Диссертация (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации), страница 7

Пусть p ∈ [1, +∞]. Оператор-функция P задает двухпараметрическое семейство сжимающих преобразований пространстваLp (Γ), сохраняющих конус неотрицалельных функций.Из неотрицательности функции (2.5.17) следует неотрицательностьобраза неотрицательной функции при отображении P(s, t) при всех значениях s, t.Пусть s ∈ R+ и t > s.55Тогда, во-первых, для любой функции u ∈ L1 (Γ) интеграл (2.5.19)сходится равномерно по (x, j) ∈ Γ, поэтомуZhZikP(s, t)ukL1 (Γ) ≤ d(x, j)|p(t, s, (x, j), (y, k))| |u(y, k)|d(y, k) =ΓZ=ΓhZid(y, k)|p(t, s, (x, j), (y, k))| |u(y, k)|d(x, j) =ΓΓZ|u(y, k)|d(y, k) = kukL1 (Γ) .=ΓВо-вторых, для любой функции u ∈ L∞ (Γ) интеграл (2.5.19) сходитсяравномерно по (x, j) ∈ Γ, причемZp(t, s, (x, j), (y, k))d(y, k) = kukL∞ (Γ) .k(P(s, t)u)(x, j)kL∞ (Γ) ≤ kukL∞ (Γ)ΓТаким образом, при любых t, s ∈ R+ : s < t оператор P(s, t) является сжимающим оператором и в пространстве L1 (Γ), и в пространствеL∞ (Γ).

Следовательно, согласно теореме Рисса-Торина, опратор P(s, t)является сжимающим и в пространстве Lp (Γ) при любом p ∈ (1, +∞).В случае s = t оператор P(s, t) является тождественным оператором впространстве Lp (Γ) при любом p ∈ [1, +∞]. Лемма 2.5.2 доказана.Теорема 2.5.9. Оператор-функция P(0, t), t ≥ 0, заданная функцией p по формуле (2.5.17) при условии pkj =1n−1 ,k, j ∈ 1, ..., n; k 6= j,совпадает с оператор-функции Чернова F(t) = F3 F2 (t)F1 , t ≥ 0.Доказательство. Действительно, для любой функции u ∈ L1 (Γ)справедливо равенствоZ(P(t)u)(k, x) = (P(t)u)|Γk (x) =p(t, 0, (k, x), (j, y))u0 (j, y)d(j, y) =Γ56Z∞=∞p(t, 0, (k, x), (k, y))uk (y)dy +XZp(t, 0, (k, x), (j, y))uj (y)dy.j6=k 00Поэтому если функция p определяется равенством (2.5.17) приpkj =1,n−1при всех k, j ∈ 1...n, j 6= k, то(P(t)u)(k, x) = (P(t)u)|Γk (x) = (F3 F2 (t)F1 u)|Γk (x) =Z∞=1 Xp(t, 0, (k, x), (k, y))uk (y)dy+n−1Z∞p(t, 0, (k, x), (k, −y))uj (y)dy,j6=k 00где, как следует из (2.5.17), −(x − y)2 1p(t, 0, (k, x), (k, y)) = √.exp4t4πtТеорема 2.5.9 доказана.57Глава 3Формулы Фейнмана дляуравнения Шредингера3.1Постановка задачи и обозначенияИзучаются операторы Шредингера на графе Γ, задающие процессыдиффузии или квантовой динамики на графе Γ как на разветвленноммногообразии.

Графом Γ будем называть конечную или счетную совокупность гладких одномерных многообразий Γi (называемых рёбрамиграфа), каждое из которых диффеоморфно лучу [0, +∞) или отрезку[0, 1]. Граничные точки рёбер будем называть вершинами графа Γ. Каждая вершина графа является граничной точкой некоторого непустогомножества рёбер графа.Предполагается, что на Γ задана Борелевская мера, определяемаятребованием, чтобы её сужение на каждое рёбро Γj совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда L2 (Γ) = ⊕L2 (Γj ).∞Пусть C0,0(Γ)– векторное пространство бесконечно дифференцируе-58мых комплекснозначных функций на Γ с компактными носителями, несодержащими вершин графа Γ.

