Автореферат (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации), страница 2

Дать описание множества самосопряженных расширений эллиптических дифференциальных операторов второго порядка на графах и разветвленных многообразияхпеременной размерности, заданных изначально дифференциальным выражением второго порядка на пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций, носители которых не содержат точек ветвления графа и граничных точек графа.2. Исследовать посредством формул Фейнмана аппроксимации полугрупп, порождаемых задачей Коши для уравнения Шредингера и для уравнения теплопроводности награфе.3.

Дать вероятностную интерпретацию полученным аппроксимациям полугрупп.Основные положения, выносимые на защиту1. Описание множества операторов Шредингера (самосопряженных расширений опе19 Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских, К.П. Лазарев, С.А. Шабров, Дифференциальные уравнения на геометрических графах.

– М.: Физматлит. 2004.20 О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный, О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточномкомплексе // Матем. заметки. 1996. Т. 59, вып. 6. С. 777-780.21 А.А. Толченников, В.Л. Чернышев, А.И. Шафаревич, Асимптотические свойстваи классические динамические системы в квантовых задачах на сингулярных пространствах // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, вып.3. С. 623-638.22 В.Л.

Чернышев, А.И. Шафаревич, Квазиклассический спектр оператора Шредингера на геометрическомграфе // Матем. заметки, 2007, Т. 82, вып. 4. С. 606-620.23 M. Gadella, S. Kuru, J. Negro, Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions //Phys. Letters, 2007, V.

362, № 4, P. 265-268.5ратора, изначально заданного на пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций, носители которых не содержат точек ветвления) на графах с однойвершиной, с несколькими вершинами, с конечным множеством ребер, со счетным множеством ребер и на разветвленном многообразии переменной размерности.2. Построение формул Фейнмана с помощью вероятностей перехода для полугруппы,порождаемой уравнением диффузии на графе с оператором Лапласа.3.

Теоремы о сходимости аппроксимаций Фейнмана–Чернова к унитарной полугруппе, порождаемой в гильбертовом пространстве H = L2 (Γ) операторами Шредингера награфах, области определения которых задаются условиями типа Кирхгоффа – условием непрерывности в точке ветвления и условием равенства нулю суммарного потока вточке ветвления.4.

Теоремы о сходимости аппроксимаций Фейнмана–Чернова к диссипативной полугруппе, порождаемой в банаховом пространстве Lp (Γ), p ∈ [1, +∞), операторами Шредингера на графах, области определения которых задаются условиями типа Кирхгоффа– условием непрерывности в точке ветвления и условием равенства нулю суммарногопотока в точке ветвления.Научная новизна1.

В работе описано множество всех самосопряженных расширений эллиптического дифференциального оператора второго порядка на графе, изначально заданного напространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций на графе, носителикоторых не содержат точек ветвления. Рассмотрены случаи графов различной геометрической структуры и разветвленных многообразий переменной размерности.2. Выявлена связь операторнозначных аппроксимаций полугрупп, порождаемых оператором Шредингера на графе, с вероятностями перехода из точки графа в его измеримое подмножество на заданном промежутке времени.3. Для унитарной группы преобразований пространства L2 (Γ), порождаемой оператором Шредингера LS на графе, действующим на функции из области определения,которые удовлетворяют условиям Кирхгоффа в точках ветвления, найдена аппроксимирующая эту группу операторнозначная функция и установлена ее эквивалентностьпо Чернову группе e−itLS , t ∈ R.4.

Найдена операторнозначная функция, аппроксимирующая сжимающую полугруппу etAτ , t ≥ 0, преобразований банаховых пространств Lp (Γ), 1 ≤ p < ∞, порождаемуюоператором Шредингера Aτ на графе, действующим на функции из области определения, которые удовлетворяют условиям Кирхгоффа в точках ветвления. Доказанаэквивалентность по Чернову полугруппы и предлагаемой аппроксимации.Основные методы исследованияПри получении результатов диссертации были использованы методы теории полугрупп и ряд специальных конструкций.Теоретическая и практическая ценностьРезультаты работы имеют теоретическое значение. Методы и результаты работы,кроме самостоятельного интереса с точки зрения теории дифференциальных операто6ров на разветвленных многообразиях, могут иметь применения в теории полугрупп, вквантовой механике и физике полупроводников.Апробация диссертационной работыРезультаты диссертации докладывались на следуюших семинарах и конференциях:• На семинар «математической физики» под руководством чл.-корр.

РАН И.В. Воловича и д.ф.-м.н. С.В. Козырева (МИАН им. В.А. Стеклова; 5 ноября 2014 г.);• На семинар «математической физики» под руководством чл.-корр. РАН И.В. Воловича и д.ф.-м.н. С.В. Козырева (МИАН им. В.А. Стеклова; 15 октября 2014 г.);• На семинаре «прикладной математики» под руководством профессора А.Л. Скубаческого (РУДН, 7 октября 2014 г.);• На семинаре бесконечномерному анализу под руководством профессора О.Г. Смолянова и доцента Н.Н. Шамарова (МГУ, 6 октября 2014 г.);• На семинаре кафедры математического анализа под руководством А.П.

