Диссертация (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации), страница 8

Пусть функция b удовлетворяет условиям b ∈Cb1 (Γ), а функция c – условиям c ∈ Cb (Γ). Тогда представление группы e−itLS , t ≥ 0, формулой Фейнмана t n −itLSuX = 0 ∀ T > 0, u ∈ X,lim sup eu− Fn→∞ t∈[0,T ]nгде X = L2 (Γ).Доказательство теоремы 3.3.10 разобьем на несколько этапов, проверяя все условия теоремы Чернова.3.3Свойства оператор-функции FПокажем, что оператор-функцияF(t) = MS,−b F3 FCb (t)F2 (t)F1 MS,b , t ∈ R,как отображение оси R в пространство ограниченных операторовB(L2 (Γ)) удовлетворяет всем условиям следствия 2.1.5 к теореме Чернова.О значении F(0). Прежде всего заметим, что равенство F3 F1 u = uвыполняется при любом u ∈ L2 (Γ). Таким образом, F(0) = I.О производной F0 (0).69Сначала рассмотрим оператор L с нулевыми потенциалами B и C.ˆ линейное пространство функций w ∈ W21 (Γ̂)Обозначем через D(∆)таких, что w|Γj ∈ W22 (Γj ), w|Γ∗j ∈ W22 (Γ∗j ), где Γ∗j = Γ̂j \Γj и выполняютсяусловияwj (+0) = wj (−0), ∀j = 1, ..., n иnX(wj0 (+0) − wj0 (−0)) = 0, (3.3.47)j=1ˆ – линейный оператор, сопоставляющий функции w ∈ D(∆)ˆа через ∆ˆ ∈ L2 (Γ̂) такую, чтофункцию ∆w∂2∂2ˆˆ∗∆w|Γj = 2 w|Γj ), ∆w|Γj = 2 w|Γ∗j ,∂x∂xпри всех j = 1, ..., n.ˆ то функция F2 (t)w, t ≥ 0,Лемма 3.3.4.

Если функция w ∈ D(∆),обладает производной в нуле из пространства L2 (Γ̂), значение которойˆравно −i∆w.Доказательство. Действительно, в силу инвариантности подпространств L2 (Γ̂j ) относительно оператор-функции F2 (t) для каждого j ∈1, ..., n справедливо равенствоnXd00F2 (t)w |t=0 = −iwreg − iδ[wj0 (+0) − wj0 (−0)],dtj=100∈ L2 (Γ̂j ) – функция, сужение которой на полупрямые совпагде wregдает с обобщенной производной второго порядка функции w. ПоэтомуnPсингулярная составляющая функции dtd F2 (t)w равна −iδ [w0 (+0) −j=1ˆw (−0)] (то есть равна нулю в силу условия w ∈ D(∆)),а регулярная0ˆравна −i∆w.ˆ тогда и только тогда, когда u ∈Лемма 3.3.5. F1 MS,b u ∈ D(∆)D(LS ).70Доказательство. Докажем что MS,b u ∈ D(LS ), то должно удовлетворять условиям (3.2.27), (3.2.28)iMS,b u(x) = u(x)eRx0b(s)ds,Rxi 0 b(s)dsMS,b u(x) |x=0 = u(x)e|x=0 = u(0),Rx∂∂u(x) i R x b(s)dsMS,b u(x) =e 0+ ib(x)u(x)ei 0 b(s)ds ,∂x∂x ∂u(x) R x∂Rxi 0 b(s)dsi 0 b(s)dsMS,b u(x) |x=0 =e+ ib(x)u(x)e|x=0 =∂x∂xnX0= u (0) + ib(0)u(0) =u0j (0) + ibj (0)uj (0) = 0,j=1ˆ то должследовательно MS,b u ∈ D(LS ).

