Автореферат (Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений), страница 2
Описание файла
Файл "Автореферат" внутри архива находится в папке "Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений". PDF-файл из архива "Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
Âðàçäåëå 1.2 ïðèâîäèòñÿ íóæíàÿ äëÿ äàëüíåéøåãî èíôîðìàöèÿ î ñâîéñòâàõèíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ è åãî ðåøåíèé.  ðàçäåëå 1.3 ïðèâîäèòñÿ ñòðóêòóðà÷åòûðåõ(2),ðàññìàòðèâàåìûõèòåðèðîâàííîãîïðîåêöèîííûõìåòîäàÃàëåðêèíàìåòîäîâ(3),-ìåòîäàìåòîäàÃàëåðêèíàÊàíòîðîâè÷à(5)èèòåðèðîâàííîãî ìåòîäà Êàíòîðîâè÷à (6).Äëÿ ïîãðåøíîñòåé ðàññìàòðèâàåìûõ ìåòîäîâ èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèåîáîçíà÷åíèÿ:εh = ϕh − ϕ,Çäåñüϕεh = ϕh − ϕ, ðåøåíèå çàäà÷è (1), àeh − ϕ,εeh = ϕeh , εbhϕh , ϕh , ϕbh − ϕ.εbh = ϕ ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ,íàéäåííûå ìåòîäàìè (2), (3), (5) è (6) ñîîòâåòñòâåííî.Ñëåäóþùàÿëåììàñîäåðæèòâñïîìîãàòåëüíûéðåçóëüòàòîáîöåíêàõïîãðåøíîñòè ðàññìàòðèâàåìûõ ìåòîäîâ, íà êîòîðîì áàçèðóåòñÿ ïðîâîäèìûéâ ãëàâå 2 èõ ïîäðîáíûé àíàëèç.Ëåììà 1.3.1.
Ïóñòüf ∈ B.Òîãäàk εh kB ≤ γ0 k(I − P h )ϕkB ,k εh kB ≤ γ1 kΛ(I − P h )ϕkB .ÏóñòüΛf ∈ B .Òîãäàk εeh kB ≤ γ1 k(I − P h )ΛϕkB ,k εbh kB ≤ γ2 kΛ(I − P h )ΛϕkB .Çäåñü è íèæåÂðàçäåëåèñïîëüçîâàíèèγk =1.4$0k, k = 0, 1, 2.1 − $0íàïîìèíàþòñÿîïåðàòîðàπhïðîåêöèîííûåïðîåêòèðîâàíèÿìåòîäûíàîñíîâàííûåïðîñòðàíñòâîíàêóñî÷íîïîñòîÿííûõ ôóíêöèé, ïîäðîáíûé àíàëèç îöåíîê ïîãðåøíîñòåé êîòîðûõ áûë∗ðàíåå äàí â ðàáîòå [6 ]. Âûâåäåííûå â ýòîì ðàçäåëå ñâîéñòâà îïåðàòîðîâI − π h , (I − π h )Λ, Λ(I − π h ), Λ(I − π h )Λèñïîëüçóþòñÿ äàëåå â ðàçäåëå 2.6.Ïîëó÷åííûå çäåñü ðåçóëüòàòû óêàçûâàþò íà òî, ÷òî îöåíêè ïîãðåøíîñòåé èç∗[6 ] ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïðè çàìåíå ïðåäïîëîæåíèé (7), (8) ïðåäïîëîæåíèåì(9).9 ãëàâå 2 èçó÷àþòñÿ ñâîéñòâà ÷åòûðåõ ïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿèíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîñòðàíñòâà êóñî÷íî ëèíåéíûõSbh (J), îòâå÷àþùåãî ïðîèçâîëüíîé íåðàâíîìåðíîé ñåòêå J h ñ óçëàìè0 = τ0 < τ1 < · · · < τn = τ∗ .
