадлежит пространству непрерывных функций на графе Γ, при этом условия на предельные значения производных в точке ветвления означают нулю суммыпотоков в точке ветвления, поэтому рассматриваемое расширение соответствует условия закона Кирхгофа.Замечание 4.2.9. В случае уравнения диффузии мы изучаем негруппу, а полугруппу операторов etAτ , t ≥ 0, где Aτ – дифференциальный оператор, заданный дифференциальным выражением Aτ u таким,что(Aτ u)|Γj∂2∂∂= 2 uj + bj uj +(bj uj ) + cj u,∂x∂x∂x86при всех j ∈ 1, n, на области определения D(Aτ ), состоящей из непрерывных на Γ финитных функций, сужения uj которых на каждую полупрямую Γj дважды непрерывно дифференцируемы, а предельные значенияпроизводных в вершине графа удовлетворяют условиюnX(u0j (0) + bj (0)uj (0)) = 0.j=1Оператор Aτ плотно определен на пространствах Lp (Γ), p = 1, 2, аего замыкание является генератором сильно непрерывной полугруппыв каждоми из этих пространств.bj прямую являющуюся продолжением полупрямойОбозначим через Γb объединение Sn ΓbΓj до прямой, а через Γj=1 j .Чтобы оределить решения задачи Коши для уравнения диффузияиспользуем следующий схему, основанную на применении теоремы Чернову и формулы Фейнмана.Определим преобразование F1 при каждом t > 0 сопоставляющееˆ j) = yj (ξ)ˆфункции u : Γ → C функцию y = F1 u : Γ̂ → C, где y(x̂) = y(ξ,по следующему правилуˆuξ,jyj ξˆ =Pn 1n−1ξˆ ∈ R+ ,ˆu−ξ, ξˆ ∈ R− .i=1,i6=j iТогда справедливо равенствоnX1yj ξˆ = uj ξˆ χ(0,+∞) +ui − ξˆ χ(−∞,0) ,n−1i=1,i6=jгде χa – характеристическая функция интервала a.87Продолжим коэффиценты mj (x), bj (x) и cj (x), j = 1, ..., n, x ∈(0, +∞), дифференциального выражения с графа Γ на графе Γ̂ такимобразом, чтоm ≡ 1, x̂ ∈ Γ̂,а функции Bj (x), Cj (x) на каждой прямой Γ̂j – гладкие функции с носителями на промежутке [−1, +∞).bИсследуем уравнение диффузии на расширенном графе Γ∂y(bx, t)= Ay(bx, t),∂t(4.2.60)by(bx, +0) = y0 (bx), xb ∈ Γ.(4.2.61)с начальным условиемЗдесь оператор A задается следующим равнествомAy(x̂, k, t) = ∆y(bx, k, t) + B(bx, k)∂y(bx, k, t)+∂bx∂B(bx, k)y(bx, k, t)+ C(bx, k)y(bx, k, t),(4.2.62)∂bxгде функции B, C вещественны и непрерывны, а функция B непрерывно+дифференцируемы на каждой прямой Γ̂j .1) Рассмотрим решения задачи Коши для уравнения дифbфузии на каждой прямой Γ̂j , j = 1, ..., n расширенного графа Γс нулевыми потенциалами B и Cb задаПредположим существование решения y(bx, +0), t ≥ 0, xb ∈ Γчи Коши (4.2.60),(4.2.61).

Чтобы найти представление решения задачиКоши (4.2.60),(4.2.61), применим преобразование Фурье к левой и правой части уравнения. Пусть функция Yj (s, t), s ∈ R, t ≥ 0 является преобразованием Фурье функции yj (bx, t) по первой переменной, где88b j, t)) =Yj (s, t) = F(y(ξ,R∞b bb Тогда уравнение (4.2.60) приeisξ y(ξ,j, t)dξ.−∞нимает вид∂Yj (s, t)= −s2 Yj (s, t),∂t(4.2.63)bYj (s, +0) = Yj,0 (s), xb ∈ Γ.(4.2.64)с начальным условиемТогда решении уравнении (4.2.63),(4.2.64) имеет вид2Yj (s, t) = Yj,0 (s)e−ts .(4.2.65)Формулой (4.2.65) определяет сильно непрерывную полугруппу F (t), t ≥b (см. [16]).0 перобразований пространства L1 (Γ)Если решения задачи Коши (4.2.60), (4.2.61) существует, то оно предстваимо в виде−ts2yj (bx, t) = yj,0 (bx) ∗ Fe, j = 1, ..., n,−1где F−1 (Yj (s, t)) =12πR∞e−isξ Yj (s, t)ds, обратное преобразование Фурье.b−∞Следовательно решением задачи Коши (4.2.60), (4.2.61) является функция1yj (bx, t) = √2 tπZe− xb−ξ4t2yj,0 (ξ)dξ.(4.2.66)bjΓТогда (см.

