Диссертация (Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений), страница 10
Описание файла
Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений". PDF-файл из архива "Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 10 страницы из PDF
Âî âñåõýêñïåðèìåíòàõ ìåòîäû ñ èñïîëüçîâàíèåì â êà÷åñòâå îïåðàòîðà P h îïåðàòîðîâσh, πbh è `h îêàçûâàþòñÿ áîëåå òî÷íûìè, ÷åì ìåòîäû ñ èñïîëüçîâàíèåìîïåðàòîðà P h = π h .94-33-4x 1082x 1071605-14-23-3-42-51-600.10.20.30.40.50.60.70.800а) Метод Галеркина с0.20.30.40.50.60.70.80.70.8б) Итерированный метод Галеркина с-460.1-6x 1025x 101.54130.5201-0.50-1-1-200.10.20.30.40.50.60.70.8-1.50̂в) Метод Галеркина с0.20.30.40.50.6г) Итерированный метод Галеркина с-33.50.1̂-5x 10103x 1082.5621.54120.500-0.500.10.20.30.40.50.60.70.8-20д) Метод Галеркина с0.30.40.50.60.70.80.70.8-5x 10-0.51-10-1.5-1-2-2-2.5-3-3-4-3.5-500.2е) Итерированный метод Галеркина с-420.10.10.20.30.40.5ж) Метод Галеркина с0.60.70.8x 10-400.10.20.30.40.50.6з) Итерированный метод Галеркина сÐèñ. 4.5: Ãðàôèêè íåâÿçîê äëÿ Çàäà÷è IРис.
1. Графики невязок для Задачи I.950.080.0140.060.0120.040.010.0200.008-0.020.006-0.040.004-0.060.002-0.08-0.100.10.20.30.40.50.60.70.800а) Метод Галеркина с0.20.30.40.50.60.70.80.70.8б) Итерированный метод Галеркина с-3200.1-5x 108x 10615410205-20-4-500.10.20.30.40.50.60.70.8-60̂в) Метод Галеркина с0.10.20.30.40.50.6г) Итерированный метод Галеркина с̂-40.0715x 100.060.05100.040.0350.020.0100-0.0100.10.20.30.40.50.60.70.8-50д) Метод Галеркина с0.20.30.40.50.60.70.80.70.8е) Итерированный метод Галеркина с-350.1-4x 10-2x 10-40-6-5-8-10-10-15-200-120.10.20.30.40.5ж) Метод Галеркина с0.60.70.8-1400.10.20.30.40.50.6з) Итерированный метод Галеркина сÐèñ.
4.6: Ãðàôèêè íåâÿçîê äëÿ Çàäà÷è IIРис. 2. Графики невязок для Задачи II.9610.0100-1-0.01-2-0.02-3-0.03-4-0.04-5-6-0.05-7-0.06-800.10.20.30.40.50.60.70.8-0.070а) Метод Галеркина с0.10.20.30.40.50.60.70.80.70.8б) Итерированный метод Галеркина с100-0.005-1-0.01-2-0.015-3-0.02-4-0.025-5-0.03-6-700.10.20.30.40.50.60.70.8-0.0350̂в) Метод Галеркина с00-0.005-1-0.01-2-0.015-3-0.02-4-0.025-5-0.03-6-0.035-7-0.04-80-0.04500.20.30.4д) Метод Галеркина с0.50.60.20.30.40.50.6г) Итерированный метод Галеркина с10.10.10.70.80.10.20.30.40.50.6̂0.70.8е) Итерированный метод Галеркина сÐèñ. 4.7: Ãðàôèêè íåâÿçîê äëÿ Çàäà÷è III.
Ìåòîä Ãàëåðêèíà è èòåðèðîâàííûé ìåòîäÃàëåðêèíàРис. 3. Графики невязок для Задачи III.Метод Галеркина и итерированный метод Галеркина970.250.030.20.0250.150.020.10.0150.050.0100.005-0.05-0.100.10.20.30.40.50.60.70.8а) Метод Канторовича с000.10.20.30.40.50.60.70.80.70.8б) Итерированный метод Канторовича с-40.0513x 10120.04110.03100.02980.0170-0.01060.10.20.30.40.5в) Метод Канторовича с0.60.70.8̂500.10.20.30.40.50.6̂г) Итерированный метод Канторовича с-30.1230.12.50.08x 1020.061.50.0410.020.50-0.0200.10.20.30.40.50.60.70.8д) Метод Канторовича с000.10.20.30.40.50.60.70.80.70.8е) Итерированный метод Канторовича с-30.0050x 100-0.5-0.005-0.01-1-0.015-1.5-0.02-0.025-2-0.03-2.5-0.035-0.0400.10.20.30.40.5ж) Метод Канторовича с0.60.70.8-300.10.20.30.40.50.6з) Итерированный метод Канторовича сÐèñ.
