Диссертация (Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений), страница 6

Îöåíêè (2.4.14) è (2.4.15)ñëåäóþò èç íåðàâåíñòâ (2.4.6) è (2.4.7) â ñèëó íåðàâåíñòâ (2.1.12) è (2.1.15).2.5Êëàññè÷åñêèé ìåòîä Ãàëåðêèíà, åãî ìîäèôèêàöèè èîöåíêè èõ ïîãðåøíîñòèÏóñòü P h = πbh è B = L2 (J). Òîãäà ìåòîä Ãàëåðêèíà (1.3.2) èìååò âèäϕh = $0 πbh Λϕh + πbh f(2.5.1)è ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì Ãàëåðêèíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîäïðîñòðàíñòâà êóñî÷íî ëèíåéíûõ ôóíêöèé. Ðàâåíñòâî (2.5.1) îçíà÷àåò òðåáîâàíèå îðòîãîíàëüíîñòè â L2 (J) íåâÿçêè rh = $0 Λϕh + f − ϕh ïðîñòðàíñòâó Sbh (J).Óñòàíîâèì îöåíêè ïîãðåøíîñòè äëÿ ìåòîäà Ãàëåðêèíà (2.5.1) è åãîìîäèôèêàöèé èòåðèðîâàííîãî ìåòîäà Ãàëåðêèíàϕh = $0 Λbπ h ϕh + f,ìåòîäà Êàíòîðîâè÷àϕeh = $0 πb h Λϕeh + f,è èòåðèðîâàííîãî ìåòîäà Êàíòîðîâè÷àϕbh = $0 y h + f,y h = $0 πbh Λy h + Λf.53Íàïîìíèì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ïîãðåøíîñòåé ðàññìàòðèâàåìûõ ìåòîäîâ:εh = ϕh − ϕ,εh = ϕh − ϕ,εeh = ϕeh − ϕ,εbh = ϕbh − ϕ.Òåîðåìà 2.5.1.

1. Ïóñòü f ∈ Lp (J), 1 ≤ p < 2. Òîãäàk εeh kL2 (J) ≤ 23−1/p γ1 kϕkLp (J) h3/2−1/pE(hmax /2)(1+o(1)) ïðè hmax → 0,max(2.5.2)k εbh kL2 (J) ≤ 29/2−1/p γ2 kϕkLp (J) h5/2−1/pE 2 (hmax /2)(1+o(1)) ïðè hmax → 0.max(2.5.3)2. Ïóñòü f ∈ L2 (J). Òîãäàk εh kL2 (J) → 0 ïðè hmax → 0,(2.5.4)k εh kL2 (J) ≤ 25/2 γ1 kϕkL2 (J) hmax E(hmax /2)(1+o(1)) ïðè hmax → 0,(2.5.5)k εeh kL2 (J) ≤ 27/2 γ1 kϕkL2 (J) hmax E(hmax /2)(1+o(1)) ïðè hmax → 0,(2.5.6)k εbh kL2 (J) ≤ 24 γ2 kϕkL2 (J) h2max E 2 (hmax /2)(1+o(1)) ïðè hmax → 0.(2.5.7)Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó ëåììû (1.3.1) ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îöåíêè:k εh kL2 (J) ≤ γ0 k(I − πbh )ϕkL2 (J) ,(2.5.8)k εh kL2 (J) ≤ γ1 kΛ(I − πbh )ϕkL2 (J) ,(2.5.9)k εeh kL2 (J) ≤ γ1 k(I − πbh )ΛϕkL2 (J) ,(2.5.10)k εbh kL2 (J) ≤ γ2 kΛ(I − πbh )ΛϕkL2 (J) .(2.5.11)Îöåíêè (2.5.2), (2.5.3) ñëåäóþò èç îöåíîê (2.5.10), (2.5.11) è íåðàâåíñòâ(2.2.4), (2.2.6).Ñâîéñòâî (2.5.4) èìååò ìåñòî, ò.ê.

πbh ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì îðòîãîíàëüíîãîïðîåêòèðîâàíèÿ â L2 (J), â ñèëó ÷åãî k(I − πbh )ϕkL2 (J) ≤ k(I − σ h )ϕkL2 (J) → 0ïðè hmax → 0.54Îöåíêè (2.5.5) - (2.5.7) ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâ (2.5.9) (2.5.11) è îöåíîê(2.2.5) (2.2.6).Òåîðåìà 2.5.2. Ïóñòü f ∈ Wp1 (J), 1 ≤ p ≤ 2. Òîãäàk εh kL2 (J) ≤ γ0 21/p−3/2 kDϕkLp (J) h3/2−1/p,maxE(hmax /2)(1 + o(1)) ïðè hmax → 0,k εh kL2 (J) ≤ γ1 21+1/p kDϕkLp (J) h5/2−1/pmax1k εeh kL2 (J) ≤ γ1 kDΛϕkL2 (J) hmax ,2k εbh kL2 (J) ≤ 23/2 γ2 kDΛϕkL2 (J) h2max E(hmax /2)(1 + o(1)) ïðè hmax → 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ îöåíêàìè(2.5.8) (2.5.11) è (2.2.7) (2.2.10).2.6Ìåòîä êîëëîêàöèè, åãî ìîäèôèêàöèè è îöåíêè èõïîãðåøíîñòåé ìåòîäå Ãàëåðêèíà (1.3.2) ñ P h = `h ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ϕh ∈ Sbh (J)îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿϕh = $0 `h Λϕh + `h f,(2.6.1)ýêâèâàëåíòíîãî ñèñòåìåϕh (τi ) = $0 Λϕh (τi ) + f (τi ),0 ≤ i ≤ n.Òàêèì îáðàçîì, ìåòîä (2.6.1) - ýòî êëàññè÷åñêèé ìåòîä êîëëîêàöèè.Çàìå÷àíèå 2.6.1.

Ìåòîä (2.6.1) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìåòîäÃàëåðêèíà ñ îðòîãîíàëüíûì ïðîåêòèðîâàíèåì â W21 (J) íà Sbh (J), òàê êàêââåäåíèå â W21 (J) ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (2.3.3) äåëàåò `h îïåðàòîðîìîðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ.55Íàðÿäó ñ ìåòîäîì êîëëîêàöèè ìû ðàññìîòðèì òðè åãî ìîäèôèêàöèè èòåðèðîâàííûé ìåòîä êîëëîêàöèè(2.6.2)ϕh = $0 Λ`h ϕh + f,ìåòîä êîëëîêàöèè Êàíòîðîâè÷àϕeh = $0 `h Λϕeh + fè èòåðèðîâàííûé ìåòîä êîëëîêàöèè Êàíòîðîâè÷àϕbh = $0 y h + f,y h = $0 `h Λy h + Λf.Íèæå ϕ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.2.2) è èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèåîáîçíà÷åíèÿ äëÿ ïîãðåøíîñòåé ðàññìàòðèâàåìûõ ìåòîäîâ:εh = ϕh − ϕ,εh = ϕh − ϕ,εeh = ϕeh − ϕ,εbh = ϕbh − ϕ.Òåîðåìà 2.6.1.

1. Ïóñòü f ∈ Lp (J), 1 < p ≤ ∞. Òîãäà0(2.6.3)0(2.6.4)k εeh kC(J) ≤ 21/p γ1 kϕkLp (J) h1−1/pmax E(hmax /2)(1 + o(1)) ïðè hmax → 0,k εbh kC(J) ≤ 21/p γ2 kϕkLp (J) h1−1/pmax E(hmax /2)(1+o(1)) ïðè hmax → 0.2. Ïóñòü f ∈ C(J). Òîãäàk εh kC(J) → 0, k εh kC(J) → 0 ïðè hmax → 0,(2.6.5)k εeh kC(J) ≤ 2γ1 kϕkC(J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1)) ïðè hmax → 0,(2.6.6)k εbh kC(J) ≤ 2γ2 kϕkC(J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1)) ïðè hmax → 0.(2.6.7)56Äîêàçàòåëüñòâî.Âîñïîëüçóåìñÿñëåäóþùèìèíåðàâåíñòâàìè,êîòîðûåñëåäóþò èç ëåììû 1.3.1 ïðè B = C(J), P h = `h :k εh kC(J) ≤ γ0 k(I − `h )ϕkC(J) ,(2.6.8)k εh kC(J) ≤ γ1 kΛ(I − `h )ϕkC(J) , ,(2.6.9)k εeh kC(J) ≤ γ1 k(I − `h )ΛϕkC(J) ,(2.6.10)k εbh kC(J) ≤ γ2 kΛ(I − `h )ΛϕkC(J) .(2.6.11)Ñâîéñòâî (2.6.5)íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç îöåíîê (2.6.8), (2.6.9) òàê êàêk(I − `h )ϕkC(J) → 0 â ñèëó ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè ðåøåíèÿ ϕ.Èç îöåíîê (2.6.10), (2.6.11) ñëåäóåò, ÷òîk εeh kC(J) ≤ γ1 k(I − `h )ΛkLp (J)→C(J) kϕkLp (J) ,k εbh kC(J) ≤ γ2 kΛkC(J)→C(J) k(I − `h )ΛkLp (J)→C(J) kϕkLp (J) .Ïîëüçóÿñü îöåíêîé (2.3.6), âûâîäèì íåðàâåíñòâà (2.6.3) è (2.6.4), èç êîòîðûõïðè p = ∞ ñëåäóþò îöåíêè (2.6.6) è (2.6.7).Òåîðåìà äîêàçàíà.Ââåäåì â Sbh (J) íîðìó kf kC h (J) = max |f (τi )|.1≤i≤nÒåîðåìà 2.6.2.

