Диссертация (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации), страница 2

un (0) ∈ Cn . Это также верно для первых производных этих сужений, для них используем аналогичные обозначения.Теорема Фон Неймана (см. [16, 7]) предоставляет описание множества самосопряженных расширений симметрического оператора. Намиполучено явное описание множества самосопряженных расширений оператора L0 в терминах условий на линейные подпространства в пространстве граничных значений G = D(L∗0 )/D(L0 ) = {(u(0), u0 (0))} = C2n .Теорема 0.1.1.

Если M и Ξ диагональные матрицы и их матричные элементы заданы по формуле m1i δij n×n , bi δij n×n i, j = 1, ..., nсоответственно, и C = (cij ), где cij ∈ L∞ (Γ), то оператор L с областьюопределения D(L) = {u ∈ W22 (Γ) : u0 (0) = Au(0)}, самосопряжен тогдаи только тогда, когда матрицы A, M и Ξ удовлетворяет равенствуA = M −1 A∗ M − 2i M −1 Ξ.Теорема 0.1.1 дает описание широкого класса самосопряженныхрасширений оператора L0 , но не дает описания всей совокупностисамосопряженных расширений. Это делает следующая теорема.9Теорема 0.1.2.

Оператор L самосопряжен тогда и только тогда,когда его область определения D(L) состоит из функций пространства W22 (Γ), граничные значения которых удовлетворяют равенствуA1 u0 (0) + A0 u(0) = 0, где ранг матрицы (A1 |A0 ) равен n и матрица A0 A∗1удовлетворяет равенству A0 M −1 A∗1 = A1 M −1 (A∗0 + 2i ΞM −1 A∗1 ).Далее в главе 1 результаты теорем 0.1.1 и 0.1.2 обобщаются на случай графа со счетным множеством ребер и одной вершиной, графа с конечным множеством вершин и разветвленного многообразия, представляющего собой объединение конечного числа областей конечномерныхевклидовых пространств различной размерности и обладающих кусочногладкой границей.Вторая глава диссертации посвящена аппроксимации сильно непрерывных полугрупп итерациями операторнозначных функций.

В работахО.Г. Смолянова и его соавторов (см. [4, 29, 13]) показано, что эффективным методом построения таких аппроксимаций является утверждениетеоремы Чернова (см. [24]).Теорема (Чернова). Пусть X – банахово пространство, B(X) – банахово пространство линейных ограниченных операторов в X и пустьфункция F :[0, +∞) → B(X) удовлетворяет условию F(0) = I,непрерывна в сильной операторной топологии, удовлетворяет оценкеkF(t)kB(X) ≤ eαt , t ≥ 0, при некотором α ≥ 0.

Тогда если оператор F0 (0)замыкаем и его замыкание является генератором сильно непрерывнойполугруппы операторов U(t), t > 0, то для любого u ∈ X и любого10T > 0 выполняется равенствоtlim sup kU(t)u − Fn→∞ t∈[0,T ]nnukX = 0.Представление полугруппы U(t), t ≥ 0, в виде предела итерацийnF( nt ) при n → ∞ и является формулой Фейнмана. Тогда говорят, чтооператор-функция F(t) эквивалентна по Чернову полугруппе U(t) (см.[4, 13]).

Дальнейшей целью диссертации является определение итерационных фейнмановских аппроксимаций для полугрупп, порождаемыхоператорами Лапласа и Шредингера на графе при описании квантовойдинамики или диффузии.Пример приложения теоремы Чернова к диффузионным процессамПредложение 0.2.1. Пусть H = L2 (R) и для каждого ∈ R икаждого v ∈ R определено семейство не полугруппа преобразованийU,v (t), t ≥ 0 пространства H, действующих по формулеU,v (t)u(x) = u(x + vt + t1/2 ), t ≥ 0.Пусть на множестве R задана вероятностная мера µ с плотностью pµтакая, что pµ – счетная функция иZZ2 pµ ()d = D > 0,||3 pµ ()d < ∞.RRТогда при любом v ∈ R семейство преобразований U,v удовлетворяетусловиям теоремы Чернова и преобразование Uµv (·), являющеся результатом усреднения по мере µ семейства преобразований U,v (·), ∈ Rэквивалентно по Чернову полугруппе, разрешающей задачу Коши дляуравнения теплопроводностиu0t = Du00xx + vu0x , t > 0, x ∈ R;11u|t=+0 = u0 .Во второй главе диссертации приведены примеры применения операции усреднения операторнозначных функций к построению фейнмановских аппроксимаций заданных полугрупп.

На основании вероятностного подхода найдено семейство аппроксимирующих полугруппы Шредингера оператор-функций, параметризованное вероятностями переходас каждого из ребер графа на другие ребра.Далее изложенная схема построения аппроксимирующей функцииЧернова будет применена к изучению диффузии (эволюции конценрациикак функции из пространства L1 (Γ) или Lp (Γ)) и квантовой динамики(эволюции волновой функции из пространства L2 (Γ)) на графе Γ.Граф Γ и расширенный граф Γ̂ Пусть если x ∈ Γj , то x = (ξ, j) ∈ R+ ×{1, ..., n} пара называющая какому лучу принадлежит x и координатына луче, и пусть u = u(ξ, j) = uj (ξ).bj прямую являющуюся продолжением полупрямойОбозначим через Γbb объединение Sn ΓΓj до прямой, а через Γj=1 j .Используем следующий схему (см.

[17, 18]), основанную на применении теоремы Чернову и формулы Фейнмана.1) Определим преобразование F1 при каждом t > 0 сопоставляющееˆ j) = yj (ξ)ˆфункцию u : Γ → C функцию y = F1 u : Γ̂ → C, где y(x̂) = y(ξ,по следующему правилуˆuj ξ , yj ξˆ =Pn 1n−1ξˆ ∈ R+ ,ˆ , ξˆ ∈ R− .u−ξii=1,i6=j12Тогда справедливо равенствоyj ξˆ = uj ξˆ χ(0,+∞) +nX1ui − ξˆ χ(−∞,0) ,n−1i=1,i6=jгде χa – характеристическая функция интервала a.2) Продолжим коэффиценты дифференциального выражения на расширеный граф Γ̂m ≡ 1, x̂ ∈ Γ̂,а функции Bj (x), Cj (x) на каждой прямой Γ̂j с носителями на промежутке [−1, +∞) определим как гладкие продолжения с полупрямойΓjна прямую Γ̂j .Для изучения явления диффузии на графе Γ в отсутствии потенциалов (b = 0 и c = 0) определим операторнозначную функцию F2 ∈C([0, +∞), B(L1 (Γ)), задаваемую равенством1F2 (t)y(x̂, j) = √2 πtZ+∞−(x̂−ξ̂)2ˆ j)dξ;ˆ j = 1, ..., n.e 4t y(ξ,−∞Оператор-функция F2 задает диффузию с постоянным коэффициентомна каждой из прямых Γ̂j графа Γ̂, причем преобразования функций накаждой из ветвей Γ̂j расширенного графа Γ̂ происходит независимо отзначений функции на других ветвях Γ̂k , k 6= j.Опреатор F3 определим как оператор сужения функции с расширенного графа Γ̂ на граф Γ.Далее (см.

главу 4) будет показано, что оператор-функция F(t) =F3 F2 (t)F1 , t ≥ 0, аппроксимирует в смысле Чернова полугруппу et∆ , t ≥0, порождаемую оператороом Лапласа на графе Γ.13В главе 3 для аппроксимации унитарной группы, порождаемой оператором Лапласа в пространстве L2 (Γ), будет исследована аппроксимирующая функция Чернова, где G(t) = F3 G2 (t)F1 , t ≥ 0, а операторфункция G2 ∈ C([0, +∞), B(L2 (Γ)) задана равенством√ Z+∞−i(x̂−ξ̂)2iG2 (t)y(x̂, j) = √e 4t y(ξ, j)dξ, j = 1, ..., n.2 πt−∞Кроме того, в главах 3 и 4 установлено определен вклад в аппроксимации по Чернову полугрупп eLt , t ≥ 0, и групп e−itL , t ∈ R, от потенциалов b и c.Прежде мы проанализируем вероятностные аспекты такой аппроксимации. Высказывается гипотеза, что каждому набору вероятностей перехода с ребра на ребро графа соответствует полугруппа, порождаемаянекоторым самосопряженным расширением оператора L0 , и наоборот,каждое самосопряженное расширение оператора L0 задает полугруппу,эквивалентную по Чернову оператор-функции, соответствующей некоторому набору вероятностей перехода с ребра на ребро.

