Диссертация (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации), страница 5

Так как L = L∗если и только если D(L) = D(L∗ ), то для самоспряженнсти оператора Lнеобходимо и достаточно выпольнения равенства (1.4.13).1.5Оператор Шредингера на разветвленных многообразиях переменной размерности1.5.1Постановка задачи и обозначенияИзучаются операторы Шредингера на разветвленном многообразииΓ, задающие процессы диффузии или квантовой динамики на разветвленном многообразии. Граничные точки будем называть точкой ветвления многообразия, если она является граничной точкой для не менее чемдвух различных областей.Предполагается, что на Γ задана Борелевская мера, определяемаятребованием, чтобы её сужение на каждое областей Γα совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда L2 (Γ) = ⊕L2 (Γα ).∞Пусть C0,0(Γ)– векторное пространство бесконечно дифференцируе-мых комплекснозначных функций на Γ с компактными носителями, несодержащими многообразия точки ветвления, и L0 = ⊕Lj0 – линейныйоператор, определяемый на линейном пространстве D(L0 ) = C0∞ (Γ) спомощью равенства→−→−1∆u + i B (x), ∇u + i div B (x)u + C(x)u,(1.5.14)m→−в котором функции m, B , C – вещественнозначные, ограниченые иL0 u =35непрерывные всюду за исключением ветвлении функции на Γ, функцияm принимает на каждом областей Γα постоянное значение mα , причемmα ≥ m0 > 0 ∀α = 1, ..., n; u ∈ C0∞ (Γ).Определение 1.5.1.

Линейный самосопряженный оператор L в пространстве H = L2 (Γ) называется гамильтониан квантовой системы с→−массой m в электромагнитных полей {C, B } если L является самосопряженное расширение оператора L0 .Исследуем свойства задачи Коши для уравнения Шредингера∂u(x, t)= Lu(x, t),∂t(1.5.15)u(x, +0) = u0 (x), x ∈ Γ.(1.5.16)iс начальным условиемЗдесь L – симметрический оператор в гильбертовом пространстве H =L2 (Γ), являющийся расширением оператора L0 , заданного на линейноммногообразии D(L0 ) с помощью равенства (1.5.14).1.5.2Пространства граничных значений на границах гладких компонент разветвленного многообразияОпределим разветвленное многообразие Γ как совокупность n экземnSпляров областей Γα , α ∈ {1, 2, . .

. , n}: Γ =Γα .α=1Предполагаем, что при каждом α область Γα является dα -мернойограниченной областью в пространстве Rdα с (dα − 1) мерной гладкойграницей ηα . Определим границу многообразия Γ как совокупность nSэкземпляров границ областей ∂Γ ≡ η = nα=1 ηα , где ηα = ∂Γα .36Точка Q называется точкой ветвления многообразия Γ, если она является граничной точкой для не менее чем двух различных областей Γα ,Γβ при α 6= β.Предполагается, что на Γ задана Борелевская мера, определяемаятребованием, чтобы её сужение на каждую область Γα совпадало со стандартной мерой Лебега пространства Rdα . Тогда пространство квадратично интегрируемых по мере Лебега комплекснозначных функций на множестве Γ допускает представление L2 (Γ) = ⊕L2 (Γα ).∞Пусть C0,0(Γ) – векторное пространство бесконечно дифференци-руемых комплекснозначных функций на Γ с компактными носителями, не содержащими точки ветвления разветвленного многообразия, иL0 = ⊕Lα0 – линейный оператор, определяемый на C0∞ (Γ), соотношением L0 u = ⊕{Lα0 uα },Lα0 uα =−→−→1∆α uα + i Bα (x), ∇uα + i div Bα (x)uα + Cα (x)uα .mαЗдесь {uα , α = 1, ..., n} – сужения функции u на области Γα .Предположение 1.6.1.

Пусть функция m принимает постояние значения mα > 0 на каждой области Γα при всех α ∈ 1, n и выполненыT→−условия B α (x) ∈ C 1 (Γα , Rdα ) C(Γα , Rdα ), Cα (x) ∈ C(Γα , R).→−→−Через b α = B α |ηα обозначим предельные значения вектор-функции→−B α на границе ηα .∞Оператор L0 с областью определения D(L0 ) = C0,0(Γ) ⊂ L2 (Γ),плотно определен и симметричен. Областью определения D(L∗0 ) сопряженного оператора L∗0 является линейное подпространство D(L∗0 ) =⊕nα=1 W22 (Γα ) := W22 (Γ) ⊂ H.Пусть компоненты Γα многообразия Γ представляют собой m полу37прямых, k конечных интервалов и n − (m + k) областей.В случае 1-мерной области Γα граничное значение uα |ηα является набором комплексных чисел на границе ηα , представляющей собой однуили две точки.В случае dα ≥ 2 граничное значение uα |ηα является элементом про3странстве W22 (ηα ).332Согласно теореме о следах u|η ∈ W22 (η) = ⊕Nα=1 W2 (ηα ) (см.

[23]),Tчерез u|η обозначим совокупность u|η1 ... u|ηn предельных значенийфункции u на границе η. Аналогично, предельное значение производной∂uα∂ναсужения uα по направлению внешней нормали να к границе ηα вслучае полупрямой να представляет собой элемент пространства C, вслучае ограниченного интервала – элемент пространства C2 , а в случае1/2области размерности dα ≥ 2 – элемент пространства W2 (ηα ).Граничные значения нормальной производной обозначаются через∂u∂u T∂u|η1 ...|η ,|η ≡∂ν∂ν1∂νn nгде να , α = 1, ..., n - вектор внешней относительно Γα нормали к ηα .Введем гильбертово пространствоПустьh = L2 (η) = ⊕nα=1 L2 (ηα ) = Cm+2k ⊕nα=m+k+1 L2 (ηα ).Определим пространство граничных значений31G = h2 ⊕ h2 ,где33h 2 = Cm+2k ⊕nα=m+k+1 W22 (ηα ),38и, аналогично11h 2 = Cm+2k ⊕nα=m+k+1 W22 (ηα ).Граничное значение u|η функции u ∈ W22 (Γ) является элементом про3странства h 2 , а граничное значение∂u∂ν |ηее нормальной производной –1элементом пространства h 2 .Введем в пространстве h операторы M и B.

Оператор M действуетна каждый элемент v ∈ h как оператор умножения на функцию1, ξ ∈ ηα ,m αµ(ξ) =α ∈ 1, n.А оператор B действует на каждый элемент v ∈ h как оператор умнажения на функциюβ(ξ) =→−→−bα (ξ), ν α (ξ) , ξ ∈ ηα ,α ∈ 1, n.Теорема 1.6.6. Пусть выполнено предположение 1.6.1 о функциях→−→−m, B , C и m = 1, b α = 0 для любого α ∈ 1, n. Пусть A – линейный3оператор в пространстве h с плотной областью определения h 2 , значе1ния которого лежат в линейном многообразии h 2 .

Пусть DA – линейноемногообразие функций u ∈ W22 (Γ), граничные значения которых связаны с граничными значениями их производных по направлению внешнейнормали соотношением∂u|η = Au|η .∂ν39Тогда для самосопряженности оператора LA = L∗0 |DA необходимо идостаточно выполнения равенства A = A∗ .→−Доказательство. Так как m = 1, b α = 0 для любого α, то изусловий u ∈ D(LA ) и v ∈ D(L∗0 ) следует, что справедливо равенство ∂u∂v ∗LA u, v h − u, L0 v h =|η , v|η − u|η , |η .h∂ν∂ν hСледовательноLA u, v− u, L∗0 vhh= u|η , A∗ v|η −∂v |η .∂ν hСледы u|η принимают произвольные значения, поэтому равенство∂v|η = A∗ v|η ,∂νнеобходимо и достаточно для включения v ∈ D(L∗A ).Поскольку область определения оператора LA определяется уравнением∂u|η = Au|η ,∂νто LA = L∗A тогда следует, что A = A∗ .В случае, когда коэффиценты mα отличны от единицы, а предель→−→−ные значения b α функции b на границе ηα отличны от нуля, описаниемножества самосопряженных расширений задает следующее следствиеСледствие 1.6.4.

Пусть выполнено предположение 1.6.1 о функциях→−m, B , C. Пусть A – линейный оператор в пространстве h с плотной обла3стью определения h 2 , значения которого лежат в линейном многообразии1h 2 . Пусть DA – линейное многообразие функций u ∈ W22 (Γ), граничныезначения которых связаны с граничными значениями их производныхпо направлению внешней нормали соотношением∂u|η = Au|η .∂ν40Тогда для самосопряженности оператора LA = L∗0 |DA необходимо идостаточно выполнения равенстваM A = A∗ M − 2iB.Доказательство. Поскольку выполняется предположение 1.6.1, тоиз условий u ∈ D(LA ) и v ∈ D(L∗0 ) следует, что справедливо равенствоLA u, vh−u, L∗0 v h= ∂u∂ν|η , M v|η∂v − u|η , M |η +2i u|η , Bv|η .h∂ν hСледовательноLu, v− u, L∗0 vhh= u|η , A∗ M v|η − M∂v|η − 2iBv|η h .∂νСледы u|η принимают произвольные значения, поэтому равенствоM∂v|η = A∗ M − 2iB v|η ,∂νнеобходимо и достаточно для включения v ∈ D(L∗A ).

