Диссертация (Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений), страница 2

 ýòîé ðàáîòå îöåíêè ïîãðåøíîñòè âûâåäåíû ïðèñëåäóþùèõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ î ñâîéñòâàõ ÿäðà E :E ∈ Wr1 (δ, +∞) äëÿ âñåõ δ > 0 è âñåõ r ∈ [1, ∞),(0.0.5)DE(τ ) = o(τ −1 E(τ )) ïðè τ → 0+ .(0.0.6) äàííîé äèññåðòàöèè ìû îòêàçûâàåìñÿ îò ýòèõ ïðåäïîëîæåíèé, çàìåíÿÿèõ ñóùåñòâåííî ìåíåå îãðàíè÷èòåëüíûì ïðåäïîëîæåíèåìδ∫ E r (τ ) dτ ∼ δE r (δ) ïðè δ → 0+ äëÿ âñåõ r ≥ 1.(0.0.7)0Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, 4 ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêàëèòåðàòóðû.Ãëàâà 1 íîñèò âñïîìîãàòåëüíûé õàðàêòåð.  ðàçäåëå 1.1 äàåòñÿèíôîðìàöèÿîâàæíîì÷àñòíîìñëó÷àåðàññìàòðèâàåìîãîêëàññàèíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé èíòåãðàëüíîì óðàâíåíèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ(0.0.2).  ðàçäåëå 1.2 ïðèâîäèòñÿ íóæíàÿ äëÿ äàëüíåéøåãî èíôîðìàöèÿî ñâîéñòâàõ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (0.0.3) è åãî ðåøåíèé.

 ðàçäåëå1.3ïðèâîäèòñÿñòðóêòóðà÷åòûðåõðàññìàòðèâàåìûõïðîåêöèîííûõìåòîäîâ - ìåòîäà Ãàëåðêèíà, èòåðèðîâàííîãî ìåòîäà Ãàëåðêèíà, ìåòîäàÊàíòîðîâè÷à è èòåðèðîâàííîãî ìåòîäà Êàíòîðîâè÷à. Ëåììà 1.3.1 ñîäåðæèòâñïîìîãàòåëüíûé ðåçóëüòàò îá îöåíêàõ ïîãðåøíîñòè ðàññìàòðèâàåìûõìåòîäîâ, íà êîòîðîì áàçèðóåòñÿ ïðîâîäèìûé â ãëàâå 2 èõ ïîäðîáíûéàíàëèç.  ðàçäåëå 1.4 íàïîìèíàþòñÿ ïðîåêöèîííûå ìåòîäû îñíîâàííûåíà èñïîëüçîâàíèè îïåðàòîðà π h ïðîåêòèðîâàíèÿ íà ïðîñòðàíñòâî êóñî÷íî10ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé, ïîäðîáíûé àíàëèç îöåíîê ïîãðåøíîñòåé êîòîðûõ áûëðàíåå äàí â [59].

Âûâåäåííûå â ýòîì ðàçäåëå ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ I − π h ,(I −π h )Λ, Λ(I −π h ), Λ(I −π h )Λ èñïîëüçóþòñÿ äàëåå â ðàçäåëå 2.6. Ïîëó÷åííûåçäåñü ðåçóëüòàòû óêàçûâàþò íà òî, ÷òî îöåíêè ïîãðåøíîñòåé èç [59] ìîãóòáûòü ïîëó÷åíû ïðè çàìåíå ïðåäïîëîæåíèé (0.0.5), (0.0.6) ïðåäïîëîæåíèåì(0.0.7). ãëàâå 2 èçó÷àþòñÿ ñâîéñòâà ÷åòûðåõ ïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿèíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîñòðàíñòâà êóñî÷íî ëèíåéíûõôóíêöèé.

 êà÷åñòâå îïåðàòîðà P h èñïîëüçóþòñÿ óñðåäíÿþùèé îïåðàòîð σ h ,îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ πbh è îïåðàòîð êóñî÷íî ëèíåéíîãîèíòåðïîëèðîâàíèÿ `h .  ðàçäåëå 2.1 ââîäèòñÿ îïåðàòîð σ h è èçó÷àþòñÿñâîéñòâà îïåðàòîðîâ I − σ h , (I − σ h )Λ, Λ(I − σ h ), Λ(I − σ h )Λ.  ðàçäåëå2.2 ââîäèòñÿ îïåðàòîð πbh è èçó÷àþòñÿ ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ I − πbh , (I − πbh )Λ,Λ(I−bπ h ), Λ(I−bπ h )Λ.

 ðàçäåëå 2.3 ââîäèòñÿ îïåðàòîð `h è èçó÷àþòñÿ ñâîéñòâàîïåðàòîðîâ I − σ h , (I − `h )Λ, Λ(I − `h ), Λ(I − `h )Λ. Ðàçäåë 2.4 ïîñâÿùåíâûâîäó îöåíîê ïîãðåøíîñòåé ìåòîäîâ ñ P h = σ h .  ðàçäåëå 2.5 âûâîäÿòñÿîöåíêè ïîãðåøíîñòåé ìåòîäîâ ñ P h = πbh (êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà Ãàëåðêèíà èåãî ìîäèôèêàöèé).  ðàçäåëå 2.6 âûâîäÿòñÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòåé ìåòîäîâ ñP h = `h (ìåòîäà êîëëîêàöèè è åãî ìîäèôèêàöèé). ãëàâå 3 ðàññìàòðèâàþòñÿ ìåòîäû ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ïðåäëîæåííûõèòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ ïðèìåíèòåëüíî ê ðåøåíèþ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ íà ñåòêå ñ ïîñòîÿííûì øàãîì. Àêöåíò äåëàåòñÿ íàðåàëèçàöèè ìåòîäà Ãàëåðêèíà, òàê êàê íàëè÷èÿ àëãîðèòìà åãî ðåàëèçàöèèäîñòàòî÷íî äëÿ ðåàëèçàöèè îñòàëüíûõ ìåòîäîâ.

Ðàçäåëû 3.1 3.3íîñÿò âñïîìîãàòåëüíûé õàðàêòåð. Â ðàçäåëå 3.1 ñîäåðæèòñÿ êðàòêàÿ11èíôîðìàöèÿ î òåïëèöåâûõ è öèðêóëÿíòíûõ ìàòðèöàõ. Â ðàçäåëå 3.2äàåòñÿ îïèñàíèå öèðêóëÿíòíî ïðåäîáóñëîâëåííîãî ìåòîäà ñîïðÿæåííûõãðàäèåíòîâ è íàïîìèíàþòñÿ íåêîòîðûå åãî ñâîéñòâà. Â ðàçäåëå 3.3äàåòñÿ êðàòêîå èçëîæåíèå àëãîðèòìà ðåàëèçàöèè ìåòîäà Ãàëåðêèíà ñèñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðà π h , ïðåäëîæåííîãî ðàíåå â [67].

 ðàçäåëå3.4 îïèñûâàåòñÿ àëãîðèòì ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè êëàññè÷åñêîãî ìåòîäàÃàëåðêèíà ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðà πbh . Äëÿ ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåéñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòüðàçîêàéìëåíèå ñâåäåíèå çàäà÷è ê ñèñòåìå óðàâíåíèé ñ òåïëèöåâîé ìàòðèöåéñ äàëüíåéøèì èñïîëüçîâàíèåì öèðêóëÿíòíî ïðåäîáóñëîâëåííîãî ìåòîäàñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (CPCG). Êðîìå òîãî, äîêàçûâàåòñÿ ðåçóëüòàò îêëàñòåðèçàöèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ïðåäîáóñëîâëåííîé ìàòðèöû, êîòîðûéäàåò òåîðåòè÷åñêóþ îñíîâó ïîíèìàíèÿ ñâåðõëèíåéíîé ñõîäèìîñòè ìåòîäàCPCG.

