02 (Ряды (Кузнецов Л.А.))

Найти сумм ряда 18 Произведем зквивалснтные преобразования ря нк Так как и -13п 40 = (п-5)(п-8), то получаем. что исходный ряд мы можем переписать в следующем виде: 18 . 18 1 1 ~" '2пг — 13п+40 "='1и-5)1п — 8) ! и — 5 и -8 — — — ) ~ = ~~» ',18 — ( — — — ) = Зп — 8 и — 5г ""' 3 и — 8 и — 5 1 ! 1 . 1 =б2 „,! — — )=Ь1,'~ „— -~,— ) "' и — 8 .и — 5 "~п — 8 "'и-5 1 Рассмотрим ряд ~ """ и — 8 Произведем замену ',и-8 = 1), твида суммирование ждет ! производиться от 1 = и-8 =','п=9г= 9 — 8 ==1. а .

и — 8 гт т . 1 Подставим полученньм зегачення в ряд 7 м-г гг 8 Произведем аналогичные преобразования и с рядом Х;;., 1 „— --. Тогда для него замена 1и-5=!г): ""и — 5 1 1 паиазиигое й =- и-5 = зп=й' = Π— .'., = 1 и — 5 1 Подставим данные в ~ ''п — 5 Итак, мы получили„что исходный ряд равен разности двух рядов: 18 "=" и — ! Зп+ 40 ~"=' !г ~'=' 1г Исследовать рял на сходимость; агси1-и и Ооозначим а„=- агсгя и и' 1ак каь лля всех и 1' — ) >агс1я и>0 го для всех верно след~:юшее утверждение: и а, < — — ' и' 4 л' ..

1 Докажем схолимость ряда — 7" —,—. 1'огда из его 4 ~н. ~ 3 сходимости будет следовать сходимость исходного ряда. так как тогда ои будет ог.раничен сходяигнмся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда неотрипатсльны). 1 Обозначим Ь„=- ' —,. По признаку сравнения (говорящем). 1 что рял виды гу --- сходится только при условии, чго а с: рого бальгие 1, ие. а>1 н расходится в противном случае. и ~ 1 при а <1)' ряд — ' 7" --.- сходится. так как выполняется х ~~во ':слоиие схолимости: 3>1.

агсгя-и :.1)нагом) и исхолныи ряд ~ тоже сходится. а Ответ: ряд ~ -,.-- ~г-.-.. сходится. агсгя и и3 Исследова гь ряд на сходнмостзп 1 1 ,),— — (а -— '"'и ь4 чп 1 1 1 яп(! ~~'п1 Обозна-пид а. = — (я — = — — т — ='. п+ 4 .,'и и+4 соя~1,~~ и) 1 1 1 1 Прн и — э =с з1п — = —,, соз — = 1 — —, позтому г з~п ('и з и 2п сходимость исходного ряда зквнвалентна сходимости следукипего ряда: " '~~и(п — ) " и 2и и Докажем сходимость ряда у'" . Тогда нз его 1 и" сходнмостн будет следовать сходимость исходного ряда.

гак как тогда он будет ограничен сходящимся рядом свсрху и пулем спзтзу (все члены ряда неотрнцательны). '4 ' Ооозна им (з„=,- —.—,. По признаку сравнения (говорящему. и что ряд вида . à †сходит только прн условии. что а " 'и" строго больше 1. т.е. а>! н расходится в противном случае. 1 прй' а<1) .ряд~ ==- сходится. так как выполняется п п условие сходпмостн; 15>1. 1 1 11озтому н нсходньзй ряд х — пд, тоже сходится. .~5=.: и, 4 ~П с ~ 1 1 Ответ: ряд у — - — !ы —, сходится. " 'и+4 Задача 4 Исследовать рял на сходимость: (д1)— У вЂ”, о ~ (п1') и! 1 2 6 и -- ( —;--) — ( —— 2" 2п' 2 2" 2"' 2' 2" 2 )ак как 2" растет быстрее чем и .

начиная хотя оы с ~-~м (п!) номера п>!00, а 7 —. есть конечное число. то л-.~ ' (п!) ряд~), можно ограничить сверху суммой: 2' ы(п!) .- 1 2 3 и, во(п!) ( —;=,—," —,)' <;ч. ' —,-- 2" и п п и "" 2" 111 1, ~в(п!):, 1 -Х', --'-- --)'=Х ' — ''Х',-ь, ппп п "~ 2" а-..~я~ % ' 1 Докажем сходимость ряда у, —,. Гогда из его сходимости будет следовать схолимость исходного ряда. так как тогда он будет о|раничен сходящнмся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда неотринательны). (Збозначим ! „= и '".

По признаку сравнения 0 оворящему, 1 - го рял вида „),— сходится только при условии. что а сГрого болеп!е П а>1 и расходится в противном случае: 1 а < 1) ',рял ~ — „' сходная. гак как выполняется уеповне сходимости: 2п>! при и и !1О1:х) Поэтому и исходный ряд тоже сходится. (и! ) Ответ: ряд ~ -': сходится. в~ 2' Задача 5 Исследовать ряд на сходимость: Воспользуемся признаком Коши: Если !ип ~'а„с 1, то ряд П Если !пп~!а„>1,. то ряд й-~ — 2п 1 2 !ипата„= !1щъ'и ~ — ~ = — с! 13п+5 ! 3 Таням образом„по признаку Коши исходный ряд является сходяшнмся, 2п : Ответ: р и ~: — — ~ сходится.

~х3п-5/ 2п '1 '. 3п-, 5/' 2 а„- сходится. «.—.! ~~~ а„- расходится. п 1 Исслсловать рял иа схолимость; Воспользуемся предельным признаком схолихюсти. Если два ряда ~~) а„и ,") Ь,, уловлетворяют условию: Ф=~ ю !гпз — ".= А. где А — конечное число. не равное О, то ряды Ь„ ~~) и„и ~ 6, сходятся или расхолятся одновременно. Рассмотрнзи следующий рял: 1 =;) 1„ „, (2п+1)1п'(2Й +1) а 1ип — '-'- ='' 2 — ' это конечное число. не равное О ь„ 3цачнт, ряды ~ а,, и ~~ )з„сходятся или расходятся одновремегпю. Для исслсловання сходимости второго ряда воспользуемся интегральным признаком схолимости рядов.

Если некоторая функппя ('(х) удовнетворяе с условию ~(п)=Ь,, то если )Р(х)ох сходится, то н ряд ~~> Ь„ и-. сходится. а если 11(х)с(х расходится, то и ряд ~ Ь, 2 расходится. Расскяотрим следующую функнню: 1 Лх) = —- (2х+ 1)1п (2х+1) Если (((х)йх сходится, то и ряд ~~) Ь„сходится, если в=2 интепрач расходится. то и ряд ~ Ь„расходится.

л-с , (2х+1)!и (2х+1) 2, 1п (2х-"1) 2 1п(2х-~1) „21п5 Интеко сходится. значит и ряд ~ Ь„сходится. Из в 2 'сходиъюсти зтото 1зяда следует схолнмОсп исходното. 1 Ответ: У-- —. сходится. и 1п (2п -~ 1) Задача 7 Исследовать ряд на сходи мость: Рассмотрим ряд ~:; и +1~ Воспользуемся признаком Коши: Если !ипата„<1. ьо ряд ~~> а, - сходится. сл Если !нп ча„>1. то ряд ',> а„- расходится, 6 и-! !!айдем 1пп ~а „; и ' ! 1пп,"„~а,, = !ни —.. = — <1 "- 2п+1 2 Таким образом. ряд сходится. а. и следовательно. ряд ~ 1-1)" ", ††- ' сходится. причем ',,2п -,1 ~' . аосолазтно.

и Ответ: ряд ~~~ ! — 1)" '! ~ сходится. '~ 2н+1,' Вычислить суммъ ряда с точностью сс — а=001 Х-:,— 1-1)" ' н! Обозначим и-ный член ряда. как а„: 1-11" ' а и! Чз обы вычислить сумму ряда с заданной 1очностькь следует принять во внимание то, что члены ряда с ростом и монотонно убывают. Тогда нам требуется найти сумму ряда ло Х-го члена. где 1ч' таково, что для любых п>Х выполняется неравенство ~ап1 Ит. Найдем Х: :а,1=1 > и 'а ~=05>и ,.'а., ~ = 0,017 > а '— ',а,, '= 0,042 > а, а, ~ = 0,008 > гх =~ Г~ = 5 Найлсйл сумму ряда до 5-го члена: 'У'а„ъ 0.63 Ответ: '> — = 0,63 + 0.01 ( — 11" н.

Найти область сходимости ряда: ~-' (-1)' ' (-1)" ' Обозначим а„=,,',— . а искомую область схопимостн .ь ряда — Х. Функция !п(х-'1) определена на множестве ',х+1>0,'. следовательно. Х с:,'х > -1) . Произвепем замену переменных !п(х+1) = Г: т-- (-1)" ' ~- (-1)""' ь~ «.в и ' и При (з>1!. (-!)"' (-1)"" 1 а„=,, = — — — < —.

следовательно. ряд окраничен и'" " и' п' сверху сходжпимся рядом. а значиц оп тоже сходится. причем абсолютно. При ((е!О:1 !)„' (-1)" ' >(-1)"'' в и л"-О ' з' (. осяаено" признаку Лейбница, при ~в(0:1) знакопеременный )зяд сходится. но только условно. Таким образом, исходный ряд сходится при !в(0:с).

.; Перейдем обратно к х: :т = !п(х - 1) =- х = е — 1 ! е (О.ос) => х в (О:,х) Ответ: обяасть сходимости Х = х е (О; с). Задача 10 Найти область сходимости ряда: ( — 1)" "='1п+1)5" 1)ривсдем этот ряд к степенному: Х „:- 3'=Х С-1)' — -- — —,1х — 3)' = ~ а,1х — 3)' п 11 +1)53 в ! 1-1)" где а„= — — — „. 1п+1)5" Используем формулу для нахождения радиуса сходимостн, основанную па применении признака Коши: 1 "':: ~5" 1п+1)~ Е = 1пп=-,=))гп,~"': = )пп"."5" (и+1),' = 5 ' '"'а ' '" ' (-1) Ч). Таким образом, интервал сходнмости ряда будет выглядеть слейуюшим образом: '-5'< х — 3 с 5 =~ х (-2:К) Ответ: область сходимостн Х =,'х ( — 2:8~', .

Задача !1 Найти облас~ь сходимости ряда: 8' .. Ъ вЂ”,!'япз' х)' Нриведем зтот ряд к степенному. т,с. к виду: ) и,х'. где а,. не зависит от х и является посзоянной величиной. 8' !!олотким а„= —,. тогда исходньй ряд згожио переписать п в аиде: п ,—,!а!и' х)" = ~,а,,!я!п' х)' . Теперь иам требуется найти !)щ,"„!", а„' = 1.: !пп ",:! а, ~ = !!гп "!! —, ! = !пи ч!и й-~'. Восйодьзуемся следующим равенством: !ип !лак '- Ь =-1, где а и Ь постовые числа. а>0. Тогда: !1 п,4 а„, = 8 г 'Рахим образом. по теореме Коши-Ала ~ра.

область 1 1 сходимости Х = (~ ь)п ' х ~< — = -) . 1. 8' 1'ешим неравенство. чтобы в явном виде ~а нсать область сходимости: (. ~в(п' х <--, ~а)пх < —, 1 ~' ' 3' ~ еип' х ,'< — сФ ( е> ~ <.~ 'Йп' х> — —;. ~а(пх> — —; 8' ~ х е (---+ 27Ф,+ — + 2ап). 6 ' ' 6 * 5а ' 7а ~ х е ( — + 27~в., — + оп), и е Х б. '6 Ответьобласть сходимости х е (' — --+ 2лп,+ — + 2ап), 6 ' 6 Х 5~ 7л ~ х с ( — + 27".и. — -' 277п), и е х( 6 "'6 Задача ! .: Найти с) мму ряда: Произвс:; м замену переменной: у = —: и 1,.

1 .. 1,, 1 -. 1 А(у) =~~, — — у' = — T — -у' ' =-~ -у' ,-Ой+1-,с с=а) „1 ! Найдем сумму ряда ~ — у 1=! 1 1 Рассмотрим производную ( ~ — у )': з у. 1 ' ' ' 1 — у (Гумми збздваюшей геометрической прогрессии) П)доз!заедем обре тн ые преобразования ддя ззахоястенля 1' ,, руммы ряда ~ "' „то есть Возъмем иитсв1зал: ~~;-! 1, Чтооы пай~и константу С'. найдем значение ряда в некоторой фиксированной точке у. вочьмем у = О. тогда: Таким обрааом х 5 1 5 „— ( — )!п(1 — — )+1,х > 5 . Ответ: ~ „— ( — )" =~ 5 х "' "и+1 х ~-~Б,х <5 х.," 5. -( — )1п(1-, ) при 5....т всех остальных х, 1 5 сумма ряда ~, — (:-) есть ""пч-1 х 5 1 — — > О с> х > 5.

и не существует при Задача !З Найти сумму ряда: Х,,(п+5)(х )' Разложим этот ряд на сумму двух более простых рялов: (и +5)(х )" =~~~ п(х )"'+5~~ (х')'. 11роизвсдем замену переменных у = х!!айдем Л(у) =7' пу" . Заметим. что Л()) есзь производная от функпнп В(у) = ~~, у" . умноженная на у: В'(у) = "~,пу" ' Л(у) = у В'(у) . Сумма ряда В(у) есть сумма убывагошей геометрической у прогрессии н поэтому равна В(у) = — ---- .

при условии, что 1 — у ,'у<1. Тогда производная от В(х) такова: у(1-у)-у(1-у)' 1-у;-у В'! у)— ()- у)' (1 — ) ) (1 — у) 1 Тогда А(у) = 5 В'(у) = у,- = — -- ', при ~у!<1 и ие (1 — у) (1 — у) сушеств~'ет при ' и(>1: 1 ~ ';:.(п -: 5)(х ' )" = У, пу' +5~ ','1 — у 1 — у у —.