Пусть L0 = ⊕Lj0 – линейный оператор,определяемый на линейном пространстве D(L0 ) = C0∞ (Γ) с помощьюравенстваLu =1∂u∂(b(x)u)∆u + ib(x)+i+ c(x)u,m∂x∂x(3.1.21)здесь функции m, b, c – вещественнозначные, ограниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа Γ, функция m принимаетна каждом рёбре Γj постоянное значение mj , причем mj ≥ m0 > 0∀j = 1, ..., n; u ∈ C0∞ (Γ).Исследуем задачу Коши для уравнения Шредингераπdu(x, t) = e−i 2 s Lu(x, t), t > 0;dtu(x, +0) = u0 (x), x ∈ R.(3.1.20)где s = 1 и оператор L является самосопряженным расширением оператора (3.1.21).С помощью однородного сжатия координат на каждом ребере можнодобиться, чтобы все значения констант m1 , ..., mn были равны единице(см. замечание 1.2.1).Через bj , cj , j = 1, ..., n обозначим сужения функций b и c на Γjпри всех j = 1, ..., n, и при всех j = 1, ..., n функции bj , cj являютявещественнозначными функциями на промежутке Γj .При s = 0 уравнение (3.1.20) является уравнением Фоккра-Планка,в которомLuj =1∂uj ∂(bj (x)uj )∆uj + bj (x)++ cj (x)uj ,mj∂x∂x(3.1.22)а функции mj , bj , cj – вещественнозначные, ограниченные и непрерывные всюду за исключением вершин графа Γ, функция m принимает59на каждом рёбре Γj постоянное значение mj , причем mj ≥ m0 > 0∀j = 1, ..., n; u ∈ C0∞ (Γ).С помощью однородного сжатия координат на каждом из ребер можно добиться, чтобы все значения констант m1 , ..., mn были равны единице(см.

замечание 1.2.1).Через bj , cj , j = 1, ..., n обозначим сужения функций b и c на Γjпри всех j = 1, ..., n, и при всех j = 1, ..., n функции bj , cj являютявещественнозначными функциями на промежутке Γj .Операторы квантовой динамики будем обозначать через L. Действовать они будут из W22 (Γ) в L2 (Γ) и будут порождать полугруппы в пространстве L2 (Γ).При изучении диффузии на графе Γ необходимости требовать, чтобы оператор L0 был симметрическим оператором. Вместо этого будемпредполагать, что оператор L0 является линейным дифференциальнымоператором второго порядка в пространстве L2 (Γ) с областью определения C0∞ (Γ).Предположим, что в системе координат на Γ, в которойm ≡ 1,оператор L0 задан на линейном пространстве C0∞ (Γ) дифференциальнымвыражениемLj0 uj = ∆uj + ibj∂∂uj + i (bj uj ) + cj uj ,∂x∂x(3.1.23)где функции bj , cj вещественнозначные, ограниченые и непрерывныевсюду за исключением вершин графа Γ.603.2Случай закона Кирхгоффа для квантовой динамикиИсследуем квантовую динамику на графе Γi∂∂∂u = ∆u + ib u + i (bu) + cu ≡ LS u,∂t∂x∂x(3.2.24)с начальным условиемu|t=0 = u0 (x), x ∈ Γ.(3.2.25)Предположим, что в системе координат на Γ, в которойm ≡ 1,оператор L0 задан на линейном пространстве C0∞ (Γ) дифференциальнымвыражениемLj0 uj = ∆uj + ibj∂∂uj + i (bj uj ) + cj uj ,∂x∂x(3.2.26)где функции bj (x), cj (x) вещественнозначные, ограниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа Γ, а оператор L является самосопряженным расширением оператора L0 , действующего в гильбертовомпространстве H = L2 (Γ).Рассмотрим то из расширений LS оператора L0 , действующего в пространстве L2 (Γ), область определения D(LS ) которого состоит из функций u : Γ → C таких, что uj = u|Γj ∈ W12 (Γj ), и удовлетворяющих nусловиями:u1 (0) = ...

