Автореферат (Разработка спектральных методов анализа стохастических систем для задач оценки стоимости акций предприятий авиационно-промышленного комплекса)

На правах рукописиКожевников Александр СергеевичРАЗРАБОТКА СПЕКТРАЛЬНЫХ МЕТОДОВ АНАЛИЗАСТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДЛЯ ЗАДАЧ ОЦЕНКИСТОИМОСТИ АКЦИЙ ПРЕДПРИЯТИЙАВИАЦИОННО-ПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА05.13.18 – Математическое моделирование, численные методыи комплексы программАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква 2013Работа выполнена на кафедре «Математическая кибернетика»ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт(национальный исследовательский университет)»Научный руководитель:кандидат физико-математических наук, доцентРыбаков Константин АлександровичОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук, старшийнаучный сотрудник, ведущий научный сотрудникНИИ ПММ Национального исследовательскогоТомского государственного университетаЖарова Ирина Константиновнакандидат физико-математических наук,старший научный сотрудник Институтамашиноведения им.

А.А. БлагонравоваРоссийской академии наукРумянцев Дмитрий СтаниславовичВедущая организация:Национальный исследовательский университет«Высшая школа экономики»Защита состоится 27 декабря 2013 г. в 12 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.125.04 ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт(национальный исследовательский университет)» по адресу: 125993, Москва,А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4, Ученый совет МАИ.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационногоинститута (национального исследовательского университета).Автореферат разослан « » ноября 2013 г.Ученый секретарьдиссертационного совета Д 212.125.04,кандидат физико-математических наукН.С. СеверинаОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность работы. Изменение цен акций на рынке ценных бумаг носитслучайный характер.

Этому способствует огромное количество случайных факторов, таких как поток экономических новостей и слухов, ожидания участниковрынка, государственная политика, цены на нефть, публикация статистики предприятий и другие. Поэтому при описании математических моделей динамикицен акций используют стохастические системы. В монографиях Ширяева А.Н.,Халла Дж.К., Артемьева С.С. и Якунина М.А. представлены известные свойства цен акций на рынке ценных бумаг, приведены стохастические модели динамики финансовых инструментов и показатели для дискретного и непрерывного времени, преимущества их использования.

Динамика цен акций можетрассматриваться в различных масштабах времени (например, в масштабах дня,месяца или года), вследствие чего изменения цен акций можно разделить надиффузионные (малые случайные изменения) и скачкообразные (изменения,связанные с разрывом траектории процесса).

Поэтому в настