Автореферат (Математическое моделирование и оптимизация квазилинейных динамических стохастических систем диффузионного типа, нелинейных по управлению)

На правах рукописиЦарьков Кирилл АлександровичМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕИ ОПТИМИЗАЦИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХСТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА,НЕЛИНЕЙНЫХ ПО УПРАВЛЕНИЮСпециальности 05.13.18 — «Математическое моделирование,численные методы и комплексы программ»,05.13.01 — «Системный анализ,управление и обработка информации(авиационная и ракетно-космическая техника)»Авторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква — 2017Работа выполнена на кафедре Математической кибернетики Московскогоавиационного института (национального исследовательского университета).Научный руководитель:Хрусталев Михаил Михайловичдоктор физико-математических наук,профессор, заведующий лабораторией №45«Математических методов исследования оптимальных управляемых систем» ИПУ РАНОфициальные оппоненты:Миллер Борис Михайловичдоктор физико-математических наук,профессор, главный научный сотрудник лаборатории №2 «Методов анализа и цифровойобработки изображений» ИППИ РАНКорепанов Эдуард Рудольфовичкандидат технических наук,заведующий сектором ФИЦ ИУ РАНВедущая организация:Защита состоится “ФГБУН «Институт программных систем им.

А.К. Айламазяна РАН»19 ”мая2017 в 10 ч. 00 мин. на засе-дании Диссертационного совета Д 212.125.04 Московского авиационного института (национального исследовательского университета) по адресу: 125993,г. Москва, A-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организации, просьбанаправлять по указанному адресу в двух экземплярах.Автореферат разослан “”Учёный секретарьДиссертационного совета Д 212.125.04кандидат физико-математических наук2017.Северина Н.С.3ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность работы. В настоящее время существует обширный класспрактических задач, связанных с управлением динамическими системами вусловиях неполноты информации о положении в фазовом пространстве.

Такаянеполнота информации может быть обусловлена ограничениями, накладываемыми на измерительные устройства вследствие реализации специальныхинженерных решений или вследствие возникновения технических неисправностей произвольного характера. Возможности управления этими системамисущественно зависят от той информации, которая может быть получена путёмизмерения и обработки наблюдений.К таким задачам относятся любые практические задачи, связанныес высоким риском возникновения технических неисправностей измерительных устройств. Кроме того, к ним относятся задачи управления пико- и наноспутниками, для которых установка высокоточных измерительных систем неявляется эффективной ввиду существенного увеличения массы, выводимойна орбиту. Отдельно стоит отметить задачи гидродинамического управленияна основе агрегатов струйной техники, которым в последнее время уделяетсяповышенное внимание в контексте конструирования высоконадёжных системуправления критически важными объектами.Особенное значение вопросы управления при неполной информацииприобретают в том случае, когда динамическая система функционируетв условиях неопределённых внешних возмущений, которые по тем или инымпричинам могут быть охарактеризованы как случайные процессы.

Такая ситуация позволяет применить для математического моделирования рассматриваемой динамической системы стохастические дифференциальные уравнениядиффузионного типа и поставить задачу оптимизации стратегии управленияс неполной обратной связью. Дальнейшие результаты, отыскиваемые путёмрешения поставленной задачи оптимального управления, существенным образом зависят от класса полученного стохастического дифференциальногоуравнения и соответствующей динамической системы, которую оно описывает.

Если в случае линейных стохастических систем соотношения для нахождения оптимальных линейных регуляторов широко известны, то в общемнелинейном случае могут быть записаны только аналитические соотношения,которым должно удовлетворять оптимальное управление, а не конкретные равенства или численные процедуры его поиска. Однако класс линейных стохастических систем неприменим для описания многих процессов управления изряда практических приложений, указанных выше.Таким образом, весьма актуальными являются получение аналитических результатов, построение численных методов и разработка комплекса программ для решения задач оптимизации процессов управления такими стохастическими системами, которые достаточно реалистично описывают широкийспектр встречающихся на практике проблем, и в то же время позволяют получить конструктивные соотношения и алгоритмы поиска оптимального решения по аналогии с линейными стохастическими системами.

Если подходящийкласс систем подобрать удаётся, то отдельным вопросом при этом становит-4ся проблема реализации полученной стратегии управления, так как она может иметь достаточно сложную структуру или не удовлетворять заданнымтехническим требованиям. Простая и известная наперёд структура функцииуправления является обязательным критерием для её успешной реализациина управляющем устройстве жёсткой фиксированной конструкции, напримерпостроенной на основе струйных технологий. В связи с этим возникает необходимость дополнительного исследования возможности синтеза оптимальногоуправления в заранее суженном классе функций, удобных в реализации.

Такоеуправление называется в работе субоптимальным.Необходимость учёта неполноты информации о текущем состоянии системы является одной из ключевых особенностей рассматриваемой проблемы.Эта особенность отделяет такие задачи от классических задач поиска оптимального программного управления (информация о текущем состоянии отсутствует – Л.С.

Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко)и задач синтеза управления с полной обратной связью (имеется полная информация о векторе состояния в текущий момент времени – Р. Беллман).Исследованию такого класса задач посвящено огромное количество работ,среди которых можно выделить работы N.U. Ahmed, K.L. Teo, A. Bensoussan,M.H.A. Davis, P.

Varaiya, W.H. Fleming, E. Pardoux, P.J. McLane, F. Carravetta,G. Mavelli, В.В. Семёнова, А.В. Пантелеева и многих других. В случае стохастических управляемых систем обычно исследуется зависимость векторауправления от части компонент вектора состояния (В.В. Семёнов, А.В. Пантелеев) или ситуация, при которой управляющему устройству известен дополнительный вектор измерений (управление по выходу), который также можетсодержать шумовые составляющие (P.J.

McLane, F. Carravetta, G. Mavelli).Второй вариант также тесно связан с работами по задачам оценивания ифильтрации, среди которых можно выделить работы R.E. Kalman, R.S. Bucy,Р.Л. Стратоновича, В.С. Пугачёва, Е.А. Руденко.Оба упомянутых варианта неполной информированности о состояниихарактеризуются тем, что каждая компонента вектора управления зависит отодного и того же набора компонент вектора состояния.

В отличие от этого, вработах М.М. Хрусталёва и Д.С. Румянцева рассматривается более общая постановка вопроса информированности, имеющая определённую связь и практическую применимость к задачам децентрализованного управления (Д. Шильяк, A. Saberi, H. Khalil). В этих работах рассматриваются информационныеограничения, при которых каждая компонента вектора управления зависит отсвоего заранее заданного набора компонент вектора состояния. В диссертационной работе под информационными ограничениями (неполнотой информации) понимается именно такая априорная зависимость каждой из компонентвектора управления от своего набора компонент вектора состояния.М.М.

Хрусталёв и Д.С. Румянцев сформулировали условия оптимальности в задаче оптимизации стратегий управления с информационными ограничениями для нелинейных управляемых систем диффузионного типа и конкретизировали их для линейных систем, правые части которых содержат линейные по состоянию и управлению слагаемые в матрице диффузии. Такие систе-5мы было предложено называть квазилинейными. В диссертационной работедополнительно рассматривается более общий случай квазилинейных систем,коэффициенты сноса и диффузии которых могут быть нелинейными функциями вектора управления. В связи с этим квазилинейные системы, содержащиелинейные по управлению коэффициенты, в работе называются обыкновенными квазилинейными системами.

Различные отечественные и зарубежные авторы также применяют для их наименования такие термины, как «линейныесистемы с мультипликативными возмущениями», «linear systems with stateand control-dependent noise», «билинейные системы» и ряд других.Сам термин «квазилинейные стохастические системы», понимаемыйв указанном смысле, был введён Ю.И. Параевым и представляется достаточноудачным ввиду того, что он подчёркивает существенные отличия от широкоизученных линейных стохастических систем, наиболее явно проявляющиесяна практике. Одними из первых работ, в которых исследовались задачи оптимизации стратегий управления квазилинейными стохастическими системамис непрерывным временем и их обобщениями, были работы Н.Н. Красовского, А.Б.

Куржанского, Ю.И. Параева и В.М. Вонэма. В дальнейшем такимизадачами при наличии полной информации о состоянии также занималосьдостаточно большое число авторов (см., например, работы М.Е. Шайкина).Гораздо меньше работ связано с задачами построения для квазилинейныхсистем оптимального управления с неполной обратной связью. Результаты,наиболее близкие к полученным в диссертации, сформулированы в работахP.J. McLane, F. Carravetta и G.

Mavelli, однако в этих работах рассматриваетсяменее общий случай информационных ограничений.Целью диссертационной работы является разработка методов синтеза оптимальных стратегий управления квазилинейными стохастическими системами с информационными ограничениями, оптимального программногоуправления квазилинейными системами с нелинейными по управлению коэффициентами, а также субоптимального управления этими системами.В соответствии с целью исследования ставятся следующие задачи:1) исследовать класс математических моделей линейных по состоянию иуправлению динамических стохастических систем диффузионного типас мультипликативными возмущениями, в которых управление имеет видлинейного регулятора с неполной обратной связью (класс обыкновенныхквазилинейных систем с информационными ограничениями);2) формализовать и исследовать новый класс математических моделей линейных по состоянию динамических стохастических систем диффузионного типа, коэффициенты которых могут быть нелинейными функциямипрограммного управления (класс квазилинейных систем, нелинейных поуправлению);3) получить необходимые условия оптимальности в задачах оптимизации:- стратегий управления обыкновенными квазилинейными системамис информационными ограничениями;6- программного управления квазилинейными системами, нелинейными по управлению;4) получить необходимые условия субоптимальности (оптимальности в заранее суженном классе управлений) в данных задачах;5) разработать численные методы поиска оптимального и субоптимальногоуправления, основанные на процедуре градиентного спуска в функциональном пространстве;6) разработать комплекс программ, реализующих эти численные методы;7) при помощи полученных результатов провести решение ряда модельныхпримеров и прикладных задач оптимального управления и стабилизациидвижения.Основным методом исследования является метод функций Ляпунова–Лагранжа, разработанный М.М.