Диссертация (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации), страница 6

Пусть H = L2 (R) и для каждого ∈ R и каждогоv ∈ R определено семейство не полугруппа преобразований U,v (t), t ≥ 044пространства H, действующих по формулеU,v (t)u(x) = u(x + vt + t1/2 ), t ≥ 0.Пусть на множестве R задана вероятностная мера µ с плотностью pµтакая, что pµ – счетная функция иZZ2||3 pµ ()d < ∞. pµ ()d = D > 0,RRТогда при любом v ∈ R семейство преобразований U,v удовлетворяетусловиям теоремы Чернова и преобразование Uµv (·), являющеся результатом усреднения по мере µ семейства преобразований U,v (·), ∈ Rэквивалентно по Чернову полугруппе, разрешающей задачу Коши дляуравнения теплопроводностиu0t = Du00xx + vu0x , t > 0, x ∈ R;u|t=+0 = u0 .Чтобы доказать предложение 2.2.2, покажем, что усредненнаяоператор-функция Uµ удовлетворяет условиям теоремы Чернова – теоремы 2.1.8.Доказательство.

Действительно, очевидно, что U,v (0) = I при всех ∈ R, и потомуUµv (0) = Iпри любом µ.Кроме того, очевидно, чтоkU,v (t)kB(H) = 1,при всех ∈ R и t ≥ 0, и потомуkUµv (t)kB(H) ≤ 1,45при любом µ.Докажем сильную непрерывность отображения Uµv . Пусть u ∈ H иu(t) = Uµv (t)u.Выберем некоторое σ > 0 и оценим величинуZ µµkUv (t + ∆t)u − Uv (t)ukH = ku(x + (t + ∆t)v + (t + ∆t)1/2 )−E1/2−u(x + tv + t) dµ()kH .SТогда существует такое δ > 0, что µ((−∞, −δ) (δ, ∞)) < σ2 , потомуkUµv (t + ∆t)u − Uµv (t)ukH ≤+kZ 1/2u(x + (t + ∆t)v + (t + ∆t)σ+21/2) − u(x + tv + t) dµ()kH .[−δ,δ]При любом t > 0 множество функций {u(x + tv + t1/2 )), ∈ [−δ, δ]}компактно в пространстве H, поэтому в силу непрерывности в среднемфункций из H существует такое hσ > 0, что для любого h ∈ (−hσ , hσ ) илюбой функции u(x + tv + t1/2 ), ∈ [−δ, δ] справедливо неравенствоku(x + tv + t1/2 + h) − u(x + tv + t1/2 )kH <Следовательно, существует такое τ > 0, что|vτ | + τ 1/2 ≤ h ,при всех ∈ [−δ, δ], и потомуkUµv (t + ∆t)u − Uµv (t)ukH ≤ σ,46σ.2если только |∆t| < τ .Остается доказать условие дифференцируемости.

Взяв в качестве линейного пространства D пространство C0∞ (Rd ) получим, что для любогоu ∈ C0∞ выполняется равенство: для любого t > 0 и любого ∈ E существует такое θ ∈ (0, 1) чтоU,v (t)u(x) − u(x) = u(x + vt + t1/2 ) − u(x) = u0 (x)(vt + t1/2 )−11− u00 (x)(v 2 t2 + 2vt3/2 + 2 t) − u000 (x + θ(vt + t1/2 ))(vt + t1/2 )3 ,26причем поскольку левая часть равенства является функцией непрерывной по совокупности аргументов (, t, x), то такой же будет и левая часть.Следовательно, в силу предположения о моментах распределения длявсех t > 0 и x ∈ R существует такое θ(, t, x) ∈ (0, 1), что выполняетсяравенство1Uµv (t)u(x) − u(x) − u0 (x)vt − u00 (x)Dt =2Z1 000=u (x + θ(vt + t1/2 ))(vt + t1/2 )3 pµ ()d.6EА поскольку u ∈ C0∞ (R), тоsup |u000 (ξ)| = M ∈ (0, +∞),ξ∈Rто выполняется оценка1du µ Uv (t)u − u − ∆u − v = o(1),tdx Hпри t → 0.Таким образом, все условия теоремы 2.1.8 выполнены и, следовательно, справедливо предложение 2.2.2.47Предложение 2.2.3.