4.8: Ãðàôèêè íåâÿçîê äëÿ Çàäà÷è III. Ìåòîä Êàíòîðîâè÷à è èòåðèðîâàííûé ìåòîäÊàíòîðîâè÷àРис. 4. Графики невязок для Задачи III.Метод Канторовича и итерированный метод Канторовича981.20.03510.030.80.0250.60.40.020.20.01500.01-0.2-0.400.511.520.0050а) Метод Галеркина с0.511.52б) Итерированный метод Галеркина с0.40x 10-3-10.2-2-30-4-0.2-5-6-0.4-7-0.600.51в) Метод Галеркина с1.52-8̂20.400.2-20-4-0.2-6-0.4-800.51д) Метод Галеркина с1.50.511.5г) Итерированный метод Галеркина с0.6-0.602-10x 1002̂-30.511.52е) Итерированный метод Галеркина сÐèñ. 4.9: Ãðàôèêè íåâÿçîê äëÿ Çàäà÷è IV. Ìåòîä Ãàëåðêèíà è èòåðèðîâàííûé ìåòîäÃàëåðêèíàРис.
5. Графики невязок для Задачи IV.990.10.030.0250.050.0200.015-0.050.01-0.10.0050-0.15-0.005-0.2-0.25-0.0100.511.52а) Метод Канторовича с-0.01500.511.52б) Итерированный метод Канторовича с0.020x 10-3-10.015-20.01-30.005-40-5-0.005-0.01-600.51в) Метод Канторовича с1.52-7̂00.511.5г) Итерированный метод Канторовича с0.12x 102̂-310.0800.06-1-20.04-30.02-4-50-6-0.0200.511.52д) Метод Канторовича с5x 10-700.511.52е) Итерированный метод Канторовича с-30x 10-3-10-2-5-3-4-10-5-15-6-2000.51ж) Метод Канторовича с1.52-700.511.52з) Итерированный метод Канторовича сÐèñ. 4.10: Ãðàôèêè íåâÿçîê äëÿ Çàäà÷è IV. Ìåòîä Êàíòîðîâè÷à è èòåðèðîâàííûé ìåòîäÊàíòîðîâè÷àРис.
6. Графики невязок для Задачи IV.Метод Канторовича и итерированный метод Канторовича100Çàêëþ÷åíèå äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ ìåòîäû ïðîåêöèîííîãîòèïà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñëàáî ñèíãóëÿðíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿÔðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäàZτ∗ϕ(τ ) = $0E(|τ − τ 0 |)ϕ(τ 0 ) dτ 0 + f (τ ),τ ∈ J = (0, τ∗ ).0Âàæíûì ïðèìåðîì ðàññìàòðèâàåìîãî êëàññà óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ øèðîêîèñïîëüçóåìîå â àñòðîôèçèêå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ$0ϕ(τ ) =2Zτ∗E1 (|τ − τ 0 |)ϕ(τ 0 ) dτ 0 + f (τ ),τ ∈ J.0 ðàáîòå ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, âûíîñèìûå íàçàùèòó:Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñëàáî ñèíãóëÿðíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿÔðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà ïðåäëîæåíû âàðèàíòû ìåòîäîâ ïðîåêöèîííîãîòèïà, èñïîëüçóþùèå ïðîñòðàíñòâî êóñî÷íî ëèíåéíûõ ôóíêöèé.Âûâåäåíûîöåíêèïîãðåøíîñòèïðåäëîæåííûõìåòîäîââíîðìàõïðîñòðàíñòâ Lq (J) è C(J) äëÿ çàäà÷ ñ ïðàâûìè ÷àñòÿìè f èç Lp (J),C(J) è Wp1 (J).
Áîëüøàÿ ÷àñòü îöåíîê îòðàæàåò ñâîéñòâî ñóïåðñõîäèìîñòèïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ. Îöåíêè ïîëó÷åíû äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåðàâíîìåðíîéñåòêè è äëÿ óðàâíåíèé ñ íåäèôôåðåíöèðóåìûìè ÿäðàìè.Ïðåäëîæåíû ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ðàññìàòðèâàåìûõ101ïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ, â îñíîâå êîòîðûõ ëåæèò ñïåöèàëüíîå ðàçîêàéìëåíèåìàòðèöûèèñïîëüçîâàíèåöèðêóëÿíòíîïðåäîáóñëîâëåííîãîìåòîäàñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (CPCG). Äîêàçàí ðåçóëüòàò î êëàñòåðèçàöèèñîáñòâåííûõçíà÷åíèéïðåäîáóñëîâëåííîéìàòðèöû,êîòîðûéäàåòòåîðåòè÷åñêóþ îñíîâó ïîíèìàíèÿ ñâåðõëèíåéíîé ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ìåòîäàCPCG.Ïðîâåäåíû âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû, ïîêàçûâàþùèå çíà÷èòåëüíîáîëåå áûñòðóþ ñõîäèìîñòü ìåòîäà CPCG ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåòîäîìñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ.
Êðîìå òîãî, ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû âû÷èñëèòåëüíûõýêñïåðèìåíòîâïîïðèìåíåíèþèçó÷àåìûõïðîåêöèîííûõìåòîäîâäëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ, êîòîðûåäåìîíñòðèðóþò îñîáåííîñòè ïîâåäåíèÿ ïîãðåøíîñòåé ìåòîäîâ äëÿ ðàçëè÷íûõòèïîâ äàííûõ.102Ëèòåðàòóðà1. Atkinson K.E. The Numerical Solutions of Integral Equations of the secondkind, Cambridge University Press, 1997.2. Hackbusch W. Integral equations. Theory and numerical treatment.
Birkhauser Verlag, Basel, 1995.3. Baker C.T.H. The numerical treatment of integral equations. Oxford University Press, London, 1977.4. Goldberg M.A. Solution Methods for Integral Equations Theory and Applications, Plenum Press, New York, 1978.5. Èâàíîâ Â.Â. Òåîðèÿ ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ è åå ïðèìåíåíèå ê÷èñëåííîìó ðåøåíèþ ñèíãóëÿðíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Êèåâ.Íàóêîâà äóìêà. 1968.6.
Delves L.M., Walsh J. Numerical Solution of Integral Equations, ClarendonPress, Oxford, England, 1974.7. Êðàñíîñåëüñêèé Ì.À., Âàéíèêêî Ã.Ì., Çàáðåéêî Ï.Ï., Ðóòèöêèé ß.Á.,Ñòåöåíêî Â.ß. Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé. Íàóêà.Ì.: 1969.8. Krasnoselskii M.A., Zabreiko P.P., Pustylnik E.I., Sobolevskii P.E. Approximate Solution of Operator Equations. Volters - Noordho, Groningen, 1976.1039. Schock E. Uberdie Konvergenzgeschwindigkeit projektiver Verfahren //Math. Z. 1971. Vol.
120, pp. 148-156.10. Schock E. Uberdie Konvergenzgeschwindigkeit projektiver Verfahren. II //Math. Z. 1972. Vol. 127, pp. 191-198.11. Sloan I.H., Burn B.J. & Datiner N. , A new approach to the numerical solutionof integral equations // J. Comp. Phys. 1975. Vol. 18, pp. 92-105.12. Sloan I.H. Error Analysis for a Class of Degenerate-Kernal Methods // Numer.Math. 1976. Vol. 25, pp.
231-238.13. Sloan I.H. Improvement by iteration for compact operator equations // Mathematics of Computation. 1976. Vol. 30, pp. 758-764.14. Sloan I.H., Iterated Galerkin Method for Eigenvalue Problems // SIAM J.Numer. Anal. 1976. Vol. 13, pp. 753-764.15. Chandler G.A., Global superconvergence of iterated Galerkin solutions foe sec-ond kind integral equations. Technical Report, Australian National Iniversity,Canberra, 1978.16.
Richter G.R. Superconvergence of piecewise polynomial Galerkin approximations for Fredholm integral equations of the second kind // Num. Math. 1978.Vol. 31, pp. 63-70.17. Chandler G.A. Superconvergence of Numerical Solutions of Second Kind Integral Equations, Ph. D. Thesis, Australian National University, 1979.18. Chatelin F. ,Sur les bornes d'erreur a posteriori pour les elements propresd`operateurs lineares // Num. Math. 1979.
