Диссертация (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации), страница 4

. . v¯nПусть V = – базис в линейном подпространстве0¯0¯v1 . . . vn2n×nD(L∗ )/D(L0 ), тогда каждый столбец матрицы V удовлетворяет (1.2.7),и, следовательно,ΦT 0I−I 0V 2n×n = 0n×n .(1.2.8)2n×2nИз (1.2.6) и (1.2.8) следует, что в качестве матрицы V может быть выбранаV =−Z∗A∗.Оператор L самосопряженной тогда и только тогда, когда D(L) = D(L∗ ),поэтому если V – матрица из столбцов базисных векторов в подпространстве D(L∗ )/D(L0 ), то D(L) = D(L∗ ) тогда и только тогда, когда V является также и матрицей из столбцов базисных векторов в подпространствеD(L)/D(L0 ), то есть любой её столбец удовлетворяет системе уравнений(1.2.5).

А это равносильно системе равенств −Z ∗ = 0,A Z ∗A27что и доказывает теорему 1.2.2.Теорема 1.2.3. Оператор L самосопряжен тогда и только тогда,когда его область определения D(L) состоит из функций пространства W22 (Γ), граничные значения которых удовлетворяют равенствуA1 u0 (0) + A0 u(0) = 0, где ранг матрицы (A1 |A0 ) ∈ Cn×2n равен n иматрица A0 A∗1 удовлетворяет равенствуA0 M −1 A∗1 = A1 M −1 (A∗0 + 2i BM −1 A∗1 ).Доказательство.Пусть m 6= 0, B(x) 6= 0 и C(x) 6= 0.

Обозначимon u(0)= Φ2n×n hn×1 множество решений системы линейчерез0u (0)2n×1ных уравненийA1 u0 (0) + A0 u(0) = 0,(1.2.9)где Φ2n×n – фундаментальная матрица и hn×1 – матрица независимыхконстант. Подставляя каждое из решений фундаментальной системыуравнения A1 u0 (0) + A0 u(0) = 0, задающие область определения, получим следующую связь фундаментальной матрицы с матрицей системыуравнений (1.2.9)ΦT AT0AT1= 0n×n .(1.2.10)2n×nЕсли u ∈ D(L), область определения оператора L задана системой уравнений (1.2.9), то для любого v ∈ D(L∗0 ) справедливо равенство−2iB Mv̄(0)Lu, v H − u, L∗0 v H = h, ΦT 0−M 0v̄ (0)2n×2n.2n×1Элемент v ∈ D(L∗ ) удовлетворяет условиюLu, vH− u, L∗0 v28H= 0.(1.2.11)Пусть V = v¯1 . . .

v¯n0¯0¯v1 . . . vn– базис в линейном подпространстве2n×n∗D(L )/D(L0 ), тогда каждый столбец матрицы V удовлетворяет (1.2.11),и, следовательно,ΦT −2iB M−M0V 2n×n = 0n×n .(1.2.12)2n×2nИз (1.2.10) и (1.2.12) следует, что в качестве матрицы V может бытьвыбранаV =−MM−1A∗0−1+ 2iMA∗1−1BM−1A∗1.Оператор L самосопряженной тогда и только тогда, когда D(L) = D(L∗ ),поэтому если V – матрица из столбцов базисных векторов в подпространстве D(L∗ )/D(L0 ), то D(L) = D(L∗ ) тогда и только тогда, когда V является также и матрицей из столбцов базисных векторов в подпространствеD(L)/D(L0 ), то есть любой её столбец удовлетворяет системе уравнений(1.2.9). А это равносильно системе равенств−1 ∗−M A1 = 0,A0 A1 −1 ∗−1−1 ∗M A0 + 2iM BM A1что и доказывает теорему 1.2.3.1.3Операторы Шредингера на графах снесколькими вершинамиВ настоящие работе под графом с нескольким вершинами понимаетсяодномерной клеточный комплексны [15].291.3.1Постановка задачи и обозначенияПусть граф Γ представляет собой набор из n вершин Q1 , ..., Qn , изкаждой из которых исходит rj , rj ∈ N рёбер Γij , представляющих собойлибо бесконечные полупрямые, либо отрезки, соединяющие вершину Qjс другими вершинами.

Фиксируем на каждом ребре Γj параметризациюнатуральным параметром. При этом на ребрах-полупрямых параметрвозрастает от граничной точки; а на ребрах-отрезках ориентация выбрана произвольно. Пусть dj – начальная точка ребра полупрямой, aj –начальная точка ребра Γj отрезка, bj – конечная точка ребра Γj отрезка. Пусть ck , k = 1, ..., n – совокупность всех граничных точек реберΓ1 , ..., Γn . Определим функцию s на множестве {ck } так, что s(ck ) = 1при условии, что ck – начало ребра, и положим s(ck ) = −1 при условии, что ck – конец ребра.

Обозначим через S диагональную матрицу счислами s(ck ) на диагонали.Введем операторы L0 , L∗0 и пространство G граничных значенийфункций из D(L∗0 ) и их производных.Пространство G линейно изоморфное пространству C2N .Через u(cj ) обозначим совокупность предельных значений функциипо ребру, границей которго является точка cj , а через u(c) обозначим N –Tмерный вектор u(c1 )...u(cN ) , для вектора предельных значений производной u0 (c) используем аналогичные обозначения, и введём обозначение bj = Bj (cj ) предельное значение функции Bj в граничной точкеcj .Теорема 1.3.4.