Докажем что F1 MS,b u ∈ D(∆),но удовлетворять условию (3.3.47), пусть wj (x̂) = F1 MS,b u, гдеx̂, x̂ > 0,MuS,B jwj (x̂) =Pn1 n−1−x̂, x̂ < 0.MuS,Bll=1,l6=jwj (+0) = MS,B uj x̂ |x̂=0 = uj (+0), иPn1wj (−0) = n−1 l=1,l6=j MS,B ul − x̂|x̂=−0 =1n−1Pni=1,i6=jui (+0) =uj (+0).Следовательно wj (+0) = wj (−0) ∀j = 1, ..., n.R x̂∂∂uj (x̂) i R x̂ Bj (s)ds+ iBj (x̂)uj (x̂)ei 0 Bj (s)ds , x̂ > 0,wj (x̂) =e 0∂ x̂∂ x̂иn X∂1∂ul (−x̂) i R −x̂ Bl (s)dswj (x̂) =e 0+∂ x̂n−1∂ x̂l=1,l6=j71+iBl (−x̂)ul (−x̂)eiR −x̂0Bl (s)ds, x̂ < 0.wj0 (+0) = u0j (+0) + iBj (+0)uj (0), иPn 010wj (−0) = n−1 l6=j ul (+0) + iBl (+0)ul (0) = u0j (+0) + iBj (+0)uj (0).СледовательноnXwj0 (+0) − wj0 (−0) = 0.j=1ˆ и лемме 3.3.5 доказна.Следует, что F1 MS,b u ∈ D(∆)Лемма 3.3.6 (Свойства производной F0 (0)).

Пусть функции b ∈Cb1 (Γ) и c ∈ Cb (Γ), тогда функция F(t), t ∈ R, дифференцируема в нулена линейном пространстве D(LS ), соответствующем закону Кирхгоффа(3.2.24), (3.2.25), и ее производная равна LS , то есть для любого u ∈D(LS ) выполняется равенство1lim k (F(t)u − u + itLS u)kX = 0.t→0 tДоказательство. Так как функция Cb непрерывна и ограничена наΓ̂, то для любой функции v ∈ L2 (Γ̂) выполняется равенствоdFC (t)v = −iCb FCb (t)v.dt bПоскольку отображения F1 , MS,±b и F3 не зависят от параметра t, тоd dF(t)u |t=0 = MS,−b F3FCb (t)F2 (t)F1 MS,b u |t=0 =dtdtdF2 (t)F1 MS,b u |t=0 =dtd= −iMS,−b F3 Cb F2 (t)F1 MS,b u|t=0 +MS,−b F3 FCb (t)|t=0F2 (t)F1 MS,b u |t=0 .dt= MS,−b F3 − iCb F2 (t) + FCb (t)Первое слагаемое равно−icb u.72Для всякой функции u ∈ D(LS ) в силу леммы 3.3.5 выполняетсяˆ Поэтому в силу леммы 3.3.4 проусловие w = F1 MS,b u ∈ D(∆).изводная dtd F2 (t)F1 MS,b u |t=0 существует, принадлежит пространствуˆ 1 MS,b u),L2 (Γ̂) и определяется равенством dtd F2 (t)F1 MS,b u |t=0 = −i∆(Fпричем ее сужение на каждую ветвь Γ̂j определяется равенством2−iMS,Bj ∂∂x̂2 wj (x̂), где w = F1 MS,b u.

В силу леммы 3.2.3 и форму2ˆ 1 MS,b u)| = −iMS,B ( ∂ 2 w +лы (3.2.32) справедливо равенство −i∆(FΓ̂∂ x̂i ∂∂x̂ (Bw) + iB ∂∂x̂ w − B 2 w)Следовательно, для любого j ∈ 1, ..., n справедливо равенство∂d∂2∂MS,−b F3 F2 (t)F1 MS,b u |t=0 = −i 2 u +(bu) + b u + ib2 u,dt∂x∂x∂xа это с вчетом равенства cb = c + b2 и доказывает утверждение леммы3.3.6.О замыкании производной оператора F0 (0).Итак, оператор F0 (0) определен на линейном пространстве D(LS ), являющимся областью определения самосопряженного оператора LS , и совпадает с оператором LS . Следовательно, справедливо утверждение.Замечание 3.3.6. Оператор F0 (0) является генератором унитарнойгруппы e−itLS в пространстве H = L2 (Γ).3.4Оценка сверху роста нормыТеорема 3.4.11.

Если H = L2 (Γ), b = 0, c = 0, тоkF(t)kB(H) ≤ 1.Доказательство. Сначала проведем доказательство для случая, когда n = 3.73Введем следующие обозначения: для функции u ∈ H положим uj =u|Γj , j = 1, 2, 3. Для функции v ∈ L2 (Γ̂) положим vj = v|Γ̂j ; vj,+ = v|Γj иvj,− = v|Γ̂j \Γj при всех j = 1, 2, 3.Для заданного u ∈ H и каждой пары различных чисел j, k ∈ {1, 2, 3}определим две функций wkj ∈ L2 (R) при всех j 6= k по следующемуправилу1wkj (x) = uj (x), x > 0,21wkj (x) = uk (−x), x < 0.2Тогда для всех различных чисел j, k ∈ {1, 2, 3} справедливо равенствоwjk (x) = wkj (−x), x ∈ R.Положим wkj (t, x) = F0 (t)wkj (x), t ≥ 0, j, k ∈ 1, 2, 3, j 6= k, где F0 (t) –оператор свертки функции из L2 (R) с функцией√−ix2√ i e 4t .2 πtПоскольку оператор F0 (t) коммутирует с оператором отражения аргумента при всех t > 0, то тогда при всех t ≥ 0 справедливо равенствоwkj (t, x) = wjk (t, −x), x ∈ R.(3.4.48)При всех t ≥ 0 и каждой пары различных чисел j, k ∈ {1, 2, 3} определим функцииzkj (t, x) = wkj (t, x)|R+ .Тогда при t = 0 справедливы равенства1zkj (0, x) = uj (x), j, k ∈ {1, 2, 3}, j 6= k.2Лемма 3.4.7.

Для каждой пары j, k, j 6= k, и всех t ≥ 0 справедливоравенствоkzkj (t, x)k2L2 (R+ ) + kzjk (t, x)k2L2 (R+ ) = kzkj (0, x)k2L2 (R+ ) + kzjk (0, x)k2L2 (R+ ) .74Действительно, при всех t ≥ 0 справедливо равенствоkwkj (t, x)k2L2 (R) = kwkj (t, x)|R+ k2L2 (R+ ) + kwkj (t, x)|R− k2L2 (R− ) ,поэтому в силу равенства (3.4.48)kwkj (t, x)k2L2 (R) = kwkj (t, x)|R+ k2L2 (R+ ) + kwjk (t, x)|R+ k2L2 (R+ ) == kzkj (t, x)k2L2 (R+ ) + kzjk (t, x)k2L2 (R+ )при всех t ≥ 0. А в силу унитарности преобразования F0 (t) справедливоравенствоkwkj (t, x)k2L2 (R) = kwkj (0, x)k2L2 (R) .Лемма 3.4.8.