1. Ïóñòü f ∈ W11 (J). Òîãäàk εh kC h (J) ≤ γ1 kDϕkL1 (J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1)) ïðè hmax → 0,(2.6.12)k εh kC(J) ≤ γ1 kDϕkL1 (J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1)) ïðè hmax → 0,k εeh kC h (J) ≤ 4γ2 kDϕkL1 (J) + kϕkC(J) h2max E 2 (hmax /2)(1 + o(1))(2.6.13)ïðèhmax → 0. (2.6.14)k εbh kC(J) ≤ 4γ2 kDϕkL1 (J) + kϕkC(J) h2max E 2 (hmax /2)(1 + o(1))ïðèhmax → 0. (2.6.15)572. Ïóñòü f ∈ Wp1 (J), 1 < p < ∞. Òîãäàk εh kC h (J) ≤1γ1 Mp0 kDϕkLp (J) hmax ,41/p011−1/pk εh kC(J) ≤ 1/p0 γ0 kDϕkLp (J) hmax ,41kεh kC(J) ≤ 1/p0 γ1 Mp0 kDϕkLp (J) hmax .4(2.6.16)(2.6.17)(2.6.18)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíÿÿ ê óðàâíåíèþ (1.2.2) îïåðàòîð `h , èìååì`h ϕ = $0 `h Λϕ + `h f.Âû÷èòàÿ ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî èç (2.6.1), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâóϕh − `h ϕ = $0 `h Λ(ϕh − `h ϕ) − $0 `h Λ(I − `h )ϕ.Îòñþäàkϕh − `h ϕkC(J) ≤ $0 kϕh − `h ϕkC(J) + $0 kΛ(I − `h )ϕkC(J) .Ó÷èòûâàÿ, ÷òî kϕh − `h ϕkC(J) = k εh kC h (J) èìååìk εh kC h (J) ≤ γ1 kΛ(I − `h )ϕkC(J) .(2.6.19)Îöåíèâàÿ ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî íåðàâåíñòâà è íåðàâåíñòâà (2.6.9) ñ ïîìîùüþíåðàâåíñòâ (2.3.7) è (2.3.8), âûâîäèì îöåíêè (2.6.12), (2.6.13), (2.6.16) è(2.6.18).Ïîâòîðÿÿ âûâîä îöåíêè (2.6.19) ñ çàìåíîé ϕh , ϕ è f íà y h , y = Λϕ è Λf ,ïðèõîäèì ê îöåíêåky h − ykC h (J) ≤ γ1 kΛ(I − `h )ΛϕkC(J) .(2.6.20)Ïîñêîëüêó εeh = $0 (y h − y), òî íåðàâåíñòâà (2.6.14) è (2.6.15) èñëåäóþò èçîöåíîê (2.6.20), (2.6.11) è (2.3.9).Èç îöåíîê (2.6.8) è (2.3.4) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (2.6.17).58Ïðèâåäåì òåîðåìó îá îöåíêàõ ïðîèçâîäíûõ ïîãðåøíîñòåé ðàññìàòðèâàåìûõìåòîäîâ.Íàïîìíèì, ÷òî èç f ∈ Wp1 (J), 1 ≤ p < ∞ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ ϕñïðàâåäëèâî ñâîéñòâî ϕ ∈ Wp1 (J), ïðè÷åì Λϕ ∈ Wq1 (J) äëÿ âñåõ q ∈ [1, ∞).Òåîðåìà 2.6.3.

1. Ïóñòü f ∈ W11 (J), 1 < q < ∞. Òîãäàkδ h εeh kLq (J) ≤ cq kDΛϕkLq (J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1)) ïðè hmax → 0,(2.6.21)kDbεh kLq (J) ≤ cq kDΛϕkLq (J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1)) ïðè hmax → 0,(2.6.22)ãäå c1 = γ2 (γ1 + 2) è cq = γ2 ïðè 1 < q < ∞.2. Ïóñòü f ∈ Wp1 (J), 1 ≤ p ≤ q < ∞, 1/s = 1 − 1/p + 1/q . Òîãäà1/skδ h εh kLq (J) ≤ cp,q kDϕkLp (J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1)) ïðè hmax → 0, (2.6.23)1/skDεh kLq (J) ≤ cp,q kDϕkLp (J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1)) ïðè hmax → 0,(2.6.24)ãäå cp,q = γ1 (γ1 + 2) ïðè p = q = 1 è cp,q = γ1 21/s ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõp è q.Äîêàçàòåëüñòâî. Íàïîìíèì (ñì.

1.2.6 ), ÷òî ïðîèçâîäíàÿ Dϕ ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ (1.2.2) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâóDϕ = $0 ΛDϕ + $0 Eϕ(0) − $0 E ∗ ϕ(τ∗ ) + Df.(2.6.25)Ïðèìåíÿÿ ê íåìó îïåðàòîð π h è ó÷èòûâàÿ, ÷òî π h D = δ h , ïðèõîäèì êðàâåíñòâóδ h ϕ = $0 π h ΛDϕ + $0 π h Eϕ(0) − $0 π h E ∗ ϕ(τ∗ ) + δ h f.(2.6.26)Äèôôåðåíöèðóÿ (2.6.1), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû D`h = δ h = π h D è ôîðìóëó(1.2.4), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâóδ h ϕh = $0 π h DΛϕh + δ h f = $0 π h ΛDϕh + $0 π h Eϕh (0) − $0 π h E ∗ ϕh (τ∗ ) + δ h f.59Âû÷èòàÿ èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà ðàâåíñòâî (2.6.26), èìååìδ h εh = $0 π h Λδ h εh + $0 π h Eεh (0) − $0 π h E ∗ εh (τ∗ ) − $0 π h Λ(I − π h )Dϕ.Îòñþäàkδ h εh kLq (J) ≤ $0 kδ h εh kLq (J) + 2$0 kEkLq (R+ ) kεh kC h (J) + $0 kΛ(I − π h )DϕkLq (J) .Ñëåäîâàòåëüíîkδ h εh kLq (J) ≤ γ1 21−1/q Mq kεh kC h (J) + γ1 kΛ(I − π h )kLp (J)→Lq (J) kDϕkLp (J) .(2.6.27)Äèôôåðåíöèðóÿ (2.6.2) è ó÷èòûâàÿ,÷òî `h ϕh = ϕh , ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâóDϕh = $0 Λπ h Dϕh + $0 Eϕh (0) − $0 E ∗ ϕh (τ∗ ) + Df.Âû÷èòàÿ èç ýòîãî ðàâåíñòâà ðàâåíñòâî (2.6.25), èìååìDεh = $0 Λπ h Dεh + $0 Eεh (0) − $0 E ∗ εh (τ∗ ) − $0 Λ(I − π h )Dϕ.ÎòñþäàkDεh kLq (J) ≤≤ $0 kDεh kLp (J) +2$0 kEkLq (R+ ) kεh kC(J) +$0 kΛ(I −π h )kLp (J)→Lq (J) kDϕkLp (J) .ÑëåäîâàòåëüíîkDεh kLq (J) ≤ γ1 21−1/q Mq kεh kC(J) +γ1 kΛ(I −π h )kLp (J)→Lq (J) kDϕkLp (J) .

(2.6.28)Ïîëüçóÿñü îöåíêîé (1.4.23)kΛ(I − π h )kLp (J)→Lq (J) ≤ 22/s−1/q h1/smax E(hmax /2)(1+o(1)) ïðè hmax → 0,è îöåíêàìè (2.6.12), (2.6.16), ïðèõîäèì îò (2.6.27) è (2.6.28) ê îöåíêàì (2.6.23)è (2.6.24).60Çàìåòèì, ÷òî εeh = $0 (y h − y), εbh = $0 (y h − y), ãäå y = Λϕ ÿâëÿåòñÿðåøåíèåì óðàâíåíèÿy = $0 Λy + Λf,à y h è y h ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ, íàéäåííûå ìåòîäîìêîëëîêàöèè è èòåðèðîâàííûì ìåòîäîì êîëëîêàöèè. Ïðèìåíÿÿ ê y h −y â ðîëèεh è ê y h − y â ðîëè εh îöåíêè (2.6.23) è (2.6.24) ñ p = q , ïðèõîäèì ê îöåíêàì(2.6.21) è (2.6.22).61ÃËÀÂÀ 3. Ìåòîäû ÷èñëåííîéðåàëèçàöèè ïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ äëÿðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿïåðåíîñà èçëó÷åíèÿÂýòîéãëàâåìûðàññìîòðèìâîïðîñî÷èñëåííîéðåàëèçàöèèðàññìîòðåííûõ â ïðåäûäóùåé ãëàâå ìåòîäîâ ïðèìåíèòåëüíî ê óðàâíåíèþïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ, òî åñòü ê óðàâíåíèþϕ = $0 Λϕ + fñ îïåðàòîðîìZτ∗Λϕ(τ ) =E(|τ − τ 0 |)ϕ(τ 0 ) dτ 0 ,12ãäå E = E1 .0Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ ðåàëèçàöèè èòåðèðîâàííîãî ìåòîäà Ãàëåðêèíà,ìåòîäà Êàíòîðîâè÷à è èòåðèðîâàííîãî ìåòîäà Êàíòîðîâè÷à äîñòàòî÷íîèìåòü àëãîðèòì ðåàëèçàöèè ìåòîäà Ãàëåðêèíà.

Ïîýòîìó ìû ñîñðåäîòî÷èìâíèìàíèå íà ðåàëèçàöèè ìåòîäà Ãàëåðêèíà. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü ñåòêóτ∗.nÐàçäåëû 3.1 - 3.3 íîñÿò âñïîìîãàòåëüíûé õàðàêòåð. Àëãîðèòìû ðåàëèçàöèèJ h = {0 = τ0 < τ1 < · · · < τn = τ∗ } ðàâíîìåðíîé ñ øàãîì h =ìåòîäîâ Ãàëåðêèíà ñ îïåðàòîðàìè πbh , σ h , `h îïèñàíû â ðàçäåëàõ 3.4 3.6.623.1Òåïëèöåâû è öèðêóëÿíòíûå ìàòðèöûÄëÿ âåêòîðîâ x = (x1 , x2 , . . . , xn )T , y = (y1 , y2 , . .

. , yn )T ∈ Rn áóäåìèñïîëüçîâàòü ñòàíäàðòíûå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìó(x, y) = (x, y)Rn =nXx i yi ,kxk = kxkRn =nXi=1x2i1/2.i=1Ïóñòü An - êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n ñ ýëåìåíòàìè aij . ×åðåç λi (An ),1 ≤ i ≤ n áóäåì îáîçíà÷àòü åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. ×åðåç λmin (An )è λmax (An ) áóäåì îáîçíà÷àòü ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ ñàìîñîïðÿæåííîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû An .Áóäåì èñïîëüçîâàòü ìàòðè÷íûå íîðìûpkAn k2 = max λi (An A∗n ),1≤i≤npÏîëîæèì òàêæå kxkAn = (An x, x).ÎñíîâíûåîïðåäåëåíèÿèkAn kF =nX2|aij |1/2.i,j=1íåêîòîðûåõîðîøîèçâåñòíûåñâîéñòâàòåïëèöåâûõ è öèðêóëÿíòíûõ ìàòðèö äàíû â êíèãàõ [73], [74], [75].Îïðåäåëåíèå 3.1.1.