Солдатова,(БелГУ; 18 сентября 2014 г., г. Белгород);• На семинаре дифференциальных уравнений и математической физики под руководством профессора А.Л. Скубаческого (РУДН, 27 мая 2014 г.);• На семинаре дифференциальных уравнений и математической физики под руководством профессора А.Л. Скубаческого (РУДН, 24 сентября 2013 г.);• Труды Всероссийской научно-практической конференции "Дифференциальных уравнения, Теория фунций, Нелинейный Анализ и оптимазация".

Москва 2013 (РУДН);• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". г.Белгород 2013;• Труды 56-й научной конференции МФТИ. Всероссийской молодежной научноинновационной конференции "Физико-математические науки: актуальные проблемы иих решения". Москва-Долгопрудный 2013;• The Seventh International Conference on Differential and Functional DifferentialEquations.

Moscow 2014 (PFUR).ПубликацииРезультаты диссертации опубликованы в 8 работах, из них 4 статьи в научных журналах и 4 тезисов докладов на научных и международных конференциях.Структура диссертацииДиссертация "Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппоксимации" состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 31наименований.Содержание работыВо введении дается обзор работ по теме диссертации и кратко излагаются основныерезультаты диссертации.В первой главе диссертации изучается множество самосопряженных расширенийоператора L0 , действующего в гильбертовом пространстве H ≡ L2 (Γ) и заданного налинейном пространстве u ∈ C0∞ (Γ) финитных бесконечно дифференцируемых функцийна графе Γ, носители которых не содержат точек ветвления и граничных точек графа,7посредством дифференциального выраженияLu =∂u∂(B(x)u)1∆u + iB(x)+i+ C(x)u.m∂x∂x(1.1)Здесь функции m, B, C – вещественнозначные, ограниченые и непрерывные всюдуза исключением вершин графа Γ.

Функции m и B непрерывно дифференцируемы наребрах графа, функция m равномерно ограничена и равномерно отделена от нуля награфе Γ, функция u в формуле (1.1) удовлетворяет условию u ∈ C0∞ (Γ).В терминах линейных уравнений, связывающих предельные значения функций иих производных вдоль ребер графа, в его граничных точках и точках ветвления, дано описание множества всех самосопряженных расширений оператора L0 , заданного∞дифференциальным выражением (1.1) на линейном подпространстве C0,0(Γ). Описаниемножества самосопряженных расширений дано для графа с одной вершиной и конечным либо счетным множеством ребер графа; для графа с несколькими вершинами иребрами; для разветвленного многообразия переменной размерности. Эти результатыобобщают результаты работ24 ,25 .Граф Γ с одной вершиной мы определяем как совокупность n экземпляров полупрямых Γj = [0, +∞), j = 0, ..., n, с общим началом Q, называемым вершиной графа.Предположим, что на Γ задана борелевская мера, определяемая требованием, чтобыеё сужение на каждую полупрямую Γj совпадало со стандартной мерой Лебега, тогдаL2 (Γ) = ⊕nj=1 L2 (Γj ).∞Пусть C0,0(Γ) – векторное пространство бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на Γ с компактными носителями, не содержащими точки Q, иL0 = ⊕nj=1 Lj0 – линейный оператор, определяемый на C0∞ (Γ) соотношениемL0 u = ⊕nj=1 {Lj0 uj }, гдеLj0 uj =∂uj1∂(Bj (x)uj )∆j uj + iBj (x)+i+ Cj (x)uj .mj∂x∂xЗдесь {uj , j = 1, ..., n} – сужения функции u на полупрямые Γj .

Предположим, что привсех j числа mj > 0 и функции Bj (x) ∈ C 1 (Γj , R), Cj (x) ∈ C(Γj , R). Предплагаетсятакже, что вдоль каждого ребра Γj функция Bj имеет в точке Q конечное предельноезначение bj = Bj (0).∞Оператор L0 с областью определения D(L0 ) = C0,0(Γ) ⊂ L2 (Γ) плотно опреде∗лен и симметричен. Областью определения D(L0 ) сопряженного оператора L∗0 является линейное подпространство D(L∗0 ) = ⊕nj=1 W22 (Γj ) := W22 (Γ) ⊂ H.

Сужения всякой функции u ∈ W22 (Γ) на полупрямые Γj , j = 1, ..., n обладают граничными значениями в вершине, которые обозначим через uj (0), где символ u(0) означает u(0) =Tu1 (0) u2 (0) ... un (0) ∈ Cn . Это также верно для первых производных этих сужений,24 В.Ж.