Пусть m = 1, B(x) = 0 и C(x) = 0. Оператор L с обno20ластью определения D(L) = u ∈ W2 (Γ) : u (c) = Au(c) самосопряжен30тогда и только тогда, когда матрица A удовлетворяет равенствуA = SA∗ S.Доказательство. Если u ∈ D(L) и v ∈ D(L∗0 ), то справедливо равенствоLu, vH− u, L∗0 vH= Su(c), v 0 (c) C2n − Su0 (c), v(c) C2n .СледовательноLu, vH− u, L∗0 vH= u(c), Sv 0 (c) − A∗ Sv(c) C2n .Следы u(c) принимают произвольные значения, поэтому равенствоv 0 (c) = SA∗ S v(c),необходимо и достаточно для включения v ∈ D(L∗ ), что и доказываеттеорему 1.3.4.В случае, когда коэффиценты mj отличны от единицы, а предельныезначения bj функции b в точке верешиние вдоль ребра Γj отличны отнуля, описание множества самосопряженных расширений задает следующее следствиеСледствие 1.3.2.

Если M и B диагональные матрицы и их матричные элементы заданы по формуле m1j δij 2n×2n , bj δij 2n×2n i, j = 1, ..., 2nсоответственно, и C = (cij ), где cij ∈ L∞ (Γ), то оператор L с областьюno20определения D(L) = u ∈ W2 (Γ) : u (c) = Au(c) , самосопряжен тогдаи только тогда, когда матрица A, M и B удовлетворяет равенствуA = M −1 SA∗ SM − 2i M −1 SBS.31Доказательство. Если u ∈ D(L) и v ∈ D(L∗0 ), то справедливо равенствоLu, vH−u, L∗0 v H= Su(c), M v (c)0C− 2iSu(c), Bv(c)− Su (c), M v(c)2nC2n0C2n−.СледовательноLu, vH−u, L∗0 v H= u(c), SM v (c) − A S M v(c) + 2i B Sv(c)0∗C2n.Следы u(c) принимают произвольные значения, поэтому равенствоv 0 (c) = M −1 SA∗ SM − 2iM −1 SBS v(c),необходимо и достаточно для включения v ∈ D(L∗ ), что и доказываетследствие 1.3.2.Вывод. Множество самосопряженных расширений оператора Шредингера L0 на графе с несколькими вершинами изоморфено множествусамосопряженных расширений оператора Шредингера на графе с однойвершиной.1.4Операторы Шредингера на графах сбесконечным множеством реберДля описания такого графа определим на нем следующие структуры (см.[6]).

Обозначим через µ – локально конечную счётно аддитивнуюнеотрицательную меру на N такую, что µ(k) = µk > 0, и обозначимчерез L2, µ = L2 (N, 2N , µ, C)– гильбертово пространство граничных32значений с нормой 2un =L2, µZ∞X 2 2uk µ(k).un dµ(n) =Nk=1И пусть W22 (Γ) – пространство функций u ∈ L2,µ , для которых определено значение нормыkuk2W22 (Γ)=∞Xµj kuj k2W22 (R+ ) .j=1Сужения всякой функции на полупрямую обладают граничными значениями в вершине: u(0) = (u1 (0)...un (0)...)T ∈ L2, µ . Это также верно дляпервых производных этих сужений u0 (0).Обозначим через Λ, M и B диагональные матрицы и их матричныеэлементы заданы по формуле µj δij , m1j δij и bj δij соответственно.Теорема 1.4.5. Пусть µk = 1, m = 1, B(x) = 0 и C(x) = 0.

Оператор L с областью определения D(L) = {u ∈ W22 (Γ) : u0 (0) = Au(0)},самосопряжен тогда и только тогда, когда оператор A самосопряжен впространстве `2 (`2 = L2 (N, 2N , 1, C)).Доказательство. Если u ∈ D(L0 ) и v ∈ D(L∗0 ), то справедливоравенствоL0 u, v −= u(0), Λ v (0) − u0 (0), Λ v(0) = 0∗= u(0), Λ v (0) − u(0), A Λ v(0) .u, L∗0 v HH0Следовательно,u(0), Λ v (0) − A Λ v(0) .0∗Следы u(0) принимают произвольные значения в пространствеL2 (N, 2N , µ, C), поэтому равенствоv 0 (0) = Λ−1 A∗ Λ v(0),33необходимо и достаточно для включения v ∈ D(L∗0 ), что и доказываеттеорему 1.4.5.В случае, когда коэффиценты mj отличны от единицы, а предельныезначения bj функции b в точке верешиние вдоль ребра Γj отличны отнуля, описание множества самосопряженных расширений задает следующее следствие1mk ,Следствие 1.4.3.

Если µk ∈ `1 ,mk , bk ∈ `∞ и Λ, B и M –операторы в пространстве L2 (N, 2N , µ, C), заданные диагональными матрицами с числами µk , bk и1mkна диагонали соответственно,C = (cij ), где cij ∈ L∞ (Γ). Тогда оператор L с областью определенияon02D(L) = u ∈ W2 (Γ) : u (0) = Au(0) , самосопряжен тогда и толькотогда, когда операторы A, M и B действующая в пространстве `2 , удовлетворяет равенствуΛ M A = A∗ Λ M − 2i ΛB(1.4.13).Доказательство. Если u ∈ D(L) и v ∈ D(L∗0 ), то справедливо равенствоLu, vH−u, L∗0 v H 0= u(0), Λ M v (0) − u (0), Λ M v(0) −0− 2iu(0), Λ Bv(0) .СледовательноLu, vH−u, L∗0 v H= u(0), Λ M v (0) − A Λ M v(0) + 2iΛ Bv(0) .0∗Следы u(0) принимают произвольные значения в пространствеL2 (N, 2N , µ, C), поэтому равенствоΛM v 0 (0) = A∗ Λ M − 2iΛB v(0),34необходимо и достаточно для включения v ∈ D(L∗ ).