= un (0),nX(u0j (0) + ibj (0)uj (0)) = 0.j=161(3.2.27)(3.2.28)Область определения D(LS ) указанного расширения принадлежит пространству непрерывных функций на графе Γ, при этом условия на предельные значения производных в точке ветвления означают равенствонулю суммы потоков в точке ветвления, поэтому рассматриваемое расширение соответствует условия закона Кирхгофа.Замечание 3.2.5. В случае уравнения Шрёдингера мы изучаемгруппу операторов e−itLS , t ≥ 0, где LS – дифференциальный оператор,заданный дифференциальным выражением∂∂LS u |Γj = ∆uj + ibj uj + i (bj uj ) + cj uj ,∂x∂xпри всех j ∈ 1, n, на области определения D(LS ), состоящей из непрерывных на Γ финитных функций, сужения uj которых на каждую полупрямую Γj дважды непрерывно дифференцируемы, а предельные значенияпроизводных в вершине графа удовлетворяют условиюnX(u0j (0) + ibj (0)uj (0)) = 0.(3.2.29)j=1Оператор LS плотно определен на пространствах L2 (Γ), а его замыканиеявляется генератором сильно непрерывной полугруппы в каждом из этихпространств.bj прямую являющуюся продолжением полупрямойОбозначим через Γb объединение Sn ΓbΓj до прямой, а через Γj=1 j .Чтобы оределить решения задачи Коши для уравнения Шредингера используем следующую схему, основанную на применении теоремыЧернова и формулы Фейнмана.Определим преобразование F1 при каждом t > 0 сопоставляющееˆ j) = yj (ξ)ˆфункции u : Γ → C функцию y = F1 u : Γ̂ → C, где y(x̂) = y(ξ,62по следующему правилу:ˆuj ξ , yj ξˆ =Pn 1ξˆ ∈ R+ ,ˆ , ξˆ ∈ R− .u−ξii=1,i6=jn−1Тогда справедливо равенствоyj ξˆ = uj ξˆ χ(0,+∞) +nX1ui − ξˆ χ(−∞,0) ,n−1i=1,i6=jгде χa – характеристическая функция интервала a.Продолжим коэффиценты дифференциального выражения на графеΓ̂ таким образом, чтоm ≡ 1, x̂ ∈ Γ̂,а функции Bj (x), Cj (x) являются непрперывно дифференцируемымипродолжениями функций bj (x), cj (x) c Γj на Γ̂j такими, что на каждойпрямой Γ̂j носитель каждой функции лежит на промежутке [−1, +∞).bИсследуем уравнения Шрёдингера на расширенном графе Γ∂y(bx, t)= Ly(bx, t),∂t(3.2.30)by(bx, +0) = y0 (bx), xb ∈ Γ.(3.2.31)iс начальным условиемГде оператор L задается следующим равенствомLy(x̂, k, t) = ∆y(bx, k, t) + iB(bx, k)+i∂y(bx, k, t)+∂bx∂B(bx, k)y(bx, k, t)+ C(bx, k)y(bx, k, t),∂bx63(3.2.32)где функции B, C вещественны и непрерывны, а функция B непрерывнодифференцируема.1) Рассмотрим решения задачи Коши для уравнения Шрёb с нулевыми потенциалами Bдингера на расширенном графе ΓиCb заПредположим существование решения y(bx, k, t), t ≥ 0, (bx, k) ∈ Γдачи Коши (3.2.30),(3.2.31).