Для любого j = 1, 2, 3 справедливо равенствоXwkj = F1 u|Γ̂j .k6=jРавенство проверяется непосредственно.Следствие 3.4.6. Для любого j = 1, 2, 3 и любого t ≥ 0 справедливоравенствоXwkj (t, x) = F2 (t)F1 u(x)|Γ̂j ,k6=jи, следовательно,Xzkj (t, x) = F(t)u(x)|Γj = uj (t)k6=jпри всех t ≥ 0.Действительно, при b = 0, c = 0 равенствоF(t) = F3 F2 (t)F1 ,75справедливо при всех t ≥ 0, поэтому утверждение следствия следует изутверждения леммы 3.4.8.Лемма 3.4.9. Преобразования F(t), t ≥ 0, являются сжимающимипреобразованиями пространства H = L2 (Γ).Доказательство. Для всякой функции u ∈ H справедлива цепочкасоотношенийkF(t)u(x)k2H=3Xkuj (t, x)k2L2 (Γj ) = kz21 (t, x) + z31 (t, x)k2L2 (Γ1 ) +j=1+kz12 (t, x) + z32 (t, x)k2L2 (Γ2 ) + kz23 (t, x) + z13 (t, x)k2L2 (Γ3 ) == kz21 (t, x)k2L2 (Γ1 ) + kz31 (t, x)k2L2 (Γ1 ) + kz12 (t, x)k2L2 (Γ2 ) + kz32 (t, x)k2L2 (Γ2 ) ++kz23 (t, x)k2L2 (Γ3 )+kz13 (t, x)k2L2 (Γ3 )+23XXRe(zkj (t, x), zlj (t, x)).j=1 k,l6=j; l<kПоэтому согласно неравенству2|Re(u, v)| ≤ kuk2 + kvk2 ,справедлива оценкаkF(t)u(x)k2Hh≤ 2 kz21 (t, x)k2L2 (Γ1 ) + kz12 (t, x)k2L2 (Γ2 ) + kz31 (t, x)k2L2 (Γ1 ) ++kz13 (t, x)k2L2 (Γ3 )+kz32 (t, x)k2L2 (Γ2 )+kz23 (t, x)k2L2 (Γ3 )i.Поэтому согласно лемме 3.4.7 правая часть неравенства не зависит от tи для всех t ≥ 0 справедливо неравенствоkF(t)u(x)k2H+kz31 (0, x)k2L2 (Γ1 )+h≤ 2 kz21 (0, x)k2L2 (Γ1 ) + kz12 (0, x)k2L2 (Γ2 ) +kz13 (0, x)k2L2 (Γ3 )+76kz32 (0, x)k2L2 (Γ2 )+kz23 (0, x)k2L2 (Γ3 )i.В силу определения функций zji (0, x) по функции u ∈ H для всех t ≥ 0справедливо неравенствоh 1 1112kF(t)u(x)kH ≤ 2ku1 k2L2 (Γ1 ) + ku2 k2L2 (Γ2 ) + ku1 k2L2 (Γ1 ) + ku3 k2L2 (Γ3 ) +4444i11+ ku2 k2L2 (Γ2 ) + ku3 k2L2 (Γ3 ) = kuk2H .44Лемма 3.4.9 и, вместе с ней, теорема 3.4.11 доказаны (в случае n = 3).Теперь рассмотрим случай произвольного n.Введем следующие обозначения: для функции u ∈ H положим uj =u|Γj , j = 1, ..., n.

Для функции v ∈ L2 (Γ̂) положим vj = v|Γ̂j ; vj,+ = v|Γjи vj,− = v|Γ̂j \Γj при всех j = 1, ..., n.Для заданного u ∈ H и каждого j = 1, ..., n определим n−1 функцийwkj ∈ L2 (R) при всех k 6= j по следующему правилуwkj (x) =1uj (x), x > 0,n−1и1uk (−x), x < 0.n−1Тогда для всех различных чисел j, k ∈ {1, 2, ..., n} справедливо раwkj (x) =венствоwjk (x) = wkj (−x), x ∈ R.Положимwkj (t) = F0 (t)wkj , t ≥ 0, j, k ∈ 1, ..., n, j 6= k,где F0 (t) – оператор свертки функции из L2 (R) с функцией√−ix2√ i e 4t .2 πtПоскольку оператор F0 (t) коммутирует с оператором отражения аргумента при всех t > 0, то тогда при всех t ≥ 0 справедливо равенствоwkj (t, x) = wjk (t, −x), x ∈ R.77(3.4.49)При всех t ≥ 0 и каждой пары различных чисел j, k ∈ {1, ..., n}определим функцииzkj (t, x) = wkj (t, x)|R+ .Тогда при t = 0 справедливы равенстваzkj (0, x) =1uj (x), j, k ∈ {1, ..., n}, j 6= k.n−1Лемма 3.4.10. Для каждой пары j, k, j 6= k, и всех t ≥ 0 справедливо равенствоkzkj (t, x)k2L2 (R+ ) + kzjk (t, x)k2L2 (R+ ) = kzkj (0, x)k2L2 (R+ ) + kzjk (0, x)k2L2 (R+ ) .Действительно, при всех t ≥ 0 справедливо равенствоkwkj (t, x)k2L2 (R) = kwkj (t, x)|R+ k2L2 (R+ ) + kwkj (t, x)|R− k2L2 (R− ) ,поэтому в силу равенства (3.4.49)kwkj (t, x)k2L2 (R) = kwkj (t, x)|R+ k2L2 (R+ ) + kwjk (t, x)|R+ k2L2 (R+ ) == kzkj (t, x)k2L2 (R+ ) + kzjk (t, x)k2L2 (R+ )при всех t ≥ 0.