Äîïîëíèì ñåòêó óçëàìè τ−1 = τ0 è τn+1 = τn .Ïîëîæèì hi = τi − τi−1 äëÿ 0 ≤ i ≤ n + 1, hi+1/2 = (hi+1 + hi )/2 äëÿ 0 ≤ i ≤ nè hmax = max hi .ôóíêöèé1≤i≤nÂêà÷åñòâåîïåðàòîðàPhèñïîëüçóþòñÿîïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿbhπóñðåäíÿþùèéîïåðàòîðσh,è îïåðàòîð êóñî÷íî ëèíåéíîãî`h .σ h : Lp (J) → Sbh (J), ãäå 1 ≤ p ≤ ∞, îïðåäåëÿåòñÿnXh(σ f )(τ ) =σ h f (τi )ehi (τ ), τ ∈ J,èíòåðïîëèðîâàíèÿÎïåðàòîðãäåhσ f (τi ) =h−1i+1/2τ∗∫0i=0hf (τ )ei (τ )dτ ,ehiôîðìóëîé ñòàíäàðòíûå êóñî÷íî-ëèíåéíûåáàçèñíûå ôóíêöèè - "øàïî÷êè".Îïåðàòîðåå ïðîåêöèþbhπf ∈ Lp (J), 1 ≤ p ≤ ∞bh (J), êîòîðàÿïðîñòðàíñòâî Sñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ôóíêöèèbh f )(τ ) =(πnPj=0bh f (τj )ehj (τ )πíàîïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèébh f, ehi )L2 (J) = (f, ehi )L2 (J) ,(π0 ≤ i ≤ n.bh ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ.p = 2 îïåðàòîð πhbÎïåðàòîð ` : C(J) → S(J)ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ôóíêöèè f ∈ C(J)hêóñî÷íî ëèíåéíóþ ôóíêöèþ, ñîâïàäàþùóþ ñ f â óçëàõ ñåòêè J .hhh ðàçäåëå 2.1 èçó÷àþòñÿ ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ I − σ , (I − σ )Λ, Λ(I − σ ),bh , (I − πbh )Λ,Λ(I − σ h )Λ.
 ðàçäåëå 2.2 èçó÷àþòñÿ ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ I − πbh ), Λ(I − πbh )Λ.  ðàçäåëå 2.3 èçó÷àþòñÿ ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ I − `h ,Λ(I − π(I − `h )Λ, Λ(I − `h ), Λ(I − `h )Λ.hhÐàçäåë 2.4 ïîñâÿùåí âûâîäó îöåíîê ïîãðåøíîñòåé ìåòîäîâ ñ P = σ .ÏðèÒåîðåìà 2.4.1. 1. Ïóñòüf ∈ Lp (J), 1 ≤ p < ∞.k εh kLp (J) → 02. ÏóñòüïðèÒîãäàhmax → 0.f ∈ Lp (J), 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, 1/s = 1 − 1/p + 1/q > 0.Òîãäàk εh kLq (J) ≤ 24/s−3/q γ1 kϕkLp (J) h1/smax E(hmax /2)(1 + o(1))ïðèhmax → 0,k εeh kLq (J) ≤ 21/s+3/q γ1 kϕkLp (J) h1/smax E(hmax /2)(1 + o(1))ïðèhmax → 0,k εbh kLq (J) ≤ 25/(2s) Ms γ2 kϕkLp (J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1))Çäåñü è íèæåMs = 21/s kEkLs (R+ ) .ïðèhmax → 0.10Òåîðåìà 2.4.2. 1. Ïóñòüf ∈ W11 (J), 1 ≤ q < ∞.Òîãäàk εh kLq (J) ≤ 21/q γ0 kDϕkL1 (J) h1/qmax ,k εh kC(J) ≤ 2γ1 kDϕkL1 (J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1))hmax → 0,ïðèk εeh kLq (J) ≤ 2γ1 kDΛϕkLq (J) hmax ,√k εbh kC(J) ≤ 2M2 kDΛϕkL2 (J) hmax .2.
Ïóñòüf ∈ Wp1 (J), 1 < p < ∞, p ≤ q ≤ ∞, 1/s = 1 − 1/p + 1/q .Òîãäà1/sk εh kLq (J) ≤ 21/s γ0 kDϕkLp (J) hmax ,k εh kC(J) ≤ 2γ1 Mp0 kDϕkLp (J) hmax . ðàçäåëå 2.5 âûâîäÿòñÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòåé ìåòîäîâ ñbhPh = π(êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà Ãàëåðêèíà è åãî ìîäèôèêàöèé).Òåîðåìà 2.5.1. 1. Ïóñòüf ∈ Lp (J), 1 ≤ p < 2.Òîãäàk εeh kL2 (J) ≤ 23−1/p γ1 kϕkLp (J) h3/2−1/pE(hmax /2)(1+o(1))maxïðèk εbh kL2 (J) ≤ 29/2−1/p γ2 kϕkLp (J) h5/2−1/pE 2 (hmax /2)(1+o(1))max2. Ïóñòüf ∈ L2 (J).k εh kL2 (J) → 0hmax → 0,ïðèhmax → 0.Òîãäàïðèhmax → 0,k εh kL2 (J) ≤ 25/2 γ1 kϕkL2 (J) hmax E(hmax /2)(1+o(1))ïðèhmax → 0,k εeh kL2 (J) ≤ 27/2 γ1 kϕkL2 (J) hmax E(hmax /2)(1+o(1))ïðèhmax → 0,k εbh kL2 (J) ≤ 24 γ2 kϕkL2 (J) h2max E 2 (hmax /2)(1+o(1))Òåîðåìà 2.5.2. Ïóñòüf ∈ Wp1 (J), 1 ≤ p ≤ 2.ïðèhmax → 0.Òîãäàk εh kL2 (J) ≤ γ0 21/p−3/2 kDϕkLp (J) h3/2−1/p,maxk εh kL2 (J) ≤ γ1 21+1/p kDϕkLp (J) h5/2−1/pE(hmax /2)(1+o(1)) ïðè hmax → 0,max1k εeh kL2 (J) ≤ γ1 kDΛϕkL2 (J) hmax ,2h3/2k εb kL2 (J) ≤ 2 γ2 kDΛϕkL2 (J) h2max E(hmax /2)(1 + o(1)) ïðè hmax → 0. ðàçäåëå 2.6 âûâîäÿòñÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòåé ìåòîäîâ ñP h = `h(ìåòîäàêîëëîêàöèè è åãî ìîäèôèêàöèé).Òåîðåìà 2.6.1.
1. Ïóñòüf ∈ Lp (J), 1 < p ≤ ∞.Òîãäà0k εeh kC(J) ≤ 21/p γ1 kϕkLp (J) h1−1/pmax E(hmax /2)(1 + o(1))0k εbh kC(J) ≤ 21/p γ2 kϕkLp (J) h1−1/pmax E(hmax /2)(1+o(1))ïðèïðèhmax → 0,hmax → 0.112. Ïóñòüf ∈ C(J).Òîãäàk εh kC(J) → 0,k εh kC(J) → 0ïðèhmax → 0,k εeh kC(J) ≤ 2γ1 kϕkC(J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1))ïðèhmax → 0,k εbh kC(J) ≤ 2γ2 kϕkC(J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1))ïðèhmax → 0.Òåîðåìà 2.6.2. 1. Ïóñòüf ∈ W11 (J).Òîãäàk εh kC h (J) ≤ γ1 kDϕkL1 (J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1))hmax → 0,ïðèk εh kC(J) ≤ γ1 kDϕkL1 (J) hmax E(hmax /2)(1+o(1)) ïðè hmax → 0,k εeh kC h (J) ≤ 4γ2 kDϕkL1 (J) +kϕkC(J) h2max E 2 (hmax /2)(1+o(1)) ïðè hmax → 0,k εbh kC(J) ≤ 4γ2 kDϕkL1 (J) +kϕkC(J) h2max E 2 (hmax /2)(1+o(1)) ïðè hmax → 0.2. Ïóñòüf ∈ Wp1 (J), 1 < p < ∞.Òîãäà0k εh kC h (J) ≤ 4−1/p γ1 Mp0 kDϕkLp (J) hmax ,1−1/p0k εh kC(J) ≤ 4−1/p γ0 kDϕkLp (J) hmax ,0kεh kC(J) ≤ 4−1/p γ1 Mp0 kDϕkLp (J) hmax .Óñòàíîâëåíû òàêæå îöåíêè ïðîèçâîäíûõ ïîãðåøíîñòåé ìåòîäà êîëëîêàöèèè åãî ìîäèôèêàöèé.Òåîðåìà 2.6.3.
1. Ïóñòüf ∈ W11 (J), 1 < q < ∞.Òîãäàkδ h εeh kLq (J) ≤ cq kDΛϕkLq (J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1))kDεbh kLq (J) ≤ cq kDΛϕkLq (J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1))c1 = γ2 (γ1 + 2)ãäå2. Ïóñòüècq = γ2ïðèf ∈ Wp1 (J), 1 ≤ p ≤ q < ∞, 1/s = 1 − 1/p + 1/q .1/s1/skDεh kLq (J) ≤ cp,q kDϕkLp (J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1))èïðè1 < q < ∞.kδ h εh kLq (J) ≤ cp,q kDϕkLp (J) hmax E(hmax /2)(1 + o(1))ãäåhmax → 0,hmax → 0,ïðècp,q = γ1 (γ1 + 2)ïðèp=q=1ècp,q = γ1 21/sïðèïðèÒîãäàhmax → 0,hmax → 0,ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõpq. ãëàâå 3 ðàññìàòðèâàþòñÿ ìåòîäû ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ïðåäëîæåííûõïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ ïðèìåíèòåëüíî ê ðåøåíèþ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ íà ñåòêå ñ ïîñòîÿííûì øàãîìh = τ∗ /n.
Àêöåíò äåëàåòñÿíà ðåàëèçàöèè ìåòîäà Ãàëåðêèíà, òàê êàê íàëè÷èÿ àëãîðèòìà åãî ðåàëèçàöèèäîñòàòî÷íî äëÿ ðåàëèçàöèè îñòàëüíûõ ìåòîäîâ. Ðàçäåëû 3.1 3.3 íîñÿòâñïîìîãàòåëüíûé õàðàêòåð.  ðàçäåëå 3.1 ñîäåðæèòñÿ êðàòêàÿ èíôîðìàöèÿî òåïëèöåâûõ è öèðêóëÿíòíûõ ìàòðèöàõ.  ðàçäåëå 3.2 äàåòñÿ îïèñàíèå12öèðêóëÿíòíî ïðåäîáóñëîâëåííîãî ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (CPCG)è íàïîìèíàþòñÿ íåêîòîðûå åãî ñâîéñòâà. ðàçäåëå 3.3 äàåòñÿ êðàòêîå èçëîæåíèå àëãîðèòìà ðåàëèçàöèè ìåòîäàÃàëåðêèíàñîïåðàòîðîìPh=πhïðîåêòèðîâàíèÿíàïðîñòðàíñòâî∗êóñî÷íî ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé, ïðåäëîæåííîãî ðàíåå â [7 ] è îñíîâàííîãîíà èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà CPCG. ðàçäåëå 3.4 îïèñûâàåòñÿ àëãîðèòì ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè êëàññè÷åñêîãîbhPh = πìåòîäà Ãàëåðêèíà ñ îïåðàòîðîìêóñî÷íîëèíåéíûõôóíêöèé.Ñèñòåìàïðîåêòèðîâàíèÿ íà ïðîñòðàíñòâîóðàâíåíèéìåòîäàÃàëåðêèíàâìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèñè èìååò âèäbb n+1 xb n+1 xb = $0 Λb + b.TÇäåñübx(x0 , x1 , . .
. , xn )T ,=b n+1 , Λb n+1= ϕh (τi ), à Tb n+1ïîðÿäêà n + 1, ïðè÷åì ìàòðèöà Tãäåñèììåòðè÷íûå êâàäðàòíûå ìàòðèöûxiòðåõäèàãîíàëüíàÿ. Ïåðåïèøåì ñèñòåìó â âèäåb n+1 xb = b,Aãäåb n+1 = Tb n+1 − $0 Λb n+1A(10)v0vT vn+1= v An−1 w vn+1 wTv0v = (v1 , v2 , . . . , vn−1 )T , w = (vn−1 , . . . , v2 , v1 )T ,b n+1 ñèììåòðè÷íà, ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíàÌàòðèöà AÇäåñüè òàêîâà, ÷òîïîëó÷àþùàÿñÿ ïîñëå åå ðàçîêàéìëåíèÿ (óäàëåíèÿ ïåðâîé è ïîñëåäíåé ñòðîê àòàêæå ïåðâîãî è ïîñëåäíåãî ñòîëáöîâ) ìàòðèöàAn−1 ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé,ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé è òåïëèöåâîé.Äëÿðåøåíèÿñèñòåìû(10)ïðåäëàãàåòñÿèñïîëüçîâàòüçàäà÷è ê ñèñòåìå óðàâíåíèé ñ òåïëèöåâîé ìàòðèöåéAn−1ñâåäåíèåñ äàëüíåéøèìèñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà CPCG.Âûäåëèì â âåêòîðå íåèçâåñòíûõbxïîäâåêòîðx = (x1 , x2 , .
. . , xn−1 )Tèïåðåïèøåì ñèñòåìó (10) â ñëåäóþùåì âèäåv0 x0 + vT · x + vn xn = b0 ,x0 v + An−1 x + xn w = b,vn x0 + wT · x + v0 xn = bn .(11)(12)(13)Èç (12) ñëåäóåò, ÷òî−1−1x = A−1n−1 b − x0 An−1 v − xn An−1 w.(14)Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (11), (13), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ñèñòåìåîòíîñèòåëüíîx0èxn :TT −1T −1v0 − vT A−1n−1 v x0 + v · x + vn − v An−1 w xn = b0 − v An−1 b,TT −1vn − wT A−1vx+w·x+v−wAwxn = bn − wT A−100n−1n−1n−1 b.(15)(16)13Ïîñêîëüêó âåêòîðûA−1n−1 wA−1n−1 vèñîâïàäàþò ñ òî÷íîñòüþ äî èíâåðñíîãîðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ, äîñòàòî÷íî íàéòè ëèøü îäèí èç íèõ.Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëåíèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (10) ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõýòàïîâ.1.
Âû÷èñëåíèåA−1n−1 bèA−1n−1 v.2. Ðåøåíèå ñèñòåìû (15), (16) îòíîñèòåëüíî3. Âû÷èñëåíèåßñíî,ýòàïå÷òî1èñâÿçàíûñèñòåìâû÷èñëèòåëüíûåñíåîáõîäèìîñòüþóðàâíåíèéñïðåäëàãàåòñÿïðåäîáóñëîâëèâàòåëåìÒ.òåïëèöåâîé×åíà.ðàçäåëå3.4.3ñîáñòâåííûõäîêàçàíçíà÷åíèéòåîðåòè÷åñêîåñâîéñòâàAn−1 .ñíàëèíåéíûõÄëÿðåøåíèÿöèðêóëÿíòíûìâíèìàíèåíàòî,÷òîàðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé.îêëàñòåðèçàöèèïðåäîáóñëîâëåííîéîáîñíîâàíèåñèñòåìCPCGîáðàòèòüO(n log2 n)ïðîèçâîäÿòñÿðåøåíèÿìåòîäÑëåäóåòðåçóëüòàòçàòðàòûìàòðèöåéèñïîëüçîâàòüêàæäàÿ èòåðàöèÿ òðåáóåò ëèøüÂxn .èïî ôîðìóëå (14).îñíîâíûåàëãåáðàè÷åñêèõýòèõxx0ìàòðèöûñâåðõëèíåéíîéâáëèçèe n−1 ,AåäèíèöûêîòîðûéñõîäèìîñòèäàåòìåòîäàCPCG.Mh2Òåîðåìà 3.4.1.
