Автореферат (Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений), страница 3
Описание файла
Файл "Автореферат" внутри архива находится в папке "Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений". PDF-файл из архива "Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 3 страницы из PDF
Ñïðàâåäëèâà îöåíêà.ε2 (1 − $0 )2e n ) ÷èñëî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû Ae n , ëåæàùèõ âíåÇäåñü Nε (A1/2h∞11.2 ∫ E12 (t)t dt + h ∫ E12 (t) dtèíòåðâàëà (1 − ε, 1 + ε), à Mh = √ + √3 2300e n−1 ) ≤Nε (A ðàçäåëå 3.5 îïèñûâàåòñÿ, êàê ýòîò æå ïîäõîä ìîæíî èñïîëüçîâàòüäëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà Ãàëåðêèíà ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðàP h = σh.Ïîëó÷àþùàÿñÿ çäåñü ñèñòåìà îòëè÷àåòñÿ îò ñèñòåìû (10) òîëüêî òåì, ÷òîâ íåéÂb n+1 = bIn+1 − $0 Λb n+1 ,Aðàçäåëåìåòîäà3.6êîëëîêàöèèñâîäèòñÿêãäåbIn+1ïîêàçûâàåòñÿ,(ìåòîäàïðèìåíåíèþ åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.êàêïðîáëåìà÷èñëåííîéÃàëåðêèíàñèñïîëüçîâàíèåìïîñòðîåííîãîâ[7 ]∗âàðèàíòàðåàëèçàöèèîïåðàòîðàìåòîäà`h )CPCG.Ñèñòåìà óðàâíåíèé ìåòîäà êîëëîêàöèè ïðåîáðàçóåòñÿ ê ñèñòåìå ëèíåéíûõϕh (0) è ϕh (τ∗ ) è âåêòîðà= (δ h ϕh1/2 , δ h ϕh3/2 , .
. . , δ h ϕhn−1/2 )T .àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî çíà÷åíèéçíà÷åíèé ðàçíîñòíûõ ïðîèçâîäíûõδ h ϕhÐàçîêàéìëåíèå ñèñòåìû ïðèâîäèò ê ñèñòåìå óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî âåêòîðàδ h ϕh â òî÷íîñòè ñ òîé æå ìàòðèöåé An , êîòîðàÿ âîçíèêàåò ïðè èñïîëüçîâàíèèhìåòîäà Ãàëåðêèíà ñ îïåðàòîðîì π è äëÿ êîòîðîé óæå ïîñòðîåí ìåòîä CPCG. ãëàâå 4 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ñ îïèñàííûìèâ ãëàâàõ 2 è 3 ìåòîäàìè, ïðèìåíåííûìè ê ðåøåíèþ ÷åòûðåõ ìîäåëüíûõ çàäà÷äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ.  ðàçäåëå 4.1 îïèñûâàþòñÿ èñïîëüçóåìûåòåñòîâûå çàäà÷è.Çàäà÷àI.  ïåðâîé çàäà÷åf (τ ) = 1 − $0 ,÷òî îòâå÷àåò íàëè÷èþ14410.93.5 0.8 =0.99990.73 2.50.6 =0.9999990.5 20.41.5 0.310.20.50.10010020030040050060070080090010000012345678910Ðèñ. 2: Ãðàôèêè ðåøåíèé çàäà÷è IIÐèñ.
1: Ãðàôèêè ðåøåíèé çàäà÷è IРис.1 Зависимость решения от оптической глубины атмосферы придля правойРис.5 Зависимость решения от оптической глубины атмосферы придля правой частичасти ( )для.( )дляи.4.554 = . 3.54.5 = . 3 4 = . 2.53.521.5 310.52.50-0.5010020030040050060070080090010002Ðèñ. 3: Ãðàôèêè ðåøåíèé çàäà÷è III00.51Ðèñ.ÃðàôèêèГрафикирешения4:задачиIV для1.52ðåøåíèéçàäà÷è IV.приIG method 1òîæäåñòâåííî ðàâíîãî åäèíèöå îáúåìíîãî èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ.Çàäà÷à II. Âî âòîðîé çàäà÷åf (τ ) = $0 e−τ /µ ,ãäå0 < µ ≤ 1,÷òî îòâå÷àåòíàëè÷èþ âíåøíåãî èçëó÷åíèÿ c åäèíè÷íîé èíòåíñèâíîñòüþ, ïàäàþùåãî íàµ.ëåâóþ ãðàíèöó àòìîñôåðû ïîä óãëîì, êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåíÇàäà÷à III.  òðåòüåé çàäà÷åf (τ ) = E1 (τ )èìååò ñèíãóëÿðíîñòü â òî÷êåτ = 0.Çàäà÷à IV.
