Диссертация (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации)

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВФакультет физико-математических и естественных наукНа правах рукописиМохамед Хаммад Нуман ЭльшейхОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА НАРАЗВЕТВЛЕННЫХ МНОГООБРАЗИЯХ И ИХАППРОКСИМАЦИИСпециальность 01.01.02 — "Дифференциальные уравнения,динамические системы и оптимальное управление"Диссертация на соискание ученой степени кандидатафизико-математических наукНаучный руковадительдоктор физико-математических наукдоцент Сакбаев В.Ж.Москва — 2014ОглавлениеВведение41 Операторы Шредингера на геометрических графах и наразветвленных многообразиях201.1 Постановка задачи и обозначения .

. . . . . . . . . . . . .201.2 Операторы Шредингера на графах с одной вершиной . . .221.3 Операторы Шредингера на графах с несколькими вершинами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291.3.130Постановка задачи и обозначения . . . . . . . .

. .1.4 Операторы Шредингера на графах с бесконечным множеством ребер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321.5 Оператор Шредингера на разветвленных многообразияхпеременной размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351.5.1Постановка задачи и обозначения . . . . . . . . . .351.5.2Пространства граничных значений на границахгладких компонент разветвленного многообразия .2 Теорема Чернова и аппроксимации полугрупп236422.1 Теорема Чернова и эквивалентность операторнозначныхфункций . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .422.2 Пример приложения теоремы Чернова к диффузионнымпроцессам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .442.3 Аппроксимирующие оператор-функции . . . . . . . . . . .482.4 Граф Γ и расширенный граф Γ̂ . . . . . . . . . . . . . . . .502.5 Вероятностный подход к определению аппроксимирующейфункции Чернова для уравнения диффузии на графе . . .3 Формулы Фейнмана для уравнения Шредингера52583.1 Постановка задачи и обозначения . . . . . .

. . . . . . . .583.2 Случай закона Кирхгоффа для квантовой динамики . . .613.3Свойства оператор-функции F . . . . . . . . . . . . . . . .693.4 Оценка сверху роста нормы . . . . . . . . . . . . . . . . . .734 Формулы Фейнмана для уравнения диффузии834.1Постановка задачи и обозначения. .

. . . . . . . . . . . . .834.2Случай закона Кирхгоффа для диффузии . . . . . . . . .854.3 Свойства оператор-функции F . . . . . . . . . . . . . . . .934.497Оценка роста нормы оператор-функции F. . . . . . . . . .Заключение107Литература1093ВведениеПроводимое в диссертации исследование направлено на изучениеоператоров Лапласа и операторов Шредингера на графах с конечнымили счетным числом рёбер и на разветвленных многообразиях переменной размерности.

Получено описание самосопряженных расширенийсимметрического оператора Шредингера, изначально заданного на гладких финитных функциях, носители которых не содержит точки верешиние графа или разветвленного многообразия.В диссертации получены формулы Фейнмана для групп Шредингера, порождаемых задаче Коши для уравнения Шредингера, и полугрупп Шредингера, порождаемых задачей Коши для уравнения диффузии. Эти задачи Коши описывают либо квантовую диамику, либо либодиффузию, на подмножество евклидова пространства, представляюшимсобою граф или разветвленное многообразие.Формулами Фейнмана называют (см.

[29, 4, 13]) представлениемполугруппы Шредингера exp(tL), t ≥ 0, или группы Шредингераexp(−itL), t ∈ R, с помощью пределов конечнократных интегралов подекартовым степеням конфигурационного пространства (при стремлении к бесконечности кратности) классической гамильтоновой системы,при квантовании которой получается оператор Гамильтона L.4Дифференциальные операторы на графах и других разветвленныхмногообразиях имеют применения к описанию ряда процессов в квантовой механике и биологии.

Основы теории дифференциальных уравненийна графах изложены в монографии [14], в которой приведен ряд примеров физических задач, приводящих к исследованию дифференциальных операторов на графах. В работах [22, 15, 21] изучены спектральные свойства таких операторов и исследованы динамические свойстваэволюции, определяемых уравнением Шредингера на графе. В работах[1, 17, 18, 25] исследуется множество самосопряженных расширений оператора Шредингера, заданного изначально на пространстве финитныхгладких функций, не содержащих точек ветвления графа ([17, 18, 25])или точек смены типа оператора (см.

[1]). В статье [18] найдены аппроксимации формулами Фейнмана унитарных полугрупп, задаваемых некоторыми из самосопряженных расширений.В диссертации рассматриваются операторы Шредингера на графахс конечным или счетным числом рёбер. Работа является продолжениемисследований [18], в которых изучался граф с конечным множествомрёбер.Предложена процедура аппроксимации полугрупп, генерируемыхоператорами Шредингера на графе, операторнозначными функциямив смысле эквивалентности по Чернову.

Такое отношение эквивалентности, введенное в работе [31] Смолянова, Вайцзеккера и Виттиха на пространстве сильно непрерывных операторнозначных функций, позволяет приблизить в сильной операторной топологии полугруппу последовательностью итераций, задаваемых одной из эквивалентных полугруппе оператор-функций. Аппроксимация полугрупп итерациями оператор5нозначных функций является бесконечномерным аналогом метода ломанных Эйлера.Известны некоторые универсальные методы задания операторнозначных функций, итерации которых аппроксимируют полугруппы.

