Автореферат (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации)

На правах рукописиМохамед Хаммад Нуман ЭльшейхОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА НАРАЗВЕТВЛЕННЫХ МНОГООБРАЗИЯХ И ИХАППРОКСИМАЦИИ01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы иоптимальное управлениеАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква — 2014 год.Работа выполнена на кафедре прикладной математики факультета физикоматематических и естественных наук ФГАОУ ВО "Российский университет дружбынародов".Научный руководитель:Доктор физико-математических наук, доцент,доцент кафедры высшей математикиФГАОУ ВПО "Московский физико-техническийинститут (государственный университет)"Сакбаев Всеволод ЖановичОфициальные оппоненты:Шавгулидзе Евгений Тенгизовичдоктор физико-математических наук, профессор,профессор кафедры математического анализамеханико-математического факультетаФГБОУ ВПО "Московский государственныйуниверситет им.

М.В. Ломоносова"г. МоскваТолстыга Диана Сергеевнакандидат физико-математических наук,ООО «Волга-Днепр-Москва»(управляющая компания группы «Волга-Днепр»),г. МоскваВедущая организация:Федеральное государственноебюджетное учреждение наукиИнститут прикладной математики им. М.В. КелдышаРоссийской Академии Наук, г. МоскваЗащита состоится “28” января 2015 года в 16 ч.

00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ. 212.157.15 при ФГБОУ ВПО "НИУ "МЭИ" по адресу: 111250, г.Москва, ул. Красноказарменная, д. 13, корп. М, ауд. М-710.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО "НИУ "МЭИ".Автореферат разослан “Ученый секретарьдиссертационного советак.ф.-м. н.” декабря 2014 г.Перескоков А.В.Общая характеристика работыАктуальность темыПроводимое в диссертации исследование направлено на изучение операторов Лапласа и операторов Шредингера на графах с конечным или счетным числом рёбер и наразветвленных многообразиях переменной размерности. Получено описание самосопряженных расширений симметрического оператора Шредингера, изначально заданного нагладких финитных функциях, носители которых не содержат точек ветвления графаили разветвленного многообразия.В диссертации получены формулы Фейнмана для групп Шредингера, порождаемыхзадачей Коши для уравнения Шредингера, и полугрупп Шредингера, порождаемыхзадачей Коши для уравнения диффузии.

Эти задачи Коши описывают либо квантовуюдинамику, либо диффузию на подмножество евклидова пространства, представляющеесобою граф или разветвленное многообразие.Формулами Фейнмана называют (см.1 ,2 ,3 ) представление полугруппы Шредингераexp(tL), t ≥ 0, или группы Шредингера exp(−itL), t ∈ R, с помощью пределов конечнократных интегралов по декартовым степеням конфигурационного пространства(при стремлении к бесконечности кратности) классической гамильтоновой системы, приквантовании которой получается оператор Гамильтона L.Дифференциальные операторы на графах и других разветвленных многообразияхимеют применения к описанию ряда процессов в квантовой механике и биологии.

Основы теории дифференциальных уравнений на графах изложены в монографии4 , в которой приведен ряд примеров физических задач, приводящих к исследованию дифференциальных операторов на графах. В работах5 ,6 ,7 изучены спектральные свойства такихоператоров и исследованы динамические свойства эволюции, определяемые уравнением Шредингера на графе.

В работах8 ,9 ,10 ,11 исследуется множество самосопряженных1 O.G. Smolyanov, A.G. Tokarev, A. Trumen, Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula //J. of Math. Phys., 2002, 43, № 10, P. 5161-5171.2 Я.А. Бутко, Формулы Фейнмана-Каца-Ито для бесконечномерного уравнения Шредингера со сколярными векторным потенциалами // Нелинейная динамика. 2006, Т. 2, № 1, С. 75- 87.3 Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Формулы Фейнмана как метод усреднения случайных гамильтонианов. Труды МИАН. 2014.

Т. 285. С. 232-243.4 Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских, К.П. Лазарев, С.А. Шабров, Дифференциальные уравнения на геометрических графах. – М.: Физматлит. 2004.5 В.Л. Чернышев, А.И. Шафаревич, Квазиклассический спектр оператора Шредингера на геометрическомграфе // Матем.

заметки, 2007, Т. 82, вып. 4. С. 606-620.6 О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный, О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточномкомплексе // Матем. заметки. 1996. Т. 59, вып. 6. С. 777-780.7 А.А. Толченников, В.Л. Чернышев, А.И. Шафаревич, Асимптотические свойстваи классические динамические системы в квантовых задачах на сингулярных пространствах // Нелинейная динамика.

2010. Т. 6, вып.3. С. 623-638.8 Г.Г. Амосов, В.Ж. Сакбаев, О самосопряженных расширениях оператора Шредингера с вырождением надвух полупрямых и определяемых ими марковских коциклах // Матем. заметки. 2004. Т. 76, вып. 3. С. 335-343.9 В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Динамика квантовой частицы с разрывной зависимостью массы от положения // ДАН, 2010, Т. 433:3, С. 314 - 317.10 В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Диффузия и квантовая динамика на графах // Доклады РАН, Т. 451, № 2,2013, С. 141-145.11 M. Gadella, S. Kuru, J.

Negro, Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions //Phys. Letters, 2007, V. 362, № 4, P. 265 - 268.3расширений оператора Шредингера, заданного изначально на пространстве финитныхгладких функций, не содержащих точек ветвления графа12 ,13 ,14 или точек смены типаоператора (см.15 ). В статье13 найдены аппроксимации формулами Фейнмана унитарныхполугрупп, задаваемых некоторыми из самосопряженных расширений.В диссертации рассматриваются операторы Шредингера на графах с конечным илисчетным числом рёбер.

Работа является продолжением исследований13 , в которых изучался граф с конечным множеством рёбер.Предложена процедура аппроксимации полугрупп, генерируемых операторами Шредингера на графе операторнозначными функциями в смысле эквивалентности по Чернову. Такое отношение эквивалентности, введенное в работе16 Смолянова, Вайцзеккераи Виттиха на пространстве сильно непрерывных операторнозначных функций, позволяет приблизить в сильной операторной топологии полугруппу последовательностьюитераций, задаваемых одной из эквивалентных полугруппе оператор-функций.

Аппроксимация полугрупп итерациями операторнозначных функций является бесконечномерным аналогом метода ломанных Эйлера.Известны некоторые универсальные методы задания операторнозначных функций,итерации которых аппроксимируют полугруппы. Так, например (см.17 ,18 ), резольвентагенератора сильно непрерывной полугруппы задает аппроксимации Иосиды, а произведения экспоненциальных функций от двух различных генераторов полугрупп приопределенных условиях задают аппроксимацию полугруппы формулами Троттера.В диссертации предложен ряд других аппроксимаций полугрупп Шредингера в пространстве квадратично интегрируемых функций на графе с помощью формул Фейнмана для нахождения аппроксимирующих операторнозначных функций, для которыхразработаны новые методы, обобщающие методы, ранее предложенные в работе12 ,13Сакбаева и Смолянова.Актуальность рассматриваемой задачи состоит в том, что в последнее время значительно усилился интерес к описанию динамики частиц на графах, дендритах и иныхразветвленных многообразиях со стороны математической физики и квантовой меха12 В.Ж.

Сакбаев, О.Г. Смолянов, Динамика квантовой частицы с разрывной зависимостью массы от положения // ДАН, 2010, Т. 433:3, С. 314 - 317.13 В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смолянов, Диффузия и квантовая динамика на графах // Доклады РАН, Т. 451, № 2,2013, С. 141-145.14 M. Gadella, S. Kuru, J. Negro, Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions //Phys. Letters, 2007, V.

362, № 4, P. 265 - 268.15 Г.Г. Амосов, В.Ж. Сакбаев, О самосопряженных расширениях оператора Шредингера с вырождением надвух полупрямых и определяемых ими марковских коциклах // Матем. заметки. 2004. Т. 76, вып. 3. С. 335-343.16 O.G. Smolyanov, H.

Weizsacker, O. Wittih, Chernoff’s theorem and discrete time approximations of Brownianmotion on manifolds. Potential Anal. 2007. 26. P. 1-29.17 Т. Като, Теория возмущений линейных операторов –М.:МИР, 1972.18 М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики «Функциональный анализ», T.

1, –издательство «Мир» Москва 1977.4ники (см.19 ,20 ,21 ,22 ,23 ). С математической точки зрения операция дифференцированияфункции, однозначно определенная для функций, заданных на области или на гладком многообразии, нуждается в уточнении для функций, заданных на многообразиях,содержащих точки ветвления.

Целью настоящего исследования является определениедействия оператора Шредингера на функциях, заданных на многобразии с конечныммножеством точек ветвления. Для этой цели мы зададим оператор Шредингера L0 на∞пространстве C0,0(Γ) финитных и бесконечно дифференцируемых функций, носителикоторых не содержат точек ветвления. Оператором Шредингера L на графе будем называть самосопряженное расширение оператора L0 . При условии отсутствия электромагнитных потенциалов оператор Шредингера с постоянными коэффициентами будемназывать оператором Лапласа.

В настоящей работе дано описание множества всех операторов Шредингера на графе в терминах условий на множестве предельных функцийв точке ветвления. В работе получены результаты по описанию множества операторов Лапласа и Шредингера для графов с одной вершиной (они представляют собойсовокупность n экземпляров полупрямых с общей вершиной), графов с несколькимивершинами, графов с одной вершиной и счетным множеством лучей и разветвленныхмногообразий переменной размерности. Далее для графа с одной вершиной и конечным множеством ребер предложена формула Фейнмана для аппроксимации полугруппы, разрешающая задачу Коши для уравнения диффузии с различными операторами Лапласа. Для некоторого класса операторов Шредингера доказана представимостьполугрупп, описывающих квантовую динамику или диффузию, посредством формулФейнмана.Цели исследования1.