Пусть H = L2 (Rd ) и для каждого ∈ Rd икаждого v ∈ Rd определено семейство (не полугруппа) преобразованийU,v (t), t ≥ 0 пространства H, действующих по формулеU,v (t)u(x) = u(x + vt + t1/2 ), t ≥ 0.Пусть на множестве Rd задана вероятностная мера µ с плотностью pµтакая, чтоZZi j pµ ()d = Di,j ∈ R,pµ d = 0,RdRdZ||3 pµ ()d < ∞.RdТогда при любом v ∈ Rd семейство преобразований U,v удовлетворяет условиям теоремы Чернова и усредненное преобразование Uµv (·) является эквивалентным по Чернову полугруппе, разрешающей задачу Кошидля уравнения теплопроводностиu0t = Dij u00xi xj + vj u0xj , t > 0, x ∈ Rd ;u|t=+0 = u0 .Доказательство проводится аналогично доказательству предложения2.2.2.2.3Аппроксимирующие оператор-функцииОбщая схема определения оператор-функций F(t), t ≥ 0, аппроксимирующих (в смысле эквивалентности по Чернову) полугруппу eLt , t ≥ 0или группу e−itL , t ∈ R, Шредингера в пространстве функций на графеΓ, такова.48Оператор-функция F(t), t ≥ 0, имеет вид композиции трех операторфункцийF(t) = F3 F2 (t)F1 , t ≥ 0,каждая из которых преследует следующие цели.Оператор F1 не зависящий от параметра t является линейным ограниченным отображением пространства L2 (Γ) в пространство L2 (Γ̂), причемтаким, что оператор F1 является линейным ограниченным операторомпродолжения функции u ∈ L2 (Γ) с графа Γ на расширенный графе Γ̂,не изменяющим значений функции в точках графа Γ.Оператор-функция F2 (t), t ≥ 0, аппроксимирующая квантовую динамику или диффузию на расширенном графе Γ̂, является операторнозначной функцией со значениями в банаховом пространстве B(L2 (Γ̂)).При этом оператор-функция F2 (t) обладает той особенностью, что привсех t ≥ 0 оператор F2 (t) преобразует сужения функции на ветви Γ̂jрасширенного графа независимо от сужения функции на остальные ветви графа Γ.

То есть, подпространства L2 (Γ̂j ) являются инвариантными подпространствами пространства L2 (Γ̂). Оператор-функция F2 (t) накаждом инвариантном подпространстве L2 (Γ̂j ) задает (или аппроксимируем) стандартную динамику на одномерной прямой и не является оператором эволюции на разветвленном многообразии.Оператор F3 не зависящий от параметра t, является линейным ограниченным отображением пространства L2 (Γ̂) в пространство L2 (Γ), сопоставляющим всякой функции на расширенном графе Γ̂ ее сужение награф Γ.Таким образом, взаимодействие сужений состояния на различныеветви графа Γ между собой обеспечивается оператором продолжения49F1 с графа Γ на расширенный графе Γ̂.

Оператор-функция F2 (t) задаетдинамику на каждой из ветвей расширенного графа Γ̂ как на неразветвленном одномерном многообразии. Оператор F3 проектирует результатвоздействия композиции F2 (t)F1 на исходный граф Γ. При этом посколькуF3 F1 = I, то F(0) = I.Далее изложенная схема построения аппроксимирующей функцииЧернова будет применена к изучению диффузии (эволюции конценрациикак функции из пространства L1 (Γ) или L2 (Γ)) и квантовой динамики(эволюции волновой функции из пространства L2 (Γ)) на графе Γ.2.4Граф Γ и расширенный граф Γ̂Пусть если x ∈ Γj , то x = (ξ, j) ∈ R+ × {1, ..., n} пара называющаякакому лучу принадлежит x и координаты на луче, и пусть u = u(ξ, j) =uj (ξ).bj прямую являющуюся продолжением полупрямойОбозначим через Γb объединение Sn ΓbΓj до прямой, а через Γj=1 j , используем следующийсхему, основанную на применении теоремы Чернову и формулы Фейнмана.1) Определим преобразование F1 при каждом t > 0 сопоставляющееˆ j) = yj (ξ)ˆфункцию u : Γ → C функцию y = F1 u : Γ̂ → C, где y(x̂) = y(ξ,50по следующему правилуˆξ,ujyj ξˆ =Pn 1ξˆ ∈ R+ ,i=1,i6=jn−1ui − ξˆ , ξˆ ∈ R− .Тогда справедливо равенствоyj ξˆ = uj ξˆ χ(0,+∞) +nX1ui − ξˆ χ(−∞,0) ,n−1i=1,i6=jгде χa – характеристическая функция интервала a.2) Продолжим коэффиценты дифференциального выражения на графе Γ̂m ≡ 1, x̂ ∈ Γ̂а функции Bj (x), Cj (x) на каждой прямой Γ̂j продолжим как гладкиефункции с носителями на промежутке [−1, +∞).Для изучения явления диффузии на графе Γ в отсутствии потенциалов (b = 0 и c = 0) определим операторнозначную функцию F2 ∈C([0, +∞), B(L1 (Γ)), задаваемую равенством1F2 (t)y(x̂, j) = √2 πtZ+∞−(x̂−ξ̂)2ˆ k)d(ξ,ˆ k).e 4t δjk y(ξ,−∞Оператор-функция F2 задает стандартную диффузию на каждой из прямых Γ̂j графа Γ̂, причем преобразования функций на каждой из ветвейΓ̂j расширенного графа Γ̂ происходит независимо от значений функциина других ветвях Γ̂k , k 6= j.Опреатор F3 определим как оператор сужения функции с расширенного графа Γ̂ на граф Γ.51Далее (см.

