Диссертация (Исследование циклических процессов теплопроводности и термоупругости в термическом слое твердого тела сложной формы), страница 6

Однако в последнем случае оказывается проблематичным выделение в решении установившейся периодической составляющей. Кроме того, приближенные методы дают искомые зависимости в достаточно громоздком виде, не слишком удобном дляпрактических расчетов.При использовании интегрального преобразования по пространственнойпеременной можно получить циклическую составляющую температуры, еслизаменить начальное условие условием периодичности (1.4). В таком случаевнутренняя задача сводится к решению интегрального уравнения ВольтеррыФредгольма II рода [150] для температуры поверхности, а решение внешней задачи с помощью расщепления ядра преобразования может быть получено ваналитически замкнутом виде.

В известной автору литературе подобные подходы не упоминаются, хотя предлагаются другие методы нахождения циклического решения уравнения теплопроводности при нестационарном коэффициенте теплоотдачи.В работе М.А. Каганова и Ю.Л. Розенштока [46] методом разложения помалому параметру было найдено установившееся решение задачи теплопроводности при гармонических колебаниях температуры жидкой среды и коэффициента теплоотдачи. Полученные результаты показали, что нестационарность коэффициента теплоотдачи приводит к появлению в искомой зависимости гармоник высшего порядка, в результате чего она представляет собой тригонометрический ряд Фурье некоторой периодической функции.В уже цитированной монографии [60] Ю.А.

Кирсановым был предложенспособ расчета тепловых волн в насадках регенераторов при кусочнопостоянной зависимости коэффициента теплоотдачи от времени. Суть методарассмотрим на примере задачи (1.11) – (1.14), полагая коэффициент теплоотдачи в (1.13) кусочно-постоянной функцией времени, принимающей за период38только два значения –и. Длительности промежутков постоянства коэф-фициента теплоотдачи составляютисоответственно, т.е.=+. Длякаждого промежутка времени будем решать свою задачу теплопроводности, отсчитывая время от его начала.

В качестве начального условия примем условиепереключения [131], заключающееся в равенстве полей температуры в концеодного промежутка времени и начале другого. Оно вытекает из того, что температура в циклическом процессе должна быть непрерывной периодическойфункцией времени. Обозначив параметры, относящиеся ки, одним и дву-мя штрихами соответственно, запишем математическую модель процесса:Fo=,0 <(0, Fo)−(1, Fo)Fo,0 <(0, Fo)−где Fo =⁄(1, Fo)= Bi [(1.16)= 0,0 ≤ Fo < Fo ;= Bi [ (1, Fo) −=(1.15)< 1,0 ≤ Fo < Fo ;ж (Fo)],0≤ Fo < Fo ;(1.18)< 1,0 ≤ Fo < Fo ;(1.19)= 0,0 ≤ Fo < Fo ;(1, Fo) −ж(1.17)(Fo)],0 ≤ Fo < Fo ;(1.20)( , Fo ) =( , 0),0 ≤≤ 1;(1.21)( , Fo ) =( , 0),0 ≤≤ 1,(1.22)– критерий Фурье.Решения краевых задач с постоянными коэффициентами теплоотдачи(1.15) – (1.17) и (1.18) – (1.20), полученные с помощью конечного интегрального косинус-преобразования Фурье, имеют аналогичный (1.5) вид:( , Fo) =где(, , Fo)[(, 0) + (, Fo)] ,(1.23)39( , Fo) =2 cos( )+ sin cos( , Fo) = Bi cos(Для нахождения, 0) иж((;)., 0) подставим в условия переключе-ния (1.21) и (1.22) решения (1.23):(, , Fo )[((, , Fo )[, 0) + ((, Fo )] =, 0) + ((, Fo )] =Воспользуемся тем, что системы функций cos(, , 0)(, , 0)) и cos((, 0) ;(, 0) .) являются орто-гональными и полными на отрезке [0,1].

Умножим первое из полученных равенств на cos(), а второе на cos(), после чего проинтегрируем их поот 0 до 1. Это даст уравнения((, 0) =(, 0) =(,, Fo )[(, 0) + (, Fo )] ;,, Fo )[(, 0) + (, Fo )] ,где( , , Fo ) =(Исключив из них+ sin cossin( − ) sin( + )+.−+, 0), получим бесконечную систему линейных алгеб-раических уравнений с бесчисленным множеством неизвестных(, 0) =+((,,, Fo ), Fo )(,, Fo )(,, Fo ) ((, 0) +, Fo ) + (, Fo ) ,40из которой определяются(, 0).Ю.А. Кирсанов в своей монографии обобщил результаты для произвольного количества промежутков постоянства коэффициента теплоотдачи на периоде, получил решения с улучшенной сходимостью рядов Фурье для насадки спокрытием, а также исследовал двумерное поле температуры насадки при изменении температуры жидкой среды как во времени, так и по ее длине.

В последнем случае коэффициент теплоотдачи на боковой поверхности зависелтолько от времени. Для двумерной задачи Ю.А. Кирсанов доработал методулучшения сходимости рядов Фурье.Оба указанных метода накладывают ограничения на вид зависимости коэффициента теплоотдачи от времени. Кроме того, представляется целесообразным использовать однотипный подход для решения задач теплопроводности итермоупругости. Поскольку малый параметр в законе колебаний коэффициентатеплоотдачи не входит в явном виде в краевую задачу термоупругости, то разложение по нему решения выглядит не слишком удобным. Применение интегральных преобразований по пространственной переменной осложняется тем,что их ядра для тепловой и механической частей задачи имеют разный вид, чтоснижает общность подхода.