В главах 3 и 4 исследован случай равновероятных переходов с ребра на ребро и доказано,что соответствующая такому закону оператор-функция эквивалентна поЧернову полугруппе, в область определения генератора которой входятте и только те функции, которые удовлетворяют в точке ветвления графаусловию непрерывности и условию равенства нулю суммарного потока(что эквивалентно условию самосопряженности). Эти условия будем называть условиями Кирхгоффа.Вероятностный подход к определению аппроксимирующей функцииЧернова для уравнения диффузии на графе14Предлагаемая аппроксимирующая функция Чернова имеет следующую вероятностную интерпретацию в терминах случайного блужданияпо графу.Случайному блужданию, описывающему диффузию на прямой, соответствует марковский процесс с переходной функций, обладающей плот−(x−y)21ностью p(t, s, x, y) = √exp 4(t−s) относительно меры Лебега.4π(t−s)Тогда в случае графа Γ вероятность оказаться в окрестности dy точкиy ∈ Γk в момент времени t для частицы, находившейся в момент времениs ≤ t в точке x ∈ Γj , определяется по правилу−(x−y)21√exp 4(t−s) , j = k4π(t−s)p(t, s, (x, j), (y, k)) =−(x+y)2k√ 16 kexp 4(t−s) .

j =pj(0.2.1)4π(t−s)где pkj , j, k ∈ 1, n, j 6= k; pkj ≥ 0, – вероятность перехода с ветви Γj графана его ветвь Γk . При каждом j ∈ 1, n выполняется условиеXpkj = 1.(0.2.2)k6=jНами будет рассмотрен сначала случай, когдаpkj =1,n−1при всех j, k ∈ 1, n, j 6= k.Замечание. Определенная выше функция p не удовлетворяет уравнению Колмогорова-ЧепменаZp(t, s, (x, j), (y, k))p(u, t, (z, l), (x, j))d(x, j) = p(u, s, (z, l), (y, k)).ΓПоэтому функция p не является плотностью переходной функции стационарного марковского случайного процесса на графе Γ, хотя функция15p принимает неотрицательные значения и для любого (x, j) ∈ Γ, любыхt, s ∈ R : s < t выполняется равенствоZp(t, s, (x, j), (y, k))d(y, k) = 1.ΓФункция (2.5.17) имеет смысл плотности в точке (y, k) ∈ Γ условнойвероятности перехода из точки (x, j) ∈ Γ в момен времени s в измеримоемножество Γ к моменту времени t > s.Определим оператор-функцию P(s, t), (s, t) ∈ R+ × R+ , 0 ≤ s ≤t < +∞ таким образом, что для любых (s, t) оператор P(s, t) действуетвпространстве L1 (Γ) по правилуZ(P(s, t)u)(x, j) = p(t, s, (x, j), (y, k))u(y, k)d(y, k) ∀ u ∈ L1 (Γ).

(0.2.3)ΓЛемма 0.2.2. Пусть p ∈ [1, +∞]. Оператор-функция P задает двухпараметрическое семейство сжимающих преобразований пространстваLp (Γ), сохраняющих конус неотрицалельных функций.Теорема 0.2.3. Оператор-функция P(0, t), t ≥ 0, заданная функцией p по формуле (0.2.1) при условии pkj =1n−1 ,k, j ∈ 1, ..., n; k 6= j,совпадает с оператор-функции Чернова F(t) = F3 F2 (t)F1 , t ≥ 0.В третьей главе диссертации изучается уравнение Шредингераidu(x, t) = Lu(x, t), t > 0,dt(0.3.1)гдеLu =1∂u∂(B(x)u)∆u + iB(x)+i+ C(x)u.m∂x∂x(0.3.2)В последнем выражении функции m, B, C – вещественнозначные, ограниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа функции16на Γ, функции m и B непрерывно дифференцируемы на ребрах графа,функция m равномерно ограничена и равномерно отделена от нуля награфе Γ; функция u в формуле (0.3.2) удовлетворяет условию u ∈ C0∞ (Γ).Задача Коши для уравнения (0.3.1) рассматривается с начальным условиемu|t=0 = u0 , u0 ∈ L2 (Γ),(0.3.3)где символом L2 (Γ) обозначается гильбертово пространство измеримыхквадратично интегрируемых комплекснозначных функций на графе Γ.Оператор LS задается дифференциальным выражением (0.3.3) каксамосопряженное расширение оператора L0 с областью определения∞(Γ) на пространство функций, удовлетворяющих в точке ветвленияC0,0графа условию Кирхгоффа:u1 (0) = ...