Поскольку областьопределения оператора LA определяется уравнением∂u|η = Au|η ,∂νто LA = L∗A тогда следует, чтоM A = A∗ M − 2iB.41Глава 2Теорема Чернова иаппроксимации полугрупп2.1Теорема Чернова и эквивалентностьоператорнозначных функцийДля аппроксимации полугрупп, порождаемых гамильтонианами Lв банаховом пространстве X (например, Lp (Γ)), использем следующийрезультат (см.

[24],[29]).Теорема 2.1.7 (Теорема Чернова). Пусть X – банахово пространство, B(X) – банахово пространство линейных ограниченных операторов в X и пусть функция F : [0, +∞) → B(X) удовлетворяет условиюF(0) = I, непрерывна в сильной операторной топологии, удовлетворяетоценке kF(t)kB(X) ≤ eαt , t ≥ 0, при некотором α ≥ 0. Тогда если операторF0 (0) замыкаем и его замыкание является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов U(t), t > 0, то для любого u ∈ X и любого42T > 0 выполняется равенствоtlim sup kU(t)u − Fn→∞ t∈[0,T ]nnukX = 0.В некоторых ситуациях удобнее использовать теорему Чернова в следующей модифицированной форме (см.

[26]).Теорема 2.1.8 (Теорема Чернова). Пусть X – банахово пространство, B(X) – банахово пространство линейных ограниченных операторов в X и пусть функция F : [0, +∞) → B(X) удовлетворяет условиюF(0) = I, удовлетворяет оценке k(F(t))k kB(X) ≤ M ekαt , t ≥ 0, при некоторых α ≥ 0, M ≥ 1 и всех t ≥ 0, k ∈ N. Пусть для всех u из плотногомножества D существует пределF(t)u − u,t→0tF0 (0)u = limи множество (λ0 I − F)D плотно в X для некоторого значения λ0 > α.Тогда оператор F0 (0) замыкаем и его замыкание является генераторомсильно непрерывной полугруппы операторов U(t), t > 0, причем длялюбого u ∈ X и любого T > 0 выполняется равенствоntlim sup kU(t)u − FukX = 0.n→∞ t∈[0,T ]nЗамечание 2.1.2. Более простым, чем неравенство k(F(t))k kB(X) ≤M ekαt , t ≥ 0, при некоторых α ≥ 0, M ≥ 1 и всех t ≥ 0, k ∈ N, достаточным условием является неравенство kF(t)k ≤ eαt , t ≥ 0.Замечание 2.1.3. Если оператор L, заданный на линейном попространстве D0 банахова пространства X, замыкаем, а его замыкание L̄,имеющее областью определения подпространство D ⊃ D0 , является генератором сильно непрерывной полугруппы в пространстве X, то найдется43такое λ0 > 0, что множество (λ0 I − F)D плотно в X (см.

теорему 10.6.6(Люмера-Филлипса) в [2], стр. 575).Из теоремы Чернова 2.1.8 и замечаний 2.1.2, 2.1.3 вытекает следующее утверждение.Следствие 2.1.5. Пусть X – банахово пространство, B(X) – банахово пространство линейных ограниченных операторов в X и пустьфункция F : [0, +∞) → B(X) удовлетворяет условию F(0) = I, удовлетворяет оценке k(F(t))kB(X) ≤ eαt , t ≥ 0, при некоторых α ≥ 0 и всехt ≥ 0. Пусть для всех u из плотного множества D существует пределF(t)u − u.t→0tF0 (0)u = limТогда если оператор F0 (0) замыкаем и его замыкание является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов U(t), t > 0, то длялюбого u ∈ X и любого T > 0 выполняется равенствоntlim sup kU(t)u − FukX = 0.n→∞ t∈[0,T ]nДалее нами будет предложена формула Фейнмана для специальногосамосопряженного расширения оператора L, которое мы будем называтьсоответствующим закону Кирхгоффа.2.2Пример приложения теоремы Чернова кдиффузионным процессамПредложение 2.2.2.