 ÷åòâåðòîé çàäà÷å ïðàâàÿ ÷àñòü ðàçðûâíà:0≤τ ≤1èf (τ ) = 0ïðèf (τ ) = 1ïðèτ∗ = 1000ïðèτ > 1.Íà ðèñóíêå 1 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ðåøåíèÿ çàäà÷è I äëÿ$0 = 0.99, 0.9999, 0.999999. Íà ðèñóíêå 2 äàíû ãðàôèêè ðåøåíèÿ çàäà÷è IIäëÿ τ∗ = 10, $0 = 0.9999 äëÿ íåñêîëüêèõ çíà÷åíèé êîñèíóñà óãëà ïàäåíèÿâíåøíåãî èçëó÷åíèÿ. Íà ðèñóíêå 3 äàíû ãðàôèêè ðåøåíèÿ çàäà÷è III äëÿτ∗ = 1000ðåøåíèÿÂ$0 = 0.99, 0.9999, 0.999999.
Íà ðèñóíêå 4 äàíûçàäà÷è IV äëÿ τ∗ = 100 ïðè $0 = 0.99, 0.9999, 0.999999.ïðèðàçäåëå4.2ïðèâîäÿòñÿðåçóëüòàòû÷èñëåííûõãðàôèêèýêñïåðèìåíòîâïðèìåíåíèÿ ìåòîäà CPCG äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà Ãàëåðêèíà. Ïðèâîäÿòñÿòàáëèöû, êîòîðûå äåìîíñòðèðóþò ÿâíîå ïðåèìóùåñòâî ìåòîäà CPCG ïîñðàâíåíèþñìåòîäîìñîïðÿæåííûõãðàäèåíòîâïî÷èñëóíåîáõîäèìûõäëÿ äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè ÷èñëà èòåðàöèé.
Òðè èç ýòèõ òàáëèöïðèâåäåíû íèæå.15Âîâñåõòî÷íîñòèÄëÿεðàñ÷åòàõíà÷àëüíîåïðèáëèæåíèåx(0) = 0.Ïðèèòåðàöèè ïðåêðàùàëèñü ïîñëå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿñðàâíåíèÿïðèâåäåíûðåçóëüòàòûðåøåíèÿòåõæåçàäàííîékr(k) k< ε.kr(0) kçàäà÷ìåòîäîìñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (CG). Ïðåèìóùåñòâî ìåòîäà CPCG î÷åâèäíî âîâñåõ ñëó÷àÿõ.Òàáëèöà 1: Îïòè÷åñêàÿ ãëóáèíàÒàáëèöà 2: Îïòè÷åñêàÿ ãëóáèíàÒàáëèöà 3: Îïòè÷åñêàÿ ãëóáèíàτ∗ = 10,àëüáåäîτ∗ = 100,τ∗ = 1000,$0 = 0.999999àëüáåäîàëüáåäî$0 = 0.999999$0 = 0.99999916 ðàçäåëå 4.3 ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòîâ ïî ðåøåíèþ òåñòîâûõçàäà÷ ñ ïðèìåíåíèåì ðàññìàòðèâàåìûõ â äèññåðòàöèè ïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâπh. ïðåäñòàâëåííûõ íèæå ðåçóëüòàòàõ τ∗ = 10, $0 = 0.99; ñåòêà ðàâíîìåðíàÿñ óìåðåííî ìàëûì øàãîì h = 10/256 ≈ 0.04.hhhÍà ðèñóíêàõ 510 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè íåâÿçîê ìåòîäîâ ñ P = π , P =bh , P h = σ h è P h = `h .πà òàêæå ìåòîäîâ, èñïîëüçóþùèõ îïåðàòîðÄëÿ çàäà÷ I è II íà ðèñ.
5 è ðèñ. 6 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûåìåòîäîì Ãàëåðêèíà è èòåðèðîâàííûì ìåòîäîì Ãàëåðêèíà. Ïîñêîëüêó ïðàâûå÷àñòè çäåñü ãëàäêèå, ïðèìåíåíèå ðåãóëÿçàöèè ïî Êàíòîðîâè÷ó íå äàåò êàêîãîëèáî âûèãðûøà. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, íàèìåíåå òî÷íûìè îêàçûâàþòñÿìåòîäû ñP h = πh.Ìåòîäû ñP h = σhäàþò íåñêîëüêî ìåíüøóþ è áîëååãëàäêóþ íåâÿçêó. Çíà÷èòåëüíî áîëåå òî÷íûìè îêàçûâàþòñÿ ìåòîäû ñèP h = `h .bhPh = πÄëÿ çàäà÷è III ñ ñèíãóëÿðíîé ïðàâîé ÷àñòüþ (ñì. ðèñ. 7) ìåòîäû ÃàëåðêèíàñbhP h = πh, P h = πèP h = σhäàþò ïðèìåðíî îäèíàêîâûå ïî òî÷íîñòèðåçóëüòàòû.
Èñïîëüçîâàíèå èòåðèðîâàííûõ ìåòîäîâ çíà÷èòåëüíî ïîâûøàåòòî÷íîñòü. Ìåòîäû ñP h = `h(ìåòîä êîëëîêàöèè è èòåðèðîâàííûé ìåòîäêîëëîêàöèè) ê ðåøåíèþ çàäà÷è III íåïðèìåíèìû, òàê êàêf (0) = E1 (0) = ∞.Íà ðèñóíêå 8 äëÿ çàäà÷è III ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè íåâÿçîê, ñîîòâåòñòâóþùèå ìåòîäó Êàíòîðîâè÷à è èòåðèðîâàííîìó ìåòîäó Êàíòîðîâè÷à. Âèäíî,÷òî èñïîëüçîâàíèå ðåãóëÿðèçàöèè Êàíòîðîâè÷à ñóùåñòâåííî ïîâûøàåò òî÷íîñòü ðàññìàòðèâàåìûõ ìåòîäîâ. Íàèáîëåå òî÷íûì îêàçûâàåòñÿ èòåðèðîâàííûé ìåòîä Êàíòîðîâè÷à ñÍàðèñóíêàõ9è10P h = `h .äëÿçàäà÷èIVñðàçðûâíîéïðàâîé÷àñòüþfïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè íåâÿçîê âñåõ ìåòîäîâ. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü,ñóùåñòâåííûé âûèãðûø äàåò èñïîëüçîâàíèå ðåãóëÿðèçàöèè Êàíòîðîâè÷à.Ïðîâåäåííûåýêñïåðèìåíòûïîêàçûâàþò,÷òîäëÿçàäà÷ñãëàäêèìèïðàâûìè ÷àñòÿìè íàèáîëåå ýôôåêòèâåí èòåðèðîâàííûé ìåòîä ÃàëåðêèíàñbhPh = πèP h = `h ,à äëÿ çàäà÷ ñ îñîáåííîñòÿìè â ïðàâûõ ÷àñòÿõP h = `h .
Âî âñåõhýêñïåðèìåíòàõ ìåòîäû ñ èñïîëüçîâàíèåì â êà÷åñòâå îïåðàòîðà P îïåðàòîðîâbh è `h îêàçûâàþòñÿ áîëåå òî÷íûìè, ÷åì ìåòîäû ñ èñïîëüçîâàíèåìσh, πhhîïåðàòîðà P = π . èòåðèðîâàííûé ìåòîä Êàíòîðîâè÷à ñbhPh = πè17-33-4x 1080.08x 100.01270.04160500.0084-0.020.006-23-0.042-0.06-4-51-3-600.10.20.30.40.50.60.70.80.10.20.30.40.50.60.70.10.20.30.40.50.60.70.8000.10.20.30.40.50.60.70.80.70.80.8а) Метод Галеркина сб) Итерированный метод Галеркина сб) Итерированный метод Галеркина с-320-620.002-0.1000-40.004-0.08а) Метод Галеркина сx 100.010.02-160.0140.062x 10-5x 108x 1065151.544110320.520501-2-0.50-4-1-1-200.10.20.30.40.50.60.70.8-50-1.50̂в) Метод Галеркина с0.10.20.30.40.50.6г) Итерированный метод Галеркина с-33.500.7x 10100.30.40.50.60.70.8-60̂0.10.20.30.40.50.6г) Итерированный метод Галеркина с̂-415x 10x 100.060.0582.5100.04620.031.5140.0220.010.550000-0.010-0.500.10.20.30.40.50.60.70.8-20д) Метод Галеркина с0.10.20.30.40.50.60.70.10.20.80.30.40.50.60.70.8-50д) Метод Галеркина с50.10.20.30.40.50.60.70.80.70.8е) Итерированный метод Галеркина с-3е) Итерированный метод Галеркина с-420.2в) Метод Галеркина с0.07-530.10.8̂-4x 10-2x 10-5x 10-0.5x 10-401-10-1.5-1-2-6-5-8-10-2-3-3-4-3.5-50-10-2.50.10.20.30.40.50.60.70.8-40ж) Метод Галеркина с-15-2000.10.20.30.40.50.60.7-120.10.20.30.40.50.60.70.8-140ж) Метод Галеркина с0.80.10.20.30.40.50.6з) Итерированный метод Галеркина сз) Итерированный метод Галеркина сРис.
2. Графики невязок для Задачи II.Рис. 1. Графики невязок для Задачи I.Ðèñ. 5: Ãðàôèêè íåâÿçîê äëÿ Çàäà÷è I10.010Ðèñ. 6: Ãðàôèêè íåâÿçîê äëÿ Çàäà÷è II0.250.030.20.0250-1-0.010.15-20.1-0.030.015-40.05-0.04-5-6-0.050-7-0.06-0.05-800.02-0.02-30.10.20.30.40.50.60.70.8-0.070а) Метод Галеркина с0.10.20.30.40.50.60.70.8-0.100.010.0050.1б) Итерированный метод Галеркина с0.20.30.40.50.60.70.8а) Метод Канторовича с000.10.20.30.40.50.60.70.8б) Итерированный метод Канторовича с-4100.050-0.0050.04-113x 101211-0.010.0310-2-0.0150.02-39-0.02-480.01-0.025-5-6-0.03-70-0.03500.10.20.30.40.50.60.70.8̂в) Метод Галеркина с700.10.20.30.40.50.6г) Итерированный метод Галеркина с0.70.8-0.01060.10.20.30.40.5в) Метод Канторовича с̂0.60.70.8̂50100.1230-0.0050.12.5-0.010.08-0.015-3-0.02-4-0.025-0.030.02-0.0350-0.040.20.30.40.50.60.70.8-0.04500.50.60.70.8̂21.5-7д) Метод Галеркина с0.40.04-60.10.3x 100.06-5-800.2-3-1-20.1г) Итерированный метод Канторовича с-0.0200.10.20.30.40.50.60.710.50.10.20.30.40.50.60.70.8000.10.20.30.40.50.60.70.80.70.80.8д) Метод Канторовича се) Итерированный метод Галеркина се) Итерированный метод Канторовича с-30.0050x 100-0.5-0.005-0.01-1-0.015-1.5-0.02-0.025-2-0.03-2.5-0.035-0.0400.10.20.30.40.5ж) Метод Канторовича сРис.
3. Графики невязок для Задачи III.0.60.70.8-300.10.20.30.40.50.6з) Итерированный метод Канторовича сРис. 4. Графики невязок для Задачи III.Метод Канторовича и итерированный метод КанторовичаМетод Галеркинаи итерированныйäëÿметод ГалеркинаÐèñ. 7: ÃðàôèêèíåâÿçîêÇàäà÷è III.Ðèñ. 8: Ãðàôèêè íåâÿçîê äëÿ Çàäà÷è III.Ìåòîä Ãàëåðêèíà è èòåðèðîâàííûé ìåòîäÌåòîä Êàíòîðîâè÷à è èòåðèðîâàííûé ìåòîäÃàëåðêèíàÊàíòîðîâè÷à181.20.03510.10.030.030.0250.050.80.0200.0250.60.40.0150.20.01-0.10.0050.0150-0.150-0.0050.01-0.2-0.4-0.050.02-0.200.511.50.00520а) Метод Галеркина с0.511.5-0.252-0.0100.5б) Итерированный метод Галеркина с0.40x 1011.5-0.0152а) Метод Канторовича с00.20.511.52-3-2-20.01-3-30x 10-10.015-10б) Итерированный метод Канторовича с0.02-30.005-4-4-0.20-5-5-6-0.005-6-0.4-7-0.01-0.600.511.5-820̂в) Метод Галеркина с0.511.5г) Итерированный метод Галеркина с00.5211.5-7̂в) Метод Канторовича с̂2x 1000.511.5г) Итерированный метод Канторовича с0.12-3x 102̂-310.080.620.400.060.2-20.040-1-2-30-40.02-0.2-60-0.4-8-0.02-0.6-10-4-5-600.511.5200.511.50.511.5-72д) Метод Канторовича с25е) Итерированный метод Галеркина сд) Метод Галеркина с0x 1000.511.52е) Итерированный метод Канторовича с-30x 10-3-10-2-5-3-4-10-5-15-6-2000.511.5-72ж) Метод Канторовича с00.511.52з) Итерированный метод Канторовича сРис.
