Диссертация (Исследование циклических процессов теплопроводности и термоупругости в термическом слое твердого тела сложной формы), страница 8

Вейником [78], твердые тела в зависимости от соотношения между их характерными размерами разбиваются на три группы,наиболее часто встречающиеся на практике:1) оболочки, у которых один из размеров существенно меньше двух других;2) стержни, у которых один из размеров существенно больше двух других;3) массивные тела, у которых все три размера имеют один порядок.Следует заметить, что у стержней и оболочек площадьотносится только кбоковым поверхностям, а торцевые во внимание не принимаются.

Быстротауменьшения амплитуды тепловой волны с увеличением глубины зависит от еехарактерного размера⋆=⁄– чем он меньше, тем меньше толщина тер-мического слоя. При наличии термического слоя~⋆, поэтому условие егосуществования можно записать в следующем виде:⁄⋆≫ 1.(2.30)Если тепловые волны не проникают на всю глубину тела, то не происходит их интерференции, что позволяет исследовать колебания температуры внебольшой области термического слоя независимо от остальной части тела.При выполнении условия (2.30) тепловые волны распространяются преимущественно по нормали к поверхности тела, т.е. |∇ | ≈ |⁄|, а за пределамитермического слоя температура остается практически постоянной. Принимая вовнимание все вышесказанное, а также уравнения (2.28) и (2.29), можно заключить, что колебания температуры в термическом слое зависят от формы поверхности и заданных на ней параметров – коэффициента теплоотдачи, температуры жидкой среды, средней за период температуры тела и ее градиента.Форма поверхности определяется двумя главными кривизнами.

Обозначиммаксимальный по модулю радиус главной кривизныкр ,минимальный –кр ,а55соответствующие им центры кривизн – Oкр и Oкр (рис. 2.1). В дальнейшем дляопределенности будем считать радиус кривизны положительным, если ее центрлежит на внутренней нормали к поверхности, и отрицательным в противномслучае. На рис. 2.1 изображено твердое тело, поверхность которого в точках A,B, C в соответствии с принятым правилом имеет положительные радиусы главных кривизнкр.,кр.,кр.и отрицательные –кр.,кр.,кр.. Параметры,влияющие на колебания температуры, могут значительно изменяться вдоль поверхности, поэтому толщина термического слоя в общем случае не будет всюдуодинаковой. Так как колебания вектора плотности теплового потока существенны только в направлении нормали к поверхности тела, то тепловые волныв термическом слое могут быть исследованы в одномерном пространственномприближении в одной из канонических областей в декартовой, цилиндрическойили сферической системе координат.

Система координат определяет вид дифференциального оператора ∇ и используемую пространственную переменную:в декартовой системе координат ею является глубина, в цилиндрической – радиус (полярный), в сферической – радиус. Выбор конкретной расчетной схемызависит от модулей и знаков радиусов главных кривизн в исследуемой точкеповерхности.

Всего можно указать пять расчетных схем:1) полупространство, есликр≥кр⋆≫;2) неограниченный цилиндр или пространство с цилиндрическим каналом, есликр≫кр>⋆;3) шар или пространство со сферической полостью, есликр≥кр>⋆.Вполне очевидно, что выбранная каноническая область должна учитыватьнаправление выпуклости поверхности исходного тела в рассматриваемой точке.Поэтому цилиндр в качестве геометрической области следует выбирать прикр> 0, а пространство с каналом – приус цилиндрической поверхности=кркр< 0, причем в обоих случаях ради-. Для сферической системы коорди-нат ситуация обстоит несколько сложнее, поскольку радиусы главных кривизн56могут иметь противоположные знаки (см. точку A на рис.

2.1), что не позволяетсудить о направлении выпуклости. В подобном случае следует принять во внимание, что выпуклость и вогнутость поверхности оказывают противоположноевлияние на колебания температуры, и ввести среднегармонический радиус кривизныкр=21кр+1,кр> 0 в ка-который должным образом учитывает эту особенность. Тогда прикрчестве геометрической области следует выбирать шар, а при< 0 – про-крстранство с полостью, для которых радиус сферической поверхностиЕсли окажется, чтокр≫⋆, например прикр ⁄ кр=кр.≈ −1, то в этом случаепредставляется допустимым использование в качестве расчетной схемы полупространства.Возможны два способа исследования тепловых волн с использованиемодномерных расчетных схем. Если средней за период плотностью тепловогопотока на поверхности тела можно пренебречь, то колебания температурыопределяются из решения одномерного уравнения (2.1) для полной температуры .

В таком случае в качестве граничного условия на поверхности тела используется (2.2), а на второй границе области, которая является фиктивной,ставится условие ограниченности решения. Если средней за период плотностьютеплового потока на поверхности тела пренебречь нельзя, то сначала из (2.25),(2.27) находится приближенное пространственное поле средней за период температуры тела, а уже затем определяется непосредственно колебательная составляющая температуры из решения одномерного уравнения (2.28) со следующими граничными условиями. На поверхности тела используется (2.29); нафиктивной границе для внутренней задачи ставится условие ограниченностирешения, а для внешней – условие затухания колебаний температуры на бесконечности.57Следует заметить, что при значительной средней за период плотноститеплового потока на поверхности тела колебания температуры можно определить из решения (2.1), а не (2.28), если в качестве расчетной схемы использовать плоскую, цилиндрическую или сферическую стенку с фиктивной толщинойф≫⋆.

Для таких схем на фиктивной поверхности задается постояннаятемператураф,при которой значение производной (⁄) на основной по-верхности соответствует решению пространственной задачи (2.25), (2.27). Фиктивная температура легко рассчитывается по формулам для теплопередачи через стенку, где в качестве плотности теплового потока на основной поверхности выступает величина − (⁄) , найденная из (2.25), (2.27), а в качествекоэффициента теплоотдачи и температуры жидкости используются соответственно ̅ и 〈ж〉.

В то же время решение циклической задачи теплопроводно-сти в стенке получается более сложным, чем соответствующие решения длярассмотренных выше расчетных схем, поэтому использование стенок в качестве расчетных областей представляется нецелесообразным.Уравнения (2.17) – (2.22) показывают, что нестационарность коэффициента теплоотдачи существенно усложняет интегрирование задачи теплопроводности без начальных условий, поэтому возникает закономерный вопрос о возможности замены переменного коэффициента теплоотдачи таким постояннымзначением, при котором колебания температуры в термическом слое практически не изменятся. Поставим в соответствие задаче (2.1), (2.2) с нестационарнымкоэффициентом теплоотдачи задачу= ∇−(2.31),( , , ) ∈ , > −∞;=(−где стационарный коэффициент теплоотдачиж ),=> −∞,(,(2.32),) таков, что ко-лебательные составляющие решений (2.1), (2.2) и (2.31), (2.32) близки.

Выде-58лим у температурыопределенияпостоянную составляющую. Дляосредним (2.31), (2.32) за период, что даст задачу= 0,( , , ) ∈ ;∇−Так каки колебательную=+(=−(2.33)ж ).(2.34), то с учетом (2.33) получим из (2.31), (2.32) систему−=Введем невязку ∆ =(2.35),( , , ) ∈ , > −∞;= ∇(+−ж)+, > −∞.(2.36)− . Вычтя (2.28) из (2.35), получим дифференциальноеуравнение∆⁄Допустим, что (= ∇ ∆ ,( , , ) ∈ , > −∞.⁄) =((2.37)) . В таком случае для (2.37) можно запи-сать граничное условие∆= 0, > −∞.Задача (2.37), (2.38) имеет только тривиальное решение ∆ = 0, т.е.(2.38)= .

От-сюда следует, что необходимым условием для приближенного равенства≈является приближенное равенство≈Выразиви.(2.39)из (2.27) и (2.34) соответственно и введя обозначение∆ =−,̅найдем из (2.29) и (2.36) колебательные составляющие плотностей тепловогопотока в направлении нормали к поверхности тела−≈ (+〈ж〉−ж)− ( ̅ − )∆ ;59−(=+жж ).−Приняв во внимание (2.38), запишем(+ж)−ж≈ (+〈ж〉−ж) −( ̅ − )∆ .(2.40)При высокой частоте процесса размах колебаний температуры на поверхноститела мал. Ввиду того, что ||<∆и||<∆, величинамиив фор-муле (2.40) можно пренебречь. Это даст окончательную зависимость(ж)−ж≈ (〈Если попробовать определить≈ж〉ж)−− ( ̅ − )∆ .(2.41)непосредственно из (2.41), то получится, что(〈ж〉ж) −−−ж( ̅ − )∆(2.42).жВ общем случае коэффициент теплоотдачи, описываемый (2.42), может бытьсущественно нестационарным и даже неограниченно возрастать приЧтобы избежать подобной ситуации, определимж=ж.другим способом.

Исходя из(2.41), составим невязку∆=и потребуем, чтобы(ж−ж) −(〈ж〉−ж) −( ̅ − )∆минимизировал интеграл∆.Исследовав его на экстремум, находим=(〈ж〉−ж)− ( ̅ − )∆(ж−Стационарный коэффициент теплоотдачиж)(ж−ж).(2.43), определенный с помощью (2.43),обеспечивает наилучшее приближение решения задачи (2.35), (2.36) к решениюзадачи (2.28), (2.29). Если величина ∆=(〈ж〉−ж )( ждостаточно мала, то−ж)(ж−ж).60а)б)Рис. 2.2. Характерные для парциально охлаждаемой лопатки зависимости температуры жидкой среды (а) и коэффициента теплоотдачи (б) от времени на периоде процессаВ качестве конкретного примера рассмотрим важный для практики случай, когда имеют место кусочно-постоянные на периоде зависимости температуры жидкой среды и коэффициента теплоотдачи от времени.

Подобные условия теплообмена характерны для парциально охлаждаемой рабочей лопатки. Нарис. 2.2 приведены соответствующие парциальному охлаждению зависимостиж=ж() ипарциальностиг,= ( ), которые полностью определяются степенью паровойп,температурамип<ги коэффициентами теплоотдачип,где индексами «п» и «г» обозначены параметры пара и газа. Для указанныхзаконов легко находятся размах колебаний температуры жидкой среды∆ж=г−п,ее средняя за период температураж=п п+ (1 −п) г,средний за период коэффициент теплоотдачи̅=п п+ (1 −и коэффициент интенсивности охлажденияп) гп ⁄ г.=При этом вместокоэффициент теплоотдачи может быть задан значениями ̅ и :п=г=̅1 + ( − 1)п̅1 + ( − 1)п;.пиг61В общем случаег=г(,п),,=п=п(,п(),,,г(=г,),,п=п(,,),), а также имеет место запаздывание из-,менения знака плотности теплового потока вдоль поверхности тела, поэтомужгде = (,〈=ж(,, − ), = (,,, − ),,) – время запаздывания, с.