 ðàçäåëå 3.5 îïèñûâàåòñÿ êàê ýòîò æå ïîäõîä ìîæíî èñïîëüçîâàòüäëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà Ãàëåðêèíà ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðà σ h .  ðàçäåëå3.6 ïîêàçûâàåòñÿ, êàê ïðîáëåìà ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ìåòîäà êîëëîêàöèè(ìåòîäà Ãàëåðêèíà ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðà `h ) ñâîäèòñÿ ê ïðèìåíåíèþïîñòðîåííîãî â [67] âàðèàíòà ìåòîäà CPCG.Ãëàâà 4 ïîñâÿùåíà ïðîâåäåíèþ âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ.  ðàçäåëå4.1 îïèñûâàþòñÿ ÷åòûðå èñïîëüçóåìûå òåñòîâûå çàäà÷è.

 ðàçäåëå 4.2ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïðèìåíåíèÿ ìåòîäàCPCG äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà Ãàëåðêèíà. Ïðèâîäÿòñÿ òàáëèöû, êîòîðûåäåìîíñòðèðóþò ÿâíîå ïðåèìóùåñòâî ìåòîäà CPCG ïî ñðàâíåíèþ ñìåòîäîì ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ ïî ÷èñëó íåîáõîäèìûõ äëÿ äîñòèæåíèÿòðåáóåìîé òî÷íîñòè ÷èñëà èòåðàöèé.  ðàçäåëå 4.3 ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû12ýêñïåðèìåíòîâ ïî ðåøåíèþ òåñòîâûõ çàäà÷ ñ ïðèìåíåíèåì ðàññìàòðèâàåìûõâ äèññåðòàöèè ïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ à òàêæå ìåòîäîâ, èñïîëüçóþùèõîïåðàòîð π h . ðàáîòå ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, âûíîñèìûå íàçàùèòó:Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñëàáî ñèíãóëÿðíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿÔðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà ïðåäëîæåíû âàðèàíòû ìåòîäîâ ïðîåêöèîííîãîòèïà, èñïîëüçóþùèå ïðîñòðàíñòâî êóñî÷íî ëèíåéíûõ ôóíêöèé.Âûâåäåíûîöåíêèïîãðåøíîñòèïðåäëîæåííûõìåòîäîââíîðìàõïðîñòðàíñòâ Lq (J) è C(J) äëÿ çàäà÷ ñ ïðàâûìè ÷àñòÿìè f èç Lp (J),C(J) è Wp1 (J). Áîëüøàÿ ÷àñòü îöåíîê îòðàæàåò ñâîéñòâî ñóïåðñõîäèìîñòèïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ.

Îöåíêè ïîëó÷åíû äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåðàâíîìåðíîéñåòêè è äëÿ óðàâíåíèé ñ íåäèôôåðåíöèðóåìûìè ÿäðàìè.Ïðåäëîæåíû ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ðàññìàòðèâàåìûõïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ, â îñíîâå êîòîðûõ ëåæèò ñïåöèàëüíîå ðàçîêàéìëåíèåìàòðèöûèèñïîëüçîâàíèåöèðêóëÿíòíîïðåäîáóñëîâëåííîãîìåòîäàñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (CPCG). Äîêàçàí ðåçóëüòàò î êëàñòåðèçàöèèñîáñòâåííûõçíà÷åíèéïðåäîáóñëîâëåííîéìàòðèöû,êîòîðûéäàåòòåîðåòè÷åñêóþ îñíîâó ïîíèìàíèÿ ñâåðõëèíåéíîé ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ìåòîäàCPCG.Ïðîâåäåíû âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû, ïîêàçûâàþùèå çíà÷èòåëüíîáîëåå áûñòðóþ ñõîäèìîñòü ìåòîäà CPCG ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåòîäîìñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ.