главу 4) будет показано, что оператор-функция F(t) =F3 F2 (t)F1 , t ≥ 0, аппроксимирует в смысле Чернова полугруппу, порождаемую оператороом Лапласа на графе Γ. Прежде мы проанализируемвероятностные аспекты такой аппроксимации.2.5Вероятностный подход к определениюаппроксимирующей функции Черновадля уравнения диффузии на графеПредлагаемая аппроксимирующая функция Чернова имеет следующую вероятностную интерпретацию в терминах случайного блужданияпо графу.Случайному блужданию, описывающему диффузию на прямой, соответствует марковский процесс с переходной функций, обладающей плот−(x−y)21√ностью p(t, s, x, y) =exp 4(t−s) относительно меры Лебега.4π(t−s)Тогда в случае графа Γ вероятность оказаться в окрестности dy точкиy ∈ Γk в момент времени t для частицы, находившейся в момент времениs ≤ t в точке x ∈ Γj , определяется по правилу−(x−y)21√exp 4(t−s) , j = k4π(t−s)p(t, s, (x, j), (y, k)) =−(x+y)2k√ 1exp 4(t−s) .

j =6 k pj(2.5.17)4π(t−s)где pkj , j, k ∈ 1, n, j 6= k; pkj ≥ 0, – вероятность перехода с ветви Γj графана его ветвь Γk . При каждом j ∈ 1, n выполняется условиеXpkj = 1.k6=j52(2.5.18)Нами будет рассмотрен сначала случай, когдаpkj =1,n−1при всех j, k ∈ 1, n, j 6= k.Замечание 2.5.4. Определенная выше функция p не удовлетворяетуравнению Колмогорова-ЧепменаZp(t, s, (x, j), (y, k))p(u, t, (z, l), (x, j))d(x, j) = p(u, s, (z, l), (y, k)).ΓДействительно, для любого l ∈ 1, ..., n и любого z > 0 справедливо равенствоZp(t, s, (x, j), (y, k))p(u, t, (z, l), (x, j))d(x, j) =Γ+∞=n ZXp(t, s, (x, j), (y, k))p(u, t, (z, l), (x, j))dx.j=1 0Тогда для случая l = k получемZp(t, s, (x, j), (y, k))p(u, t, (z, k), (x, j))d(x, j) =ΓZ+∞p(t, s, (x, k), (y, k))p(u, t, (z, k), (x, k))dx+0+∞+XZp(t, s, (x, j), (y, k))p(u, t, (z, k), (x, j))dx =j6=k 0Z+∞=0 −(x − y)2 −(z − x)2 ppexpexpdx+4(t − s)4(u − t)4π(t − s) 4π(u − t)1153+∞+XZ −(x + y)2 −(z + x)2 1jexppk pexpdx =4(t − s)4(u − t)4π(t − s)4π(u − t)1pkj pj6=k 0Z+∞=04π(t − s)X+ −(x − y)2 −(z − x)2 expexp+4(t − s)4(u − t)4π(u − t)11pph −(x + y)2 pkj pjk expj6=k4(t − s) −(z + x)2 iexpdx.4(u − t)Например, еслиpkj =1,n−1то справедливо неравенствоZp(t, s, (x, j), (y, k))p(u, t, (z, k), (x, j))d(x, j) =ΓZ+∞0 −(x − y)2 −(z − x)2 ppexpexp+4(t − s)4(u − t)4π(t − s) 4π(u − t)11h −(x + y)2 −(z + x)2 i1expexpdx <+n−14(t − s)4(u − t)Z+∞<−∞ −(x − y)2 −(z − x)2 ppexpexpdx =4(t − s)4(u − t)4π(t − s) 4π(u − t)11 −(z − y)2 =pexp= p(u, s, (z, k), (y, k)).4(u − s)4π(u − s)1При другом выборе коэффициентов pkj в силу условия (2.5.18) имеетместо неравенствоXpkj pjk ≤ 1,j6=kкоторое является строгим еслиmax pkj pjk < 1.j: j6=k54И потому также имеет место строгое неравенствоZp(t, s, (x, j), (y, k))p(u, t, (z, l), (x, j))d(x, j) < p(u, s, (z, k), (y, k)).ΓТаким образом, функция p не является плотностью переходной функции стационарного марковского случайного процесса на графе Γ, ибо хотя функция p принимает неотрицательные значения, для любого (x, j) ∈Γ, любых t, s ∈ R : s < t выполняется равенствоZp(t, s, (x, j), (y, k))d(y, k) = 1,Γно не выполняется уравнение Колмогорова-Чепмена.Функция (2.5.17) имеет смысл плотности в точке (y, k) ∈ Γ условнойвероятности перехода из точки (x, j) ∈ Γ в момен времени s в измеримоемножество Γ к моменту времени t > s.Определим оператор-функцию P(s, t), (s, t) ∈ R+ × R+ , 0 ≤ s ≤t < +∞ таким образом, что для любых (s, t) оператор P(s, t) действуетвпространстве L1 (Γ) по правилуZ(P(s, t)u)(x, j) = p(t, s, (x, j), (y, k))u(y, k)d(y, k) ∀ u ∈ L1 (Γ).Γ(2.5.19)Лемма 2.5.2.