[16]) на полуси R+ при всех p ∈ [1, +∞) определена операторb такая, что при каждом t ≥ 0функция F2 (t), t ≥ 0 со значениями в Lp (Γ)её значение есть интегральный оператор в (4.2.66)1F2 (t)y0 (bx, j) = √2 tπZe− xb−ξ̂4tbΓ892ˆ k)d(ξ,ˆ k).δjk y0 (ξ,(4.2.67)2) Рассмотрим решения задачи Коши для уравнения дифb с нелулевыми потенциалами Bфузия на расширенном графе ΓиCЛемма 4.2.13. Пусть функция B является абсолютно интегрируемой на прямой R. Тогда следующие утверждение эквивалентны:i) функция является решением задачи Коши для уравнения Шредингера (4.2.60), (4.2.61) с оператором (4.2.62) в полосе (0, T )×R с некоторымT ∈ (0, +∞];ii) функция v(bx, t) = y(bx, t)eR xb0B(s)dsявляется решением уравнениятеплопроводности с опратором Лапласа∂v= ∆v(bx, t) + qe(bx)v(bx, t),∂t(4.2.68)с начальным условиемR xbv(bx, +0) = v0 (bx) = y0 (bx)e0B(s)dsb,xb ∈ Γ,(4.2.69)где qe(bx) = C(bx) − B 2 (bx).b → L2 (Γ),b гдеПусть оператор Ψ : L2 (Γ)R xbv(bx, t) = y(bx, t)e0B(s)ds,тогда∂v∂y R xb B(s)ds=e0,∂t∂tR xb∂v∂y R xb B(s)ds0=e+ B(bx)ye 0 B(s)ds ,∂bx ∂bxR xb∂ 2v∂ 2 y R xb B(s)ds∂y R xb B(s)ds ∂B R xb B(s)ds2B(s)ds0000=e+2B(bx)e+ye+Bye22∂bx∂bx∂bx∂bx90∂v∂y R xb B(s)ds=e0= ∆v(bx, t) + (C(bx) − B 2 (bx))v(bx, t),∂t∂tтогда можно писать задачи Коши для уравнения диффузия в виде∂v= ∆v(bx, t) + qe(bx)v(bx, t),∂t(4.2.70)с начальным условиемR xbv(bx, +0) = v0 (bx) = y0 (bx)e0B(s)dsb,xb ∈ Γ,(4.2.71)где qe(bx) = C(bx) − B 2 (bx).Пусть qe(bx) констант и применим преобразование Фурье на левой иправой части уравнения (4.2.70), (4.2.71).Тогда уравнение принимает вид∂V (s, t)= − s2 + qe V (s, t),∂t(4.2.72)с начальным условиемbV (s, +0) = V0 (s), xb ∈ Γ,где V0 (s) преобразование Фурье для функции y0 (bx)e(4.2.73)R xb0B(s)ds.Тогда решении задачи Коши (4.2.70), (4.2.71) имеет видV (s, t) = V0 (s)et −s2 +eq.Если решения задачи Коши (4.2.70), (4.2.71) с постоянным коэффициентам qe существует, то оно предстваимо в видеt −s2 +eq−1v(bx, t) = v0 (bx) ∗ Fe91где F−1 (Vj (s, t)) =12πRe−isbx Vj (s, t)ds– обратная преобразование Фурье.bΓСледовательно решением задачи Коши (4.2.70), (4.2.71)Z − xb−y2 −4eqt2 14tv0 (y)dy =v(bx, t) = √e2 tπ ΓbZ − xb−y2Ry1= √e 4t eqet+ 0 B(s)ds y0 (y)dy.2 tπ ΓbЕсли qe непрерывная функция, то решения задачи Коши (4.2.70),(4.2.71) имеет вид1v(bx, t) = √2 tπZe− xb−y2qe(y)t+e4tRy0B(s)dsy0 (y)dy.bΓb → L2 (Γ),b гдеПусть оператор Ψ−1 : L2 (Γ)y(bx, t) = v(bx, t)e−R xb0B(s)ds,тогда решения задачи Коши для уравнения теплопроводности (4.2.70),(4.2.71) имеет видy(bx, t) =e−R xb0B(s)ds√Z2 tπe− xb−y2Ryeqe(y)t+4t0B(s)dsy0 (y)dy.(4.2.74)bΓТогда в полосе (0, T ) × R определена оператор-функция F2 (t), t ≥ 0b такая, что при каждом t ≥ 0 её значение естьсо значениями в L1 (Γ)интегральный оператор в (4.2.74)−F2 (t)y0 (bx, j) =eR xb0B(s)ds√2 tπZe− xb−y24teqe(y)t+Ry0B(s)dsδjk y0 (y)dy.(4.2.75)bΓПреобразование F3 , как и при рассмотрении уравнения диффузии,определим как преобразование, сопоставляющее функции y : Γ̂ → C еесужение F3 y = u|Γ .92В качестве функций Чернова, аппроксимирующих сжимающую полугруппу etAτ , рассмотрим оператор-функциюF(t) = MH,−b F3 Fqb (t)F2 (t)F1 MH,b ; t ≥ 0; t ∈ R,Rxгде MH,±b = e± 0 b(s)ds , Fqb (t) = eqb (x)t , qb (x) = C(x) − B 2 (x) иR −(bx−y)21√F2 (t)y0 (bx) = 2 tπ e 4t y0 (y)dy.bΓТеорема 4.2.13.