Êðîìå òîãî, ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû âû÷èñëèòåëüíûõýêñïåðèìåíòîâïîïðèìåíåíèþèçó÷àåìûõïðîåêöèîííûõìåòîäîâäëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ, êîòîðûå13äåìîíñòðèðóþò îñîáåííîñòè ïîâåäåíèÿ ïîãðåøíîñòåé ìåòîäîâ äëÿ ðàçëè÷íûõòèïîâ äàííûõ.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà ñëåäóþùèõìåæäóíàðîäíûõ êîíôåðåíöèÿõ è íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèõ ñåìèíàðàõ:XXìåæäóíàðîäíàÿíàó÷íî-òåõíè÷åñêàÿêîíôåðåíöèÿñòóäåíòîâèàñïèðàíòîâ "Ðàäèîýëåêòðîíèêà, ýëåêòðîòåõíèêà è ýíåðãåòèêà Ìîñêâà, 2014ã.;XXII ìåæäóíàðîäíàÿ íàó÷íî-òåõíè÷åñêàÿ êîíôåðåíöèÿ "Èíôîðìàöèîííûåñðåäñòâà è òåõíîëîãèè Ìîñêâà, 2014 ã.;XXIìåæäóíàðîäíàÿíàó÷íî-òåõíè÷åñêàÿêîíôåðåíöèÿñòóäåíòîâèàñïèðàíòîâ "Ðàäèîýëåêòðîíèêà, ýëåêòðîòåõíèêà è ýíåðãåòèêà Ìîñêâà, 2015ã.;íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèéñåìèíàðÌÝÈïîäèôôåðåíöèàëüíûìóðàâíåíèÿì è ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ ïîä ðóêîâîäñòâîì ïðîô.Äóáèíñêîãî Þ.À.

è ïðîô. Àìîñîâà À.À. (2014 ã. è 2015 ã.)Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â ðàáîòàõ[68] [72].Àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ ÀíäðåþÀâåíèðîâè÷ó Àìîñîâó çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è è ïîñòîÿííîå âíèìàíèå ê ðàáîòå,çà ìíîãî÷èñëåííûå îáñóæäåíèÿ è öåííûå ðåêîìåíäàöèè.14ÃËÀÂÀ 1. Ñëàáî ñèíãóëÿðíûåèíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ, íåêîòîðûå èõñâîéñòâà è ìåòîäû ðåøåíèÿ1.1Èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿÈíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ$0ϕ(τ ) =2Zτ∗E1 (|τ − τ 0 |)ϕ(τ 0 )dτ 0 + f (τ ),τ ∈ J = (0, τ∗ ).(1.1.1)0îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòîâîãî èçëó÷åíèÿ â àòìîñôåðàõ çâåçä è ïëàíåòè èãðàåò âàæíóþ ðîëü â àñòðîôèçèêå [41][45].

Âûâîä óðàâíåíèÿ ìîæíî íàéòèâ [44], [45].Èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëàáîñèíãóëÿðíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà. ßäðîèíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà (îïåðàòîðà Õîïôà)1Λϕ(τ ) =2Zτ∗E1 (|τ − τ 0 |)ϕ(τ 0 )dτ 00çàäàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèåé ïîðÿäêà 1:Z1E1 (τ ) =0e−τ /µdµ =µZ∞e−τ sds,sτ > 0.1Èñêîìîé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ èñòî÷íèêà ϕ, õàðàêòåðèçóþùàÿ èíòåíñèâíîñòüðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ; f (τ ) çàäàííàÿ ïëîòíîñòü èñòî÷íèêîâ èçëó÷åíèÿ.15Àðãóìåíò τ èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë îïòè÷åñêîé ãëóáèíû, τ∗ ïîëíàÿîïòè÷åñêàÿ ãëóáèíà àòìîñôåðû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ èçëó÷åíèå.Îáû÷íî â àñòðîôèçè÷åñêèõ çàäà÷àõ τ∗ >> 1, ïðè÷åì íåðåäêî τ∗ ≈ 106 108 .Ïîñòîÿííàÿ $0 íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëåì àëüáåäî; îíà õàðàêòåðèçóåòäîëþ ðàññåèâàåìîé ýíåðãèè èçëó÷åíèÿ ïî îòíîøåíèþ ê îáùåìó êîëè÷åñòâóðàññåèâàåìîé è ïîãëîùàåìîé îáúåìîì ýíåðãèè.  àñòðîôèçè÷åñêèõ çàäà÷àõ0 < $0 < 1, ïðè÷åì ÷àñòî $0 ≈ 1.Íàïîìíèì, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ïîðÿäêà k ≥ 0çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé Ek (τ ) =Z∞e−τ sds.