Чтобы найти представление решения задачиКоши (3.2.30),(3.2.31), применим преобразование Фурье к левой и правойчасти уравнения (3.2.30).Пусть функция Yj (s, t), s ∈ R, t ≥ 0 является преобразованием Фуb j, t)) =рье функции yj (bx, t) по первой переменной, где Yj (s, t) = F(y(ξ,R∞ isξbb j, t)dξ.be y(ξ,−∞Тогда уравнение (3.2.30) принимает вид∂Yj (s, t)= is2 Yj (s, t), j = 1, ..., n, s ∈ R,∂t(3.2.33)с начальным условиемYj (s, +0) = Y0,j (s), j = 1, ..., n, s ∈ R.(3.2.34)Тогда решение уравнений (3.2.33),(3.2.34) имеет вид2Yj (s, t) = Y0,j (s)eits , j = 1, ..., n, s ∈ R.(3.2.35)Формула (3.2.35) определяет сильно непрерывную полугруппу F (t), t ≥b В самом деле, в соответствии с0 перобразований пространства L2 (Γ).b достаточноунитарностью преобразования Фурье в пространстве L2 (Γ),проверить, что одно-параметрическое семейство операторов Fe(t), t > 0,умножения на фунцию F (s, t), t ∈ R+ является сильно непрерывнойbполугруппой операторов в пространстве L2 (Γ).64Полугрупповое свойство Y (s, t1 )Y (s, t2 ) = Y (s, t1 + t2 ) следует изсвойств показательной функции.

Сильно непрерывность в точке t = 0оператора функции Ye (t) t ≥ 0 следует из равномерной на любом отрезке вещественных линии сходимости функции Y (s, t), s ∈ R, t ≥ 0 вединичной функции I(s), s ∈ R, при t → 0. Тогда сильная непрерывность в любой точке t > 0 следует из свойства полугруппы.Поэтому решение задачи Коши (3.2.30), (3.2.31) существует и онопредстваимо в видеy(bx, t) = y0 (bx) ∗ F−1где F (Yj (s, t)) =12πR∞−1its2e,e−isξ Yj (s, t)ds, обратное преобразование Фурье.b−∞Следовательно, функция√ Z−iiy(bx, t) = √e2 tπ Γbxb−ŷ4t2y0 (ŷ)dŷ(3.2.36)является решением задачи Коши (3.2.30), (3.2.31). Тогда на полуси R+b такая,определена оператор-функция F2 (t), t ≥ 0 со значениями в L2 (Γ)что при каждом t ≥ 0 её значение есть интегральный оператор в (3.2.36)2√ Zb−i ξ−η̂b j) = √ iF2 (t)y0 (ξ,e 4t δjk y0 (η̂, k)dη̂.(3.2.37)2 tπ Γb2) Рассмотрим решения задачи Коши для уравнения Шрёb с функциями потенциаламидингера на расширенном графе ΓB иCЛемма 3.2.3.

