Автореферат (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации), страница 3

Сакбаев, О.Г. Смолянов, Динамика квантовой частицы с разрывной зависимостью массы от положения // ДАН, 2010, Т. 433:3, С. 314-317.25 В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Диффузия и квантовая динамика на графах // Доклады РАН, Т. 451, № 2,2013, С. 141-145.8для них используем аналогичные обозначения.Теорема Фон Неймана (см.26 ,27 ) предоставляет описание множества самосопряженных расширений симметрического оператора. Нами получено явное описание множества самосопряженных расширений оператора L0 в терминах условий на линейных подпространствх в пространстве граничных значений G = D(L∗0 )/D(L0 ) = {(u(0), u0 (0))} =C2n .Теорема 1.1. Если M и S диагональные матрицы и их матричные элементы заданыпо формуле m1i δij n×n , bi δij n×n i, j = 1, ..., n соответственно, и C = (cij ), где cij ∈L∞ (Γ), то оператор L с областью определения D(L) = {u ∈ W22 (Γ) : u0 (0) = Au(0)}самосопряжен тогда и только тогда, когда матрицы A, M и S удовлетворяют равенствуA = M −1 A∗ M − 2i M −1 S.Теорема 1.1 дает описание широкого класса самосопряженных расширений оператора L0 , но не дает описания всей совокупности самосопряженных расширений.

Этоделает следующая теорема.Теорема 1.2. Оператор L самосопряжен тогда и только тогда, когда его областьопределения D(L) состоит из функций пространства W22 (Γ), граничные значения которых удовлетворяют равенству A1 u0 (0) + A0 u(0) = 0, где ранг матрицы (A1 |A0 ) равен nи матрица A0 A∗1 удовлетворяет равенству A0 M −1 A∗1 = A1 M −1 (A∗0 + 2i SM −1 A∗1 ).Далее в главе 1 результаты теорем 1.1 и 1.2 обобщаются на случай графа со счетныммножеством ребер и одной вершиной; графа с конечным множеством вершин; разветвленного многообразия, представляющего собой объединение конечного числа областейконечномерных евклидовых пространств различной размерности и обладающих кусочногладкой границей.Вторая глава диссертации посвящена аппроксимации сильно непрерывных полугрупп итерациями операторнозначных функций.

В работах О.Г. Смолянова и его соавторов (см.28 ,29 ,30 ) показано, что эффективным методом построения таких аппроксимаций является утверждение теоремы Чернова (см.31 ).Теорема (Чернова). Пусть X – банахово пространство, B(X) – банахово пространство линейных ограниченных операторов в X и пусть функция F : [0, +∞) → B(X)удовлетворяет условию F(0) = I, непрерывна в сильной операторной топологии, удовлетворяет оценке kF(t)kB(X) ≤ eαt , t ≥ 0, при некотором α ≥ 0.

Тогда если операторF0 (0) замыкаем и его замыкание является генератором сильно непрерывной полугруппы26 Г.Г.Амосов, В.Ж. Сакбаев, О самосопряженных расширениях оператора Шредингера с вырождением надвух полупрямых и определяемых ими марковских коциклах // Матем. заметки. 2004.

Т. 76, вып. 3. С. 335-343.27 M. Gadella, S. Kuru, J. Negro, Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions //Phys. Letters, 2007, V. 362, № 4, P. 265-268.28 Я.А. Бутко, Формулы Фейнмана-Каца-Ито для бесконечномерного уравнения Шредингера со сколярными векторным потенциалами // Нелинейная динамика. 2006, Т. 2, № 1, С. 75- 87.29 O.G. Smolyanov, A.G. Tokarev, A.

Trumen, Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula //J. of Math. Phys., 2002, 43, № 10, P. 5161-5171.30 Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Формулы Фейнмана как метод усреднения случайных гамильтонианов. Труды МИАН. 2014. Т. 285. С. 232-243.31 P.R. Chernoff, Note on product formulas for operator semigroups // J. Funct. Anal, 1968, 84, P. 238- 242.9операторов U(t), t > 0, то для любого u ∈ X и любого T > 0 выполняется равенствоntlim sup kU(t)u − FukX = 0.n→∞ t∈[0,T ]nnПредставление полугруппы U(t), t ≥ 0, в виде предела итераций F( nt ) при n → ∞и является формулой Фейнмана. Тогда говорят, что оператор-функция F(t) эквивалентна по Чернову полугруппе U(t) (см.32 ,33 ). Дальнейшей целью диссертации являетсяопределение итерационных аппроксимаций для полугрупп, порождаемых операторамиЛапласа и Шредингера на графе при описании квантовой динамики или диффузии.Во второй главе диссертации приведены примеры применения операции усредненияоператорнозначных функций к построению фейнмановских аппроксимаций заданныхполугрупп.

На основании вероятностного подхода найдено семейство аппроксимирующих полугруппы Шредингера оператор-функций, параметризованное вероятностямиперехода с каждого из ребер графа на другие ребра.Далее изложенная схема построения аппроксимирующей функции Чернова применяется к изучению диффузии (эволюции конценрации как функции из пространстваL1 (Γ) или Lp (Γ)) и квантовой динамики (эволюции волновой функции из пространстваL2 (Γ)) на графе Γ.bj прямую являПо графу Γ определим расширенный граф Γ̂. Обозначим через Γb – совокупность прямыхющуюся продолжением полупрямой Γj до прямой, а через Γbj , j = 1, ..., n}, которую будем называть расширенным графом.{ΓДля задания точки на графе Γ используем координаты (ξ, j) ∈ R+ × {1, ..., n}. Еслиx ∈ Γj , то пара x = (ξ, j) ∈ R+ × {1, ..., n} указывает, какому лучу принадлежит точкаx и координаты этой точки на луче.

Аналогично для задания точки на расширенномˆ j) ∈ R × {1, ..., n}.графе Γ̂ будут использованы координаты (ξ,Используем следующий схему (см.34 ,35 ), основанную на применении теоремы Чернова и формулы Фейнмана. Пусть u = u(ξ, j) = uj (ξ), (ξ, j) ∈ R+ × {1, ..., n} – заданнаяна графе числовая функция.1) Определим преобразование F1 при каждом t > 0, сопоставляющее функцииˆ j) = yj (ξ)ˆ по следующему правилу:u : Γ → C функцию y = F1 u : Γ̂ → C, где y(x̂) = y(ξ,uj ξˆ , ξˆ ∈ R+ ,yj ξˆ = 1 Pnˆξˆ ∈ R− .i=1,i6=j ui − ξ ,n−132 Я.А.Бутко, Формулы Фейнмана-Каца-Ито для бесконечномерного уравнения Шредингера со сколярными векторным потенциалами // Нелинейная динамика. 2006, Т.

2, № 1, С. 75- 87.33 Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Формулы Фейнмана как метод усреднения случайных гамильтонианов. Труды МИАН. 2014. Т. 285. С. 232-243.34 В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Динамика квантовой частицы с разрывной зависимостью массы от положения // ДАН, 2010, Т. 433:3, С. 314-317.35 В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Диффузия и квантовая динамика на графах // Доклады РАН, Т. 451, № 2,2013, С. 141-145.102) Продолжим коэффиценты дифференциального выражения на графе Γ̂m ≡ 1, x̂ ∈ Γ̂,а функции Bj (x), Cj (x) на каждой прямой Γ̂j продолжим как гладкие функции с носителями на промежутке [−1, +∞).Для изучения явления диффузии на графе Γ в отсутствии потенциалов (b = 0 иc = 0) определим операторнозначную функцию F2 ∈ C([0, +∞), B(L1 (Γ̂)), задаваемуюравенствомZ+∞−(x̂−ξ̂)21ˆ j)dξ.ˆF2 (t)y(x̂, j) = √e 4t y(ξ,2 πt−∞Оператор-функция F2 задает диффузию с постоянным коэффициентом на каждой изпрямых Γ̂j графа Γ̂, причем преобразования функций на каждой из ветвей Γ̂j расширенного графа Γ̂ происходят независимо от значений функции на других ветвях Γ̂k , k 6= j.Опреатор F3 определим как оператор сужения функции с расширенного графа Γ̂ награф Γ.Далее в главе 4 будет показано, что оператор-функция F(t) = F3 F2 (t)F1 , t ≥ 0,аппроксимирует в смысле Чернова полугруппу et∆ , t ≥ 0, порождаемую оператороомЛапласа на графе Γ.В главе 3 для аппроксимации унитарной группы, порождаемой оператором Лапласа в пространстве L2 (Γ), будет исследована аппроксимирующая функция Чернова G,где G(t) = F3 G2 (t)F1 , t ≥ 0, а оператор-функция G2 ∈ C([0, +∞), B(L2 (Γ̂)) заданаравенством√ Z+∞−i(x̂−ξ̂)2iˆ j)dy.e 4t y(ξ,G2 (t)y(x̂, j) = √2 πt−∞Кроме того, в главах 3 и 4 найдены аппроксимации по Чернову групп e−itL , t ∈ R, иполугрупп eAt , t ≥ 0, зависящих от потенциалов B и C.Прежде мы проанализируем вероятностные аспекты такой аппроксимации.

Высказывается гипотеза, что каждому набору вероятностей перехода с ребра на ребро графа соответствует полугруппа, порождаемая некоторым самосопряженным расширением оператора L0 , и наоборот, каждое самосопряженное расширение оператора L0 задаетполугруппу, эквивалентную по Чернову оператор-функции, соответствующей некоторому набору вероятностей перехода с ребра на ребро. В главах 3 и 4 исследован случайравновероятных переходов с ребра на ребро и доказано, что соответствующая такому закону оператор-функция эквивалентна по Чернову полугруппе, в область определения генератора которой входят те и только те функции, которые удовлетворяют вточке ветвления графа условию непрерывности и условию равенства нулю суммарногопотока (что эквивалентно условию самосопряженности). Эти условия будем называтьусловиями Кирхгоффа.Вероятностный подход к определению аппроксимирующей функции Чернова для11уравнения диффузии на графе.Предлагаемая аппроксимирующая функция Чернова имеет следующую вероятностную интерпретацию в терминах случайного блуждания по графу.Случайному блужданию, описывающему диффузию на прямой, соответствуетмарковский процесс с переходной функций, обладающей плотностью p(t, s, x, y) =2−(x−y)√ 1exp 4(t−s) относительно меры Лебега.