Ñâîéñòâà ôóíêöèé Ek ìîæíî íàéòè,sk1íàïðèìåð, â [63]. Îòìåòèì, ÷òîEk0 (τ ) = −Ek−1 (τ ) äëÿ k > 1;Ek (0) =1k−1äëÿk > 2;êðîìå òîãî,1e−τïðè τ → ∞ äëÿ k > 1 è E1 (τ ) ∼ ln ïðè τ → 0.Ek (τ ) ∼τ +k−1τÈíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿàñòðîôèçèêàìèêàêòåñòäëÿïðîâåðêèêà÷åñòâàìåòîäîâðåøåíèÿàñòðîôèçè÷åñêèõ çàäà÷ è äî ñèõ ïîð íå ïîòåðÿëî àêòóàëüíîñòè [46].

Íåñìîòðÿíà êàæóùóþñÿ ïðîñòîòó, ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè ýòîãî óðàâíåíèÿ âîçíèêàþòñóùåñòâåííûå òðóäíîñòè [47], îñîáåííî â ñëó÷àå τ∗ >> 1 è ω0 ≈ 1.  ïîñëåäíååäåñÿòèëåòèå ðàçëè÷íûì ÷èñëåííûì è àñèìïòîòè÷åñêèì ìåòîäàì ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ (Trans-eq) áûëî ïîñâÿùåíî çíà÷èòåëüíîå ÷èñëî ðàáîò [48] [62].161.2Íåêîòîðûå ñâîéñòâà èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿÍàñòîÿùàÿäèññåðòàöèÿïîñâÿùåíàèçó÷åíèþíåêîòîðûõìåòîäîâïðîåêöèîííîãî òèïà, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ ðåøåíèÿ ñëàáî ñèíãóëÿðíîãîèíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäàZτ∗ϕ(τ ) = $0E(|τ − τ 0 |)ϕ(τ 0 ) dτ 0 + f (τ ),τ ∈ J = (0, τ∗ ).(1.2.1)0Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ÿäðî Eÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé óáûâàþùåéôóíêöèåé, çàäàííîé íà R+ = (0, +∞), ïðè÷åì E(0+ ) = +∞ (ïîýòîìóóðàâíåíèå ñèíãóëÿðíî) è E∈Lr (R+ ) äëÿ âñåõ r∈[1, +∞) (ýòîïðåäïîëîæåíèå îçíà÷àåò ñëàáóþ ñèíãóëÿðíîñòü); êðîìå òîãî, kEkL1 (R+ ) ≤ 1/2.Ïàðàìåòð $0 ∈ (0, 1) ôèêñèðîâàí.Âàæíûìïðèìåðîìðàññìàòðèâàåìîãîóðàâíåíèÿÿâëÿåòñÿøèðîêîèñïîëüçóåìîå â àñòðîôèçèêå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ1.1.1.Ââåäåì íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ è íàïîìíèì ðÿä èçâåñòíûõ ñâîéñòâðàññìàòðèâàåìîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [59]).Äëÿ p ∈ [1, ∞] ÷åðåç p0 áóäåì îáîçíà÷àòü ñîïðÿæåííûé ïî Ãåëüäåðóïîêàçàòåëü òàêîé, ÷òî 1/p + 1/p0 = 1.Áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:(f, g) =Rτ∗f (τ )g(τ ) dτ,0γ0 =1,1 − $0γ1 =$0,1 − $0d,dτ$02γ2 =,1 − $0D=Mr = kE(| · |)kLr (R) = 21/r kEkLr (R+ ) ,1 ≤ r < ∞.Ââåäåì èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð Λ ôîðìóëîéZτ∗(Λϕ)(τ ) =0E(|τ − τ 0 |)ϕ(τ 0 ) dτ 0 ,τ ∈J17è ïåðåïèøåì ðàññìàòðèâàåìîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå â îïåðàòîðíîì âèäå:(1.2.2)ϕ = $0 Λϕ + f.Èçâåñòíî, ÷òî Λ : Lp (J) → Lq (J) äëÿ âñåõ 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ òàêèõ, ÷òî1/s = 1 − 1/p + 1/q > 0, ïðè÷åìkΛkLp (J)→Lq (J) ≤ Ms .Êðîìå òîãî, Λ : Lp (J) → C(J) äëÿ âñåõ 1 < p ≤ ∞, ïðè÷åìkΛkLp (J)→Lq (J) ≤ Mp0 .Èç ïðåäïîëîæåíèÿ kEkL1 (R+ ) ≤ 1/2 ñëåäóåò, ÷òîkΛkLp (J)→Lp (J) ≤ M1 = 1,1 ≤ p ≤ ∞.Ïîýòîìó â ñèëó ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé äëÿ âñåõ f ∈ Lp (J),p ∈ [1, ∞] óðàâíåíèå (1.2.2) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ϕ ∈ Lp (J),óäîâëåòâîðÿþùåå îöåíêåkϕkLp (J) ≤ γ0 kf kLp (J) .Åñëè æå f ∈ C(J), òî ϕ ∈ C(J) è ñïðàâåäëèâà îöåíêàkϕkC(J) ≤ γ0 kf kC(J) .(1.2.3)Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî Λ : Wp1 (J) → Wq1 (J) äëÿ âñåõ 1 ≤ p ≤ q < ∞, ïðè÷åìDΛϕ(τ ) = ΛDϕ(τ ) + E(τ )ϕ(0) − E ∗ (τ )ϕ(τ∗ ),(1.2.4)ãäå E ∗ (τ ) = E(τ∗ − τ ).

Êàê ñëåäñòâèå,kDΛϕkLq (J) ≤ Ms kDϕkLp (J) + 21−q Mq kϕkC(J) .(1.2.5)18Åñëè f ∈ Wp1 (J), 1 ≤ p < ∞, òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.2.2) ïðèíàäëåæèòïðîñòðàíñòâó Wp1 (J), ïðè÷åì ïðîèçâîäíàÿ Dϕ óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâóDϕ = $0 ΛDϕ + $0 Eϕ(0) − $0 E ∗ ϕ(τ∗ ) + Df,(1.2.6)èç êîòîðîãî c ó÷åòîì íåðàâåíñòâà (1.2.3) ñëåäóåò îöåíêàkDϕkLp (J) ≤ γ0 (kDf kLp (J) + 21−1/p Mp γ1 kf kC(J) ).(1.2.7)Çàìå÷àíèå 1.2.1. Èç ðàâåíñòâà (1.2.6) ñëåäóåò, ÷òî |Dϕ(τ )| → ∞ ïðèτ → 0 è ïðè τ → τ∗ . Íàëè÷èå ýòîé îñîáåííîñòè ðåøåíèÿ â òî÷êàõ τ = 0 èτ = τ∗ ñîñòàâëÿåò îäíó èç ïðîáëåì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.2.2).Çàìåòèì, ÷òî y = Λϕ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ(1.2.8)y = $0 Λy + Λf,îòëè÷àþùåãîñÿ îò óðàâíåíèÿ (1.2.2) çàìåíîé ïðàâîé ÷àñòè f íà Λf .Åñëè f ∈ Wp1 (J), òî Λf ∈ Wq1 (J) äëÿ âñåõ q ∈ [p, ∞).

Ïðèìåíåíèå ê y = Λϕâ ðîëè ϕ îöåíêè (1.2.7) ñ çàìåíîé p íà q è ó÷åòîì íåðàâåíñòâà (1.2.5) äàåòîöåíêókDΛϕkLq (J) ≤ γ0 (Ms kDf kLq (J) + 21−1/q Mq γ0 kf kC(J) ).Îáðàòèì òàêæå âíèìàíèå íà òî, ÷òî îïåðàòîð Λ ñàìîñîïðÿæåííûé â òîìñìûñëå, ÷òî:(Λϕ, ψ) = (ϕ, Λψ) ∀ ϕ ∈ Lp (J), ∀ ψ ∈ Lp0 (J), 1 ≤ p ≤ ∞.Èçâåñòíî òàêæå (ñì., íàïðèìåð, [67]), ÷òî âåðíà äâóñòîðîííÿÿ îöåíêà0 < (Λϕ, ϕ) ≤ µ∗ kϕk2L2 (J) ∀ϕ ∈ L2 (J),ãäå µ∗ = 1 − E2 (τ∗ /2).kϕkL2 (J) > 0,(1.2.9)191.3Ñòðóêòóðà ðàññìàòðèâàåìûõ ìåòîäîâ ïðîåêöèîííîãîòèïàÏóñòü B = Lp (J), 1 ≤ p ≤ ∞ èëè B = C(J), à P h ëèíåéíûé îïåðàòîð,äåéñòâóþùèé èç B â êîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî S h ⊂ B è òàêîé, ÷òîkP h kB→B ≤ 1. Íàïîìíèì, ÷òî kΛkLp (J)→Lp (J) ≤ 1 è kΛkC(J)→C(J) ≤ 1.Ðàññìîòðèì ÷åòûðå ïðîåêöèîííûõ ìåòîäà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ(1.3.1)ϕ = $0 Λϕ + f.Ïåðâûé ìåòîä ìåòîä ãàëåðêèíñêîãî òèïà, â êîòîðîì ïðèáëèæåííîåðåøåíèå ϕh ∈ S h îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿϕh = $0 P h Λϕh + P h f.(1.3.2) ñëó÷àå, êîãäà P h îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ, (1.3.2) îçíà÷àåò ðàâåíñòâîíóëþ ïðîåêöèè P h rh íåâÿçêè rh = ϕh − $0 Λϕh − f íà ïîäïðîñòðàíñòâî S h .Õîòÿ îïåðàòîð P h íå îáÿçàí áûòü îïåðàòîðîì ïðîåêòèðîâàíèÿ, äàëåå ìåòîä(1.3.2) ìû áóäåì íàçûâàòü ìåòîäîì Ãàëåðêèíà.Ïîñêîëüêók$0 P h ΛkB→B ≤ $0 kP h kB→B kΛkB→B ≤ $0 < 1,òî îïåðàòîð (I − $0 P h Λ) : B → B íåïðåðûâíî îáðàòèì, ïðè÷åìk(I − $0 P h Λ)−1 kB→B ≤ γ0 =1,1 − $0(1.3.3)à óðàâíåíèå (1.3.2) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ϕh ∈ S h ïðè ëþáîì f ∈ B .Âòîðîé ìåòîä ýòî èòåðèðîâàííûé ìåòîä Ãàëåðêèíà (ìåòîä Ñëîàíà), âêîòîðîì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåϕh = $0 Λϕh + f,20â êîòîðîé ϕh ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.3.2).Ïîñêîëüêó ϕh = $0 P h Λϕh + P h f = P h ϕh , òî èòåðèðîâàííûé ìåòîäÃàëåðêèíà ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäåϕh = $0 ΛP h ϕh + f.(1.3.4)Òàê êàêk$0 ΛP h kB→B ≤ $0 kΛkB→B kP h kB→B ≤ $0 < 1,òî îïåðàòîð (I − $0 ΛP h ) : B → B íåïðåðûâíî îáðàòèì, ïðè÷åìk(I − $0 ΛP h )−1 kB→B ≤ γ0 .(1.3.5)Òðåòèé ìåòîä ýòî ìåòîä Êàíòîðîâè÷à.