Диссертация (Исследование циклических процессов теплопроводности и термоупругости в термическом слое твердого тела сложной формы), страница 7

Для этого необходимо, чтобы количество теплоты, выделившейся внутри тела и подведенной черезего поверхность за период, было равно нулю. В таком случае говорят об установившемся характере изменения температуры тела во времени.Тепловое состояние тела без внутренних источников теплоты, помещенного в поток жидкости с циклически изменяющейся температурой, стабилизируется с течением времени [129].

Когда количество теплоты, сообщенной емуза цикл, становится равным нулю, процесс теплообмена выходит на установившийся режим, а в теле формируется нестационарное периодическое полетемпературы, не зависящее от начального теплового состояния. Стабилизированная температура является решением задачи теплопроводности без начальных условий= ∇−где,( , , ) ∈ , > −∞;(2.1)= ((2.2)−ж ),> −∞,= ( , , , ) – температура тела в точке с координатами ( , , ) в мо-мент времени , К; ∇ ≡ ∇ ⋅ ∇ – оператор Лапласа; ∇ – оператор Гамильтона;занятая телом область пространства;сти, м ⁄с;– коэффициент температуропроводно-– коэффициент теплопроводности, Вт⁄(м ⋅ К);= (нормали к поверхности тела, м;отдачи, Вт⁄(м ⋅ К);ж=ж(,,,,≡ |,ж|≡ж|, где– вектор внешней, ) > 0 – коэффициент тепло-, ) – температура жидкой среды, К; ин-декс « » относится к параметрам на поверхности тела|–=– период процесса, с.Задачу (2.1), (2.2) можно представить в безразмерном виде.

Кроме того,45̂= Bi(−где=( −〈ж〉)⁄〈∆〈̂=,( , , ̂ ) ∈ , ̂ > −∞;= Fo ∇ж〉ж〉 =−ж ),(2.3)̂ > −∞,(2.4)– безразмерная избыточная температура тела;1;〈∆жж〉 =1∆ж– безразмерная переменная времени; Fo = ⁄(;) – критерий Фурье;∇ ; ( , , ̂ ) = ( ⁄ , ⁄ , ⁄ ) – безразмерные координаты точки;∇ =–занятая телом область в системе безразмерных пространственных координат;= ⁄ – характерный размер твердого тела, м;ла, м ;– площадь поверхности те-= ⁄ – вектор внешней нормали к поверхности– объем тела, м ;тела в системе безразмерных пространственных координат; Bi =рий Био;ж=(ж−〈ж〉)⁄〈∆ж〉⁄ – крите-– безразмерная избыточная температуражидкой среды.

На практике встречаются две ситуации, для которых следуетпровести предельный анализ (2.3), (2.4). При его проведении будем полагать,что искомое решение и его производные, входящие в (2.3) и (2.4), являютсяограниченными функциями.Как известно, с повышением частоты процесса размах колебаний температуры тела уменьшается. Поскольку Fo → 0 при→ ∞, то из (2.3) следует,чтоlim→т.е.

( , , ̂ , ̂ ) → ( , , ̂ ) прив (2.3) и (2.4) при̂= 0,→ ∞. Непосредственный предельный переход→ ∞ не позволяет получить краевую задачу для предельнойформы решения. Для ее нахождения осредним (2.3) и (2.4) за период, что приведет к системе уравнений∇ ̅ = 0,( , , ̂ ) ∈ ;(2.5)46̅−= Bi12 Bî−〈Biж〉,(2.6)где〈ж〉=BiжУчитывая, что ̅ ( , , ̂ ) → ( , , ̂ ) при̂̂.Bi→ ∞, осуществим в (2.5) и (2.6) пре-дельный переход, в результате которого получим квазистационарную формукраевой задачи (2.3), (2.4)∇−= 0,( , , ̂ ) ∈ ;= Bi(−〈ж〉(2.7)).(2.8)Система (2.7), (2.8) может быть использована для приближенного нахожденияполя температуры при очень высокой частоте процесса, когда тепловое состояние тела практически не изменяется во времени.Совершенно иная ситуация имеет место при высокой теплопроводностиматериала или малых размерах тела, большом периоде цикла и низкой теплоотдаче. В этом случае мала пространственная неравномерность температуры тела.ПосколькуДж⁄(кг ⋅ К);= ⁄(), где– удельная массовая теплоемкость материала тела,– плотность материала тела, кг⁄м , то можно установить, чтоlim Fo = lim Fo = lim Fo = ∞.→→→В свою очередь,lim Bi = lim Bi = lim Bi = 0.→→→Выполнив в (2.3) и (2.4) соответствующие предельные переходы, получим дляобоих указанных практических случаев краевую задачу∇= 0,( , , ̂ ) ∈ , ̂ > −∞;= 0, ̂ > −∞,47решение которой не зависит от пространственных переменных, т.е.

поле температуры является безградиентным. Найдем математическое описание безградиентного поля температуры. Для этого перейдем к размерным переменным,применим к (2.1) теорему Гаусса-Остроградского и учтем ГУ (2.2), что дастуравнение(=ж)−При безградиентном поле температуры, > −∞.⁄= ( ),⁄≡, поэтомуокончательно запишем=где=(〈ж〉ж〉=〈(2.9)( ) – темп процесса теплообмена, Гц:=〈− ), > −∞,ж〉1;( ) – осредненная температура жидкой среды, К:〈ж〉=.жЧтобы получить зависимость температуры от времени в аналитически замкнутом виде, рассмотрим вместо (2.9) краевую задачу с условием периодичности:=(〈ж〉− ),0 ≤ < ;(2.10)( ) = (0).(2.11)Интеграл ОДУ (2.10) имеет вид [47]:( )=( )(0) +( )( )=( )( )〈где.ж〉( ),(2.12)48Подставив (2.12) в (2.11), найдем( )(0) =( )1−( )〈( )ж〉( ),с учетом чего (2.12) примет вид( )( )=( )( )1−( )( )〈ж〉( )( )+( )〈ж〉( ).Полученная зависимость справедлива при ∈ [0, ].

Для произвольного момента времени можно записать( )( )=()( )1−( )〈( )+где modж〉( )( )+( )〈ж〉( ),(2.13)= − ⌊ ⁄ ⌋; ⌊ ⁄ ⌋ – целая часть числа ⁄ . Зависимость (2.13)может быть использована для приближенного исследования циклического полятемпературы с малой пространственной неравномерностью.В общем случае температура тела зависит как от пространственных координат, так и от переменной времени. Для ее нахождения необходимо решить(2.1), (2.2), что может быть сделано с помощью метода разделения переменных.Для того чтобы искомая зависимость была периодической функцией времени,спектр собственных значений соответствующей задачи Штурма-Лиувилля должен состоять из чисто мнимых сопряженных комплексных чисел, модули которых кратны круговой частоте процесса.

В таком случае зависимость темпера-туры от времени можно представить в виде комплексной формы тригонометрического ряда Фурье. При переходе к функциям действительного переменногоэта зависимость примет вид49=( , , ),=где2[+cos()+( , , ),=sin()] ,(2.14)( , , ) – коэффициенты ряда, К.=Для определения каждого коэффициента необходимо решить соответствующуюему краевую задачу. Чтобы вывести систему уравнений для коэффициентов,необходимо разложить входящие в ГУ (2.2) произведенияижв тригоно-метрические ряды Фурье:=cos()+cos()++2sin() ;(2.15)sin() ,(2.16)жж(=гдеж=ж=(,2,,,),+ж),=жж=эффициенты рядов, Вт⁄м ; (,,((,,,)∈ж,),),ж(==ж(,,,,),) – ко-– точка на поверхности тела. Под-ставив (2.14), (2.15), (2.16) в (2.1), (2.2) и воспользовавшись ортогональностьютригонометрической системы функций, получим систему уравнений∇−=∇=∇−ж, > −∞;= 0,( , , ) ∈ ;−−−= 0,( , , ) ∈ ;−ж, > −∞;= 0,( , , ) ∈ ;+=−ж, > −∞,(2.17)(2.18)(2.19)(2.20)(2.21)(2.22)из решения которой определяются все неизвестные коэффициенты в (2.14).50Основная сложность в постановке (2.17) – (2.22) заключается в том, что вграничные условия входят коэффициенты разложения произведениядержащего неизвестную искомую функцию, со-, из-за чего они не могут бытьопределены непосредственно.

Для выхода из этой ситуации используем правило умножения [123], согласно которому коэффициенты разложения произведения двух периодических функций в тригонометрический ряд Фурье могут бытьвыражены через коэффициенты разложения его множителей:==2=(=где(=,;12(+)+(+);+12(−)−(−),),=),,енты разложения++2,+2(=,, Вт⁄(м ⋅ К);,(=,(,),,) – коэффици-,(=,,),). Отсюда следует, что при нестационарном коэффициенте,теплоотдачи все искомые коэффициенты (2.14) оказываются связанными междусобой, хотя задача (2.1), (2.2) является линейной.

При стационарном коэффициенте теплоотдачи= (,,) эффект связанности пропадает, посколькуГУ (2.18), (2.20), (2.22) принимают видгдеж=ж(,−=−ж, > −∞;−=−ж, > −∞;−=−ж, > −∞,,фициенты разложения),жж=ж(,,),ж=ж(в тригонометрический ряд Фурье, К.,,) – коэф-51Также имеет место связанность коэффициентови, которые входятв каждое из уравнений (2.19) и (2.21). Исключив из них коэффициентчим для, полу-дифференциальное уравнение⁄ )+(∇= 0,( , , ) ∈ ,(2.23)где ∇ ≡ ∇ ∇ .

Определив общее решение (2.23), можно найтииз (2.19).Из (2.14) следует, что у поля температуры можно выделить постояннуюсоставляющую= ( , , ) и колебательную== ( , , , ), т.е.+ .(2.24)Очень часто наибольший интерес для практики представляет именно колебательная составляющая поля температуры, от которой зависят возникающие втеле термоциклические напряжения.

Рассмотрим ее определение при высокойчастоте. Осреднив (2.1) и (2.2) за период с учетом (2.15), получим задачу= 0,( , , ) ∈ , > −∞;∇= ̅−+12 ̅(2.25)−〈+ж〉(2.26),где〈ж〉=.жОценим сумму ряда в правой части (2.26), приняв во внимание, что для коэффициентов тригонометрического ряда периодической функции( ) с ограни-ченным изменением справедливы оценки [34]≤∆,≤∆, ≠ 0.Тогда12 ̅+≤12 ̅+≤≤∆ ∆̅1=∆ ∆6 ̅.52При высокой частоте процесса размах колебаний температуры на поверхноститела мал, поэтому рядом в правой части (2.26) можно пренебречь. Посколькузадача (2.25), (2.26) дляявляется корректно поставленной, то малое измене-ние краевой функции приведет к малому изменению решения. Таким образом,при высокой частоте процесса можно получить приближенное поле средней запериод температуры из решения (2.25) с ГУ= ̅(−−〈ж〉).(2.27)Очевидно, что задача (2.25), (2.27) представляет собой квазистационарнуюформу (2.1), (2.2).

Подставив (2.24) в (2.1), (2.2) и приняв во внимание (2.25),получим длясистему уравнений,( , , ) ∈ , > −∞;= ∇−= (+−ж)+, > −∞.(2.28)(2.29)При высокой частоте процесса система (2.28), (2.29) может быть решена послеприближенного определения .Решение (2.28), (2.29) в пространственной постановке представляет неменьшие трудности, чем решение исходной задачи (2.1), (2.2). Однако можнопредложить приближенный подход к интегрированию задачи (2.28), (2.29), заключающийся в переходе к одномерной пространственной постановке.При отсутствии в теле периодически действующих источников теплотыразмах колебаний температуры уменьшается по мере удаления от его поверхности вглубь тела, причем тем быстрее, чем выше частота процесса. При достаточно высокой частоте процесса или больших размерах тела тепловые волнызатухают в его поверхностном слое, не достигнув центральной части.

В такихслучаях удобно по аналогии с теорией пограничного слоя ввести понятие термического слоя толщиной(рис. 2.1), которая является решением уравнения∆ (,,, )= ∆,53Рис. 2.1. Затухание тепловых волн в поверхностном слое твердого телагде– глубина, отсчитываемая от поверхности тела вдоль ее внутренней нор-мали, м; ∆ (,,точки поверхности (, ) – размах колебаний температуры на глубине,,);≪ 1, обычноот= 0,01. Без решения задачитеплопроводности нельзя определить толщину термического слоя, однако можно установить его существование.

Очевидно, что толщина термического слоядолжна быть гораздо меньше характерного поперечного размера тела. Как известно [44], скорость распространения изотермической поверхности зависит отформы и размеров тела, в первую очередь от отношения его объема к площадиповерхности, поэтому характерный размер твердого тела следует определять54как=⁄ , где– площадь поверхности теплообмена, м ; – параметр, ха-рактеризующий форму тела: = 1 – для оболочек; = 2 – для стержней; = 3 –для массивных тел. Здесь по аналогии с принципом стабильности теплового потока, предложенным А.И.