Так, например (см. [7, 16]), резольвента генератора сильно непрерывной полугруппы задает аппроксимации Иосиды, а произведения экспоненциальных функций от двух различных генераторов полугрупп при определенных условиях задают аппроксимацию полугруппы формулами Троттера.В диссертации предложен ряд других аппроксимаций полугруппШредингера в пространстве квадратично интегрируемых функций награфе с помощью формул Фейнмана, для нахождения аппроксимирующих операторнозначных функций в которых в диссертации разработаныновые методы, обобщающие методы работы [17, 18] Сакбаева и Смолянова.Актуальность рассматриваемой задачи состоит в том, что в последнее время значительно усилился интерес к описанию динамики частицна графах, дендритах и иных разветвленных многообразиях со стороныматематической физики и квантовой механики (см.

[14, 15, 21, 22, 25]).С математической точки зрения операция дифференцирования функции, однозначно определенная для функций, заданных на области или нагладком многообразии, нуждается в уточнении для функций, заданныхна многообразиях, содержащих точки ветвления. Цель настоящего исследования – определить действие оператора Шредингера на функциях,заданных на многобразии с конечным множеством точек ветвления.

Для∞этой цели мы зададим оператор Шредингера L0 на пространстве C0,0фи-нитных и бесконечно дифференцируемых функций, носители которых не6содержат точек ветвления. Оператором Шредингера L на графе будемназывать самосопряженное расширение оператора L0 . При условии отсутствия электромагнитных потенциалов оператор Шредингера с постоянными коэффициентами будем называть оператором Лапласа. В настоящей работе дано описание множества всех операторов Шредингера награфе в терминах условий на множество предельных в точке ветвлениязначений функций из области определения оператора L и ее производной.

В работе получены результаты по описанию множества операторовЛапласа и Шредингера для графов с одной вершиной (они представляютсобой объединения n полупрямых с общим вершиной), графов с нескольким вершинами и графов с одной вершиной и со счетным множествомлучей, для разветвленных многообразиях переменной размерности. Далее для графа с одной вершиной и конечным множеством ребер предложена формула Фейнмана для аппроксимации полугруппы, разрешающейзадачу Коши для уравнения диффузии с различными операторами Лапласа. Для некоторого класса операторов Шредингера доказана представимость полугрупп, описывающих квантовую динамику или диффузию,посредством формул Фейнмана.В первой главе диссертации изучается множество самосопряженныхрасширений оператора L0 , действующего в гильбертовом пространствеH ≡ L2 (Γ) и заданного на линейном пространстве u ∈ C0∞ (Γ) финитныхбесконечно дифференцируемых функций на графе Γ, носитель которыхне содержит точек ветвления и граничных точек графа, посредствомдифференциального выраженияLu =1∂u∂(B(x)u)∆u + iB(x)+i+ C(x)u.m∂x∂x7(0.1.1)Здесь функции m, B, C – вещественнозначные, ограниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа Γ, функции m и B непрерывнодифференцируемы на ребрах графа, функция m равномерно ограниченаи равномерно отделена от нуля на графе Γ; функция u в формуле (0.1.1)удовлетворяет условию u ∈ C0∞ (Γ).В терминах линейных уравнений, связывающих предельные значенияфункций и их производных вдоль ребер графа в его граничных точкахи точках ветвления, дано описание множества всех самосопряженныхрасширений оператора L0 , заданного дифференциальным выражением∞(Γ).

Описание множества само(0.1.1) на линейном подпространстве C0,0сопряженных расширений дано для графа с одной вершиной и конечнымлибо счетным множеством ребер, для графа с несколькими вершинами иребрами, и для разветвленного многообразия переменной размерности.Эти результаты обобщают результаты работ [17, 18].Граф Γ с одной вершиной мы определяем как объединение n экземпляров полупрямых Γj = [0, +∞), j = 0, ..., n, с общим началом Q,называемым вершиной графа. Предполагается, что на Γ задана борелевская мера, определяемая требованием, чтобы её сужение на каждую полупрямую Γj совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда∞L2 (Γ) = ⊕L2 (Γj ).

Пусть C0,0(Γ) – векторное пространство бесконеч-но дифференцируемых комплекснозначных функций на Γ с компактными носителями, не содержащими точки Q, и L0 = ⊕Lj0 – линейный оператор, определяемый на C0∞ (Γ), соотношением L0 u = ⊕{Lj0 uj },Lj0 uj =1mj ∆j uj∂u+ iBj (x) ∂xj + i∂(Bj (x)uj )∂x+ Cj (x)uj . Здесь {uj , j = 1, ..., n}– сужения функции u на полупрямые Γj . Предполагается, что при всехj числа mj > 0 и функции Bj (x) ∈ C 1 (Γj , R), Cj (x) ∈ C(Γj , R). Пред8плагается также, что вдоль каждого ребра Γj функция Bj имеет в точкеQ конечное предельное значение bj = Bj (0).∞Оператор L0 с областью определения D(L0 ) = C0,0(Γ) ⊂ L2 (Γ),плотно определен и симметричен. Областью определения D(L∗0 ) сопряженного оператора L∗0 является линейное подпространство D(L∗0 ) =⊕nj=1 W22 (Γj ) := W22 (Γ) ⊂ H. Сужения всякой функции u ∈ W22 (Γ) наполупрямые Γj , j = 1, ..., n обладают граничными значениями в вершине, которые обозначим через uj (0), где символ u(0) означает u(0) =Tu1 (0) u2 (0) ...