Поскольку поле температуры и напряженнодеформированное состояние предполагаются циклически изменяющимися вовремени, то для их исследования следует привлечь либо тригонометрическиеряды Фурье, либо преобразование по переменной времени. Таким образом поступил Р.С. Минасян в работах [88, 89], где он нашел с помощью конечногокомплексного преобразования Фурье установившиеся решения уравнения теплопроводности для сплошного и полого цилиндров при произвольных периодических зависимостях коэффициентов теплоотдачи и температур жидкостейот времени.

Для определения входящих в них постоянных интегрирования изГУ III рода были получены бесконечные системы линейных алгебраическихуравнений с бесчисленным множеством неизвестных. Искомые зависимостидля температур были найдены после перехода от комплексной к действитель-41ной форме тригонометрических рядов Фурье.

Самим автором независимо былиполучены аналогичные результаты для сплошного цилиндра [57], однако краевая задача теплопроводности была решена с помощью метода разделения переменных для периодического процесса, с математической точки зрения эквивалентного конечному комплексному преобразованию Фурье по переменной времени. Два последних подхода не претерпевают изменений в различных системах пространственных координат и позволяют получить циклическое полетемпературы при произвольном периодическом законе изменения коэффициента теплоотдачи во времени.

Поскольку метод разделения переменных дает возможность сразу искать решение в действительной форме, тем самым уменьшаяколичество промежуточных выкладок, то он был выбран для проведения диссертационных исследований.1.4. Краткие итоги главыЗадачи, связанные с тепловыми волнами, возникают в различных областях техники. В некоторых случаях тепловые волны вызывают в твердых телахзаметные термоциклические напряжения, которые могут привести к усталостному разрушению материала. Типичным примером детали, подверженной воздействию тепловых волн и термоциклических напряжений, является парциально охлаждаемая рабочая лопатка газовой турбины.

Несмотря на то, что парциальному охлаждению посвящен ряд исследований, в них не затрагивается вопрос о выносливости материала охлаждаемых лопаток под действием термоциклических напряжений. Заключение о прочности лопаток в таких условияхработы может быть сделано на основе критериев усталостного разрушения, дляиспользования которых требуется знать возникающие в них напряжения.Напряжения, вызванные неравномерным полем температуры, могут быть определены из решения несвязанной задачи термоупругости.

Расчет термонапряженного состояния модели реальной лопатки может быть выполнен толькочисленными методами и требует значительных вычислительных ресурсов ивремени. Поскольку из-за высокой частоты вращения ротора тепловые волны и42термоциклические напряжения затухают в тонком поверхностном слое материала лопатки, то для их расчета представляется целесообразным использованиетакой одномерной пространственной модели, которая бы адекватно отражалаосновные особенности и определяющие параметры процесса.

Преимуществоуказанного подхода заключается в возможности аналитического интегрирования задачи термоупругости. В общем случае высокочастотные колебания температуры могут иметь место в теле произвольной формы, отличной от пера лопатки, поэтому разработка расчетных схем для исследования тепловых волн итермоциклических напряжений, затухающих в поверхностном слое твердоготела сложной формы, представляет несомненный практический интерес.В реальном процессе коэффициент теплоотдачи является нестационарнойвеличиной. Учет в расчетной схеме этого обстоятельства значительно усложняет решение задачи теплопроводности.

Хотя и существует ряд методов, позволяющих получить аналитическое представление поля температуры при произвольном законе изменения коэффициента теплоотдачи во времени, однако онидают искомую зависимость в достаточно громоздком виде, не слишком удобном для практических расчетов. Кроме того, в найденном с их помощью решении довольно сложно выделить установившуюся периодическую составляющую, которая представляет непосредственный интерес для исследования прициклическом процессе теплообмена. В связи с этим для исследования тепловыхволн и термоциклических напряжений следует привлечь аппарат тригонометрических рядов Фурье, что позволит использовать однотипный подход как длярешения задачи теплопроводности, так и термоупругости.43ГЛАВА 2.

РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯТЕПЛОВЫХ ВОЛН И ТЕРМОЦИКЛИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙВ ТЕРМИЧЕСКОМ СЛОЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА СЛОЖНОЙ ФОРМЫ2.1. Подходы к исследованию тепловых волни термоциклических напряжений в твердом телеПри исследовании циклических процессов в диссертации будет использоваться теория тригонометрических рядов Фурье, поэтому сначала укажем основные обозначения, которые будут применяться в дальнейшем.Любая периодическая функция ( ) ≡ ( + ), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в ряд( )=2+cos()+sin() ,коэффициенты которого определяются по формулам=2( )а свободный член;=2( ) cos()=;2( ) sin(),⁄2 является средним за период значением функции̅≡〈 〉≜1( ).Помимо среднего значения ̅ к характеристикам периодической функции такжеотносится размах колебаний ∆ , под которым понимается разность ее максимального и минимального значений за период:∆ = max [ ( )] − min [ ( )] .Так как исследуемые поля являются периодическими функциями времени, тоони могут быть разложены в ряды Фурье, однако в общем случае коэффициенты этих рядов и размахи колебаний будут зависеть от пространственных координат.44Если удельная мощность внутренних источников теплоты и плотностьтеплового потока на поверхности твердого тела изменяются во времени по периодическим законам с одинаковым периодом, то температура тела также может циклически изменяться во времени с той же частотой.