Пусть функция B является абсолютно интегрируемойна прямой R. Тогда следующие утверждение эквивалентны:65i) функция является решением задачи Коши для уравнения Шредингера (3.2.30), (3.2.31) с оператором (3.2.32) в полосе (0, T )×R с некоторымT ∈ (0, +∞];ii) функция v(bx, t) = y(bx, t)eiR xb0B(s)dsявляется решением задачи Кошидля модифицированного уравнения Шредингераi∂ve x)v(b= ∆v(bx, t) + C(bx, t),∂t(3.2.38)с начальным условиемv(bx, +0) = v0 (bx) = y0 (bx)eiR xb0B(s)dsb,xb ∈ Γ,(3.2.39)e x) = C(bгде C(bx) + B 2 (bx).b → L2 (Γ),b гдеПусть оператор Ψ : L2 (Γ)v(bx, t) = y(bx, t)eiR xb0B(s)ds,тогда∂y i R xb B(s)ds∂v=e 0,∂t∂tR xb∂v∂y i R xb B(s)dsi 0 B(s)ds0=e+ iB(bx)ye,∂bx ∂bxR xb∂y i R xb B(s)ds ∂B i R xb B(s)ds∂ 2 y i R xb B(s)ds2 i 0 B(s)ds000+2iB(bx) e+iye−B ye∆v(bx, t) = 2 e∂bx∂bx∂bx∂v∂y i R xb B(s)dsi=i e 0= ∆v(bx, t) + (C(bx) + B 2 (bx))v(bx, t),∂t∂t66тогда можно написать задачи Коши для уравнения Шрёдингера (3.2.30),(3.2.31) в видеi∂ve x)v(b= ∆v(bx, t) + C(bx, t),∂t(3.2.40)с начальным условиемv(bx, +0) = v0 (bx) = y0 (bx)eiR xb0B(s)dsb,xb ∈ Γ,(3.2.41)e x) = C(bгде C(bx) + B 2 (bx).e x) констант и применим преобразование Фурье на левой иПусть C(bправой части уравнения (3.2.40), (3.2.41) Тогда уравнение принимает вид∂V (s, t)e V (s, t),= i s2 − C∂t(3.2.42)bV (s, +0) = V0 (s), xb ∈ Γ,(3.2.43)с начальным условиемгде V0 (s) преобразование Фурье для функции y0 (bx)eiR xb0B(s)ds.Тогда задачи Коши (3.2.42), (3.2.43) имеет видV (s, t) = V0 (s)eeit s2 −C.Если решения задачи Коши (3.2.42), (3.2.43) с постоянным коэффиe существует, то оно предстваимо в видециентам Ceit s2 −C−1v(bx, t) = v0 (bx) ∗ Feгде F−1 (Vj (s, t)) =12πRe−isbx Vj (s, t)ds обратная преобразование Фурье.bΓ67Следовательно решением задачи Коши (3.2.42), (3.2.43)2√ Ze 2−ixb−y+4Cti4tv(bx, t) = √ev0 (y)dy =b2 tπ Γ2√ Z−i xb−yRyie= √e 4t e−iCt+i 0 B(s)ds y0 (y)dy.2 tπ Γbe непрерывная функция, то решения задачи Коши (3.2.42),Если C(3.2.43)имеет вид√ Z−iiev(bx, t) = √2 tπ Γbxb−y2e−iC(y)t+ie4tRy0B(s)dsy0 (y)dy.(3.2.44)b → L2 (Γ),b гдеПусть оператор Ψ−1 : L2 (Γ)−iy(bx, t) = v(bx, t)eR xb0B(s)ds,тогда решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера (3.2.30), (3.2.31)имеет вид√y(bx, t) =ie−iR xb0B(s)ds√Ze2 tπ−i xb−y2e4te−iC(y)t+iRy0B(s)dsy0 (y)dy.(3.2.45)bΓТогда в полосе (0, T ) × R определена оператор-функция F2 (t), t ≥ 0b такая, что при каждом t ≥ 0 её значение естьсо значениями в L2 (Γ)интегральный оператор в (3.2.45)√F2 (t)y0 (bx, j) =ie−iR xb0√B(s)ds2 tπZe−i xb−ybΓ4t2e−iC(y)t+ieRy0B(s)dsδjk y0 (y)dy.(3.2.46)Преобразование F3 , как и при рассмотрении уравнения Шрёдингера,определим как преобразование, сопоставляющее функции y : Γ̂ → C еесужение F3 y = u|Γ .68В качестве функций Чернова, аппроксимирующих сжимающую полугруппу e−itLS , рассмотрим оператор-функциюF(t) = MS,−b F3 FCb (t)F2 (t)F1 MS,b ; t ≥ 0; t ∈ R,Rxгде MS,±b = e±i 0 b(s)ds , FCb (t) = e−iCb (x)t , Cb (x) = C(x) + B 2 (x) и√ R −i(bx−y)2i√e 4t y0 (y)dy.F2 (t)y0 (bx) = 2 tπbΓТеорема 3.3.10.