Диссертация (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации), страница 3

= un (0);nX(u0j (0) + ibj (0)u(0)) = 0.(0.3.4)j=1В третьей главе диссертации найдена операторнозначная функция,эквивалентная по Чернову унитарной группе, задаваемой в пространствеL2 (Γ) задачей Коши для уравнения Шредингера (0.3.1)-(0.3.4).В качестве функций Чернова, аппроксимирующих унитарную полугруппу e−itLS , рассмотрим оператор-функциюF(t) = MS,−b F3 FCb (t)G2 (t)F1 MS,b ; t ≥ 0; t ∈ R,где MS,±b = e±iG2 (t)y0 (bx, k) =Rx0b(s)ds√R∞√i2 tπ−∞, FCb (t) = e−iCb (x)t , Cb (x) = C(x) + B 2 (x) иe−i(x̂−ξ̂)24tˆ k)dξ,ˆ при всех k ∈ 1, n.y0 (ξ,Теорема 0.3.1. Пусть функция b удовлетворяет условиям b ∈ Cb1 (Γ),а функция c – условию c ∈ Cb (Γ). Тогда справедливо представление17группы e−itLS , t ≥ 0, формулой Фейнмана t n −itLSlim sup eu− FuX = 0 ∀ T > 0, u ∈ X,n→∞ t∈[0,T ]nгде X = L2 (Γ).В четвертой главе диссертации изучается уравнение ФоккераПланкаdu(x, t) = Lu(x, t), t > 0,dt(0.4.1)гдеLu =∂u ∂(B(x)u)1∆u + B(x)++ C(x)u.m∂x∂x(0.4.2)В последнем выражении функции m, B, C – вещественнозначные, ограниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа функциина Γ, функции m и B непрерывно дифференцируемы на ребрах графа,функция m равномерно ограничена и равномерно отделена от нуля награфе Γ; функция u в формуле (0.4.2) удовлетворяет условию u ∈ C0∞ (Γ).Задача Коши для уравнения (0.4.1) рассматривается с начальным условиемu|t=0 = u0 , u0 ∈ Lp (Γ),(0.4.3)где p ∈ [0, +∞) и символом Lp (Γ) обозначается банахово пространствоизмеримых интегрируемых в степени p функций на графе Γ.Оператор Lτ задается дифференциальным выражением (0.4.2) как∞расширение оператора L0 с областью определения C0,0(Γ) на простран-ство функций, удовлетворяющих в точке ветвления графа условиюКирхгоффа:u1 (0) = ...

= un (0);nX(u0j (0) + bj (0)u(0)) = 0.j=118(0.4.4)В диссертации установлено существование сильно непрерывной полугруппы, порождаемой оператором Lτ в банаховом пространстве Lp (Γ)в предположении, что потенциал b непрерывно дифференцируемой абсолютно интегрируемой функцией с ограниченной происводной, а потенциал c ограничен. Установлено, что предложенная в главе 2 операторнозначная функция, соответствующая одинаковым коэффициентамперехода между ребрами графа, эквивалентна по Чернову полугруппе,задаваемой в пространстве Lp (Γ) задачей Коши (0.4.1)-(0.4.4).В качестве функций Чернова, аппроксимирующих сжимающую полугруппу etAτ , рассмотрим оператор-функциюF(t) = MH,−b F3 Fqb (t)F2 (t)F1 MH,b ; t ≥ 0; t ∈ R,где MH,±b = eF2 (t)y0 (bx, k) =±Rx√12 tπ0b(s)dsR∞e, Fqb (t) = eqb (x)t , qb (x) = C(x) − B 2 (x) и−(bx−ξ̂)24tˆ k)dξ,ˆ при всех k ∈ 1, n.y0 (ξ,−∞Теорема 0.4.1.

Пусть функция b удовлетворяет условиям b ∈TCb1 (Γ) L1 (Γ), а функция c – условию c ∈ Cb (Γ). Тогда представлениеполугруппы etAτ , t ≥ 0, формулой Фейнманаlim sup ken→∞ t∈[0,T ]tAτ t nu− FukX = 0 ∀ T > 0, u ∈ X,nимеет место в пространствах X = Lp (Γ), p ∈ [1, +∞).19Глава 1Операторы Шредингерана геометрических графахи на разветвленныхмногообразиях1.1Постановка задачи и обозначенияИзучаются операторы Шредингера на графе Γ, задающие процессыдиффузии или квантовой динамики на графе Γ как на разветвленноммногообразии. Следуя принимаемой в [7] терминологии графом Γ будемназывать конечную или счетную совокупность гладких одномерных многообразий Γi называемых рёбрами графа, каждое из которых диффеоморфно лучу [0, +∞) или отрезку [0, 1]. Граничные точки рёбер будемназывать вершинами графа.

Каждая вершина графа является гранич20ной точкой некоторого непустого множества рёбер графа.Предполагается, что на Γ задана Борелевская мера, определяемаятребованием, чтобы её сужение на каждое рёбро Γj совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда L2 (Γ) = ⊕L2 (Γj ).∞Пусть C0,0(Γ)– векторное пространство бесконечно дифференцируе-мых комплекснозначных функций на Γ с компактными носителями, несодержащими вершин графа, и L0 = ⊕Lj0 – линейный оператор, определяемый на линейном пространстве D(L0 ) = C0∞ (Γ) с помощью равенстваL0 u =1∂u∂(B(x)u)∆u + iB(x)+i+ C(x)u,m∂x∂x(1.1.1)где функции m, B, C – вещественнозначные, ограниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа Γ, функция m принимаетна каждом рёбре Γj постоянное значение mj , причем mj ≥ m0 > 0∀j = 1, ..., n; u ∈ C0∞ (Γ).Исследуем свойства задачи Коши для уравнения Шредингера∂u(x, t)= Lu(x, t),∂t(1.1.2)u(x, +0) = u0 (x), x ∈ Γ.(1.1.3)iс начальным условиемЗдесь L – симметрический оператор в гильбертовом пространстве H =L2 (Γ), являющийся расширением оператора L0 , заданного на линейноммногообразии D(L0 ) с помощью равенства (1.1.1).Целью первые главы является описание множества всех самосопряженных расширений оператора L0 , которые могут выступать генераторами унитарных групп задачи Коши (1.1.2), (1.1.3) для уравнения Шредингера.211.2Операторы Шредингера на графах с одной вершинойГраф Γ с одной вершиной мы определяем как совокупность n экземпляров полупрямых Γj = [0, +∞), j = 0, ..., n, с общим началом Q,называемым вершиной графа.Предполагается, что на Γ задана Борелевская мера, определяемаятребованием, чтобы её сужение на каждую полупрямую Γj совпадало состандартной мерой Лебега, тогда L2 (Γ) = ⊕L2 (Γj ).∞Пусть C0,0(Γ) –векторное пространство бесконечно дифференцируе-мых комплекснозначных функций на Γ с компактными носителями, несодержащими точки врешинии Q, и L0 = ⊕Lj0 – линейный оператор,определяемый на C0∞ (Γ), соотношением L0 u = ⊕{Lj0 uj },Lj0 uj =1∂uj∂(Bj (x)uj )∆j uj + iBj (x)+i+ Cj (x)uj .mj∂x∂xЗдесь {uj , j = 1, ..., n} – сужения функции u на полупрямые Γj .

Предполагается, что при всех j числа mj > 0 и функции Bj (x) ∈ C 1 (Γj , R) ∩C(Γj , R), Cj (x) ∈ C(Γj , R). Предплагается также, что вдоль каждогоребра Γj функция Bj имеет в точке Q конечное предельное значениеbj = Bj (0).Замечание 1.2.1. Пусть ϕj – диффеоморфизм полупрямой Γj насебя, определяемый равенством ξ = ϕ(x), x ∈ Γj , а обратное преобразование определяется равенством x(ξ) = ϕ−1 (ξ), ξ ∈ Γj . Пусть преобразование ϕ : Γ → Γ определено равенствами ϕ|Γj = ϕj .Преобразование ϕ координатного пространства Γ индуцирует унитарное22преобразование S гильбертова пространства L2 (Γ):u(t, x) → v(t, ξ) = (Su)(ξ) ≡d −1 −12ϕ (ξ) u(t, x(ξ)), ξ ∈ Γ,dξ(1.2.4)(см.

[17]) которое, в свою очередь, порождает преобразование оператораL0 в оператор L̃0 = SL0 S −1 .Лемма 1.2.1. Существует такой набор гладких диффеоморфизмовϕj , j ∈ 1, n, что оператор L̃0 определен на пространстве C0∞ (Γ) дифференциальными выражениямиL̃j0 uj =1∂(B̃j uj )∂uj∆uj + iB̃j+i+ C̃j (x)uj ,m̃j∂x∂xгде m̃ ≡ 1, а функции B̃j , C̃j на полупрямых Γj обладают той же гладкостью, что и функции Bj , Cj .Так как согласно (1.2.4)d 21d −12−1u(t, x) =ϕ (ξ(x)) v(t, ξ(x)) =ϕ(x)v(t, ξ(x)),dξdxто дифференцируя дважды по переменной x это выражение, получимd −12 h d2 v dξ 2i∆u(t, x) =ϕ(x)(ξ(x))+...

,dxdξ 2dxиd −12 ddu(t, x) =ϕ(x)v(t, ξ(x)).dtdxdtПодставив все это в исходное уравнение, получим, что для обращения вединицу коэффициента при старших производных и необходимо и достаточно, чтобы1 dξ 2= 1, ∀ x ∈ Γ,m(x) dxто естьdξ(x) 1 −12=.dxm(x)23Поэтому будем предполпгать изначально, что функцияm ≡ 1,а функции Bj , Cj непрерывно дифференцируемы на полупрямых Γj .∞Оператор L0 с областью определения D(L0 ) = C0,0(Γ) ⊂ L2 (Γ)плотно определен и симметричен. Областью определения D(L∗0 ) сопряженного оператора L∗0 является линейное подпространство D(L∗0 ) =⊕nj=1 W22 (Γj ) := W22 (Γ) ⊂ H. Сужения всякой функции u ∈ W22 (Γ) наполупрямые Γj , j = 1, ..., n обладают граничными значениями в вершине, которые обозначим через uj (0), где символ u(0) означает u(0) =Tu1 (0) u2 (0) ...

un (0) ∈ Cn . Это также верно для первых производных этих сужений, для них используем аналогичные обозначения.Теорема Фон Неймана (см. [1, 25]) предоставляет описание множествасамосопряженных расширений симметрического оператора. Нами получено явное описание множества самосопряженных расширений оператора L0 в терминах условий на линейные подпространства в пространствеграничных значенийG = D(L∗0 )/D(L0 ) = {(u(0), u0 (0))} = C2n .Теорема 1.2.1. Пусть m = 1, B(x) = 0 и C(x) = 0.

Оператор Lс областью определения D(L) = {u ∈ W22 (Γ) : u0 (0) = Au(0)} самосопряжен тогда и только тогда, когда матрица A удовлетворяет равенствуA = A∗ .Доказательство. Если u ∈ D(L) и v ∈ D(L∗0 ), то справедливо равенствоLu, vH− u, L∗0 vH= u(0), v 0 (0) Cn − u0 (0), v(0) Cn .24СледовательноLu, vH− u, L∗0 vH= u(0), v 0 (0) − A∗ v(0) Cn .Следы u(0) принимают произвольные значения, поэтому равенствоv 0 (0) = A∗ v(0),необходимо и достаточно для включения v ∈ D(L∗ ), что и доказываеттеорему 1.2.1.В случае, когда коэффиценты mj отличны от единицы, а предельныезначения bj функции b в точке верешиние вдоль ребра Γj отличны отнуля, описание множества самосопряженных расширений задает следующее следствиеСледствие 1.2.1.

Если M и B диагональные матрицы и их матричные элементы заданы по формуле m1j δij n×n , bj δij n×n i, j = 1, ..., nсоответственно, и C = (cij ), где cij ∈ L∞ (Γ), то оператор L с областьюопределения D(L) = {u ∈ W22 (Γ) : u0 (0) = Au(0)}, самосопряжен тогдаи только тогда, когда матрицы A, M и B удовлетворяет равенствуA = M −1 A∗ M − 2i M −1 B.Доказательство. Если u ∈ D(L0 ) и v ∈ D(L∗0 ), то справедливоравенствоLu, vH−u, L∗0 v H0= u(0), M v (0)C− u (0), M v(0) n −n0C− 2iu(0), Bv(0) n .CСледовательноLu, vH−u, L∗0 v H0∗= u(0), M v (c) − A M v(0) + 2i B v(0)25Cn.Следы u(0) принимают произвольные значения, поэтому равенствоv 0 (0) = M −1 A∗ M − 2iM −1 B v(0),необходимо и достаточно для включения v ∈ D(L∗ ), что и доказываетследствие 1.2.1.Теорема 1.2.1 дает описание широкого класса самосопряженных расширений оператора L0 , но не дает описания всей совокупности самосопряженных расширений.

Это делает следующая теорема.Теорема 1.2.2. Оператор L самосопряжен тогда и только тогда,когда его область определения D(L) состоит из функций пространства W22 (Γ), граничные значения которых удовлетворяют равенствуZu0 (0) + Au(0) = 0, где ранг матрицы (Z|A) ∈ Cn×2n равен n и матрица является ZA∗ является самосопряженной: ZA∗ = AZ ∗ .Доказательство.Пусть m = 1, B(x) = 0 и C(x) = 0. Обозначимon u(0)= Φ2n×n hn×1 множество решений системы линейчерез 0u (0)2n×1ных уравненийZu0 (0) + Au(0) = 0,(1.2.5)где Φ2n×n – фундаментальная матрица и hn×1 – матрица независимыхконстант. Подставляя каждое из решений фундаментальной системыуравнения Zu0 (0) + Au(0) = 0, задающие область определения, получим следующую связь фундаментальной матрицы с матрицей системыуравнений (1.2.5)ΦT TAZT= 0n×n .2n×n26(1.2.6)Если u ∈ D(L), область определения оператора L задана системой уравнений (1.2.5), то для любого v ∈ D(L∗0 ) справедливо равенствоv̄(0)0 ILu, v H − u, L∗0 v H = h, ΦT 0−I 0v̄ (0)2n×2n.2n×1Элемент v ∈ D(L∗ ) удовлетворяет условиюLu, v H − u, L∗0 v H = 0.(1.2.7)v¯1 .