Диссертация (Исследование циклических процессов теплопроводности и термоупругости в термическом слое твердого тела сложной формы), страница 4

Трухний исследовал термоциклические напряжения в лопатках прикусочно-постоянной зависимости температуры среды от времени на периоде,которая характерна для парциального охлаждения. Коэффициент теплоотдачипринимался постоянным во времени и по высоте и переменным вдоль профиля.Рассматривалось распространение теплоты только вдоль скелетной линии, выступающей в качестве оси стержня переменной толщины, которым заменяласьреальная лопатка. Такая постановка позволила свести задачу к решению нестационарного одномерного уравнения теплопроводности, для чего предлагалосьиспользовать два подхода.

Первый заключался в численном решении уравненияметодом конечных разностей по явной или чисто неявной схемам, а второй – вчисленно-аналитическом. Последний способ предполагал аналитическое представление периодической зависимости температуры от времени за счет ее разложения в тригонометрический ряд Фурье и численное решение получившихсяобыкновенных дифференциальных уравнений.

А.Д. Трухний предложил и более простой, но менее точный способ решения тепловой задачи. Пренебрегаятеплопроводностью вдоль скелетной линии, он получил для любой ее точкиобыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее среднюю по толщине температуру. Выведенное уравнение было аналогично тому, что рассматривал И.А. Барский. С помощью метода Дюамеля А.Д. Трухний нашел егоустановившееся решение при кусочно-постоянной на периоде температуре газа.Была проведена серия расчетов для турбинных лопаток завода «Экономайзер»при периоде цикла= 15 с, причем задача теплопроводности решалась мето-дом конечных разностей по явной схеме, а термоупругие напряжения определялись по формуле Биргера-Малинина. Предложенная А.Д. Трухнием расчетная схема хотя и является более точной, но по отношению к парциально охла-24ждаемым лопаткам обладает тем же недостатком, что и подход И.А.

Барского.Он заключается в ограничении области ее применения достаточно низкочастотными процессами, когда температура по толщине лопатки выравниваетсябыстрее, чем изменяются параметры среды, в то время как при высоких частотах колебания температуры в поверхностном слое мало сказываются на еесреднем по толщине значении.Таким образом, оценка термоциклических напряжений в парциальноохлаждаемой лопатке требует специального подхода, который бы адекватно отражал основные особенности и определяющие параметры процесса.

К такимособенностям относятся принципиальная нестационарность коэффициента теплоотдачи, связанная с использованием в качестве охлаждающего агента водяного пара, и периодичность процесса. Так как тепловые волны распространяются преимущественно по нормали к поверхности лопатки, то представляетсяцелесообразным выбрать для их исследования одномерную пространственнуюмодель, допускающую получение аналитического решения, более удобного дляпоследующего анализа по сравнению с численным. Следует заметить, что приизвестной зависимости температуры от пространственной координаты и времени напряженно-деформированное состояние твердого тела обычно может бытьопределено с помощью хорошо отработанных аналитических методов [52, 86,93], в то время как расчет теплового состояния при нестационарном коэффициенте теплоотдачи является нетривиальной задачей.1.3.

Аналитические методы исследования тепловых волнпри нестационарном коэффициенте теплоотдачиВ связи с практической важностью периодически изменяющегося во времени поля температуры методы его аналитического исследования хорошоосвещены в литературе. Среди аналитических методов решения подобного родазадач широкое распространения получили разработанный Ж.Б. Фурье методразделения переменных и операционный метод.25Применение метода Фурье для расчета тепловых волн в полупространстве и пластине при граничных условиях I и III рода приводится в трудахС.И. Исаева с соавторами [116], А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [122], Д.В.Сивухина [107], Э.Р.

Эккерта и Р.М. Дрейка [142], Г. Гребера, С. Эрка и У. Григулля [29]. При использовании данного способа периодическая зависимостьтемпературы поверхности тела или жидкой среды раскладывается в тригонометрический ряд Фурье, в виде которого затем получается и искомое установившееся поле температуры. Линейность тепловой задачи позволяет при необходимости рассчитать затухающий переходный процесс, для чего решается соответствующая начально-краевая задача теплопроводности с однороднымиграничными условиями, учитывающая найденную циклическую составляющуюполя температуры и начальное условие.

На это обращают внимание Э.Р. Эккерти Р.М. Дрейк в [142], хотя и не приводят окончательных расчетных зависимостей.Значительное внимание уделяется температурным волнам в строительнойтеплофизике [17], поскольку они возникают в многослойных ограждениях зданий из-за суточного изменения температуры воздуха и интенсивности солнечного излучения. Для решения таких задач в СССР была разработана теориятеплоустойчивости, базирующаяся на работах О.Е. Власова [24], Г.А. Селиверстова [105], С.И.

Муромова [90], А.М. Шкловера [140], Л.А. Семенова [106],К.Ф. Фокина [130]. В основе теории лежит нестационарное периодическое решение уравнения теплопроводности, полученное с помощью метода разделенияпеременных.Использование преобразования Лапласа при решении начально-краевойзадачи теплопроводности позволяет определить как циклическую составляющую поля температуры, так и переходную. Операционный метод применялсяпри исследовании тепловых волн в полупространстве, пластине, цилиндре ишаре при граничных условиях III рода в работах Э.М. Карташова [50], А.В. Лыкова [77], А.Д.

Пинчевского [95] и самого автора [56]. При этом А.В. Лыков ис-26следовал случай гармонических колебаний температуры жидкой среды, в [56]рассматривался произвольный периодический закон, представленный в видеряда Фурье, а Э.М. Карташов и А.Д. Пинчевский изучали кусочно-постояннуюна периоде температуру жидкости, описываемую при помощи функций Хевисайда. Зависимость установившейся составляющей поля температуры от времени в работах [50, 56, 95] была получена в виде тригонометрического рядаФурье, только в [56] он был представлен в комплексной форме, а в [50, 95] внеявной, учитывающей сдвиг фаз гармоник по глубине тела.Наиболее подробно тепловые волны исследованы в монографии Г.

Карслоу и Д. Егера [49]. В ней приведены решения задач для полупространства,пластины, полуограниченного и ограниченного стержней, цилиндра, шара, пространств с цилиндрическим каналом и сферической полостью при граничныхусловиях I, II и III рода, полученные с помощью метода разделения переменных, преобразования Лапласа и метода Дюамеля. Также методом разделенияпеременных решена задача для движущегося полупространства, а операционным методом – для прямоугольного параллелепипеда, показано применениематричного метода для расчета колебаний температуры в составных областях иметода источников для расчета тепловых волн в пространстве с периодическидействующим источником тепла.

Отдельный интерес представляют модификации метода Дюамеля и операционного метода для установившегося периодического состояния, которые позволяют получить решение для температурныхволн не в виде тригонометрического ряда Фурье по переменной времени, а ввиде ряда Фурье по пространственной переменной. Оба подхода рассмотренына примере пластины с пульсирующей температурой поверхности, и приведенынекоторые решения того же типа.Помимо указанных методов, для расчета тепловых волн в твердых телахможет быть использован метод интегральных преобразований по пространственной переменной.

В таком случае для получения установившегося решениявкачественачальногоусловияиспользуетсяусловиепериодичности.27Ю.А. Кирсанов использовал метод конечных интегральных преобразований дляисследования циклических тепловых процессов в элементах регенеративныхвоздухоподогревателей [60].

Основную идею метода рассмотрим на примеререшения задачи по определению поля температуры пластины, на поверхностикоторой происходит теплообмен с жидкой средой с циклически изменяющейсятемпературой. Математическая модель процесса имеет вид:Fo=,0 <(0, Fo)(1, Fo)−= Bi[ (1, Fo) −ж (Fo)],0где= ( , Fo) – температура пластины, К;та;– координата точки пластины, м;⁄– число Фурье;с;ж (Fo)рий Био;=ж (Fo + Fo⁄(1.3)≤ Fo < Fo ;≤ 1,(1.4)= ⁄ – безразмерная координа-– половина толщины пластины, м;– время, с;ности твердого тела, м ⁄с; Fo =(1.2)= 0,0 ≤ Fo < Fo ;( , Fo ) = ( , 0),0 ≤Fo =(1.1)< 1,0 ≤ Fo < Fo ;– коэффициент температуропровод– критерий Фурье;– период цикла,) – температура жидкой среды, К; Bi =– коэффициент теплоотдачи, Вт⁄(м ⋅ К);⁄ – крите-– коэффициент тепло-проводности твердого тела, Вт⁄(м ⋅ К).Применяя конечное косинус-преобразование Фурье к (1.1) – (1.4) и интегрируя полученное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), находим решение для изображения( , Fo) ≜ ℱ [ ( , Fo)] ≡cos() ( , Fo)в следующем виде:( , Fo) =( , 0) + Bi cosОтсюда с учетом условия периодичностиж().28( , Fo ) =( , 0)получаем зависимость для начального условия( , 0) =Bi cos1−ж(),после чего с помощью формулы обращения определяем искомое решение( , Fo) =где2) ( , Fo)cos(,+ sincos(1.5)– занумерованные в порядке возрастания положительные корни транс-цендентного уравненияctg=⁄Bi .К недостаткам полученного решения можно отнести неравномерную сходимость ряда Фурье в (1.5) вблизи поверхности и необходимость нахождениякорней соответствующего задаче трансцендентного характеристического уравнения.

В своей монографии [60] Ю.А. Кирсанов для улучшения сходимости рядов Фурье использовал разработанный Э.М. Карташовым метод [50]. Следуетзаметить, что в исследованиях Ю.А. Кирсанова условие периодичности (1.4)было задано в несколько ином виде, что потребовалось для дальнейшегоусложнения математической модели процесса.В статье А.И. Гайворонского и В.А. Федорова [25] исследовалось циклическое изменение температуры воздуха в щели при фиксированной температуре поверхностей и гармонических колебаниях давления среды, представленныхв комплексной форме. Для этого с помощью конечного синус-преобразованияФурье было решено упрощенное уравнение сохранения энергии, имеющее видуравнения теплопроводности с источниковым членом, в который входило давление среды. Полученное решение представляло собой ряд Фурье по пространственной переменной, а его члены включали функции комплексного переменного и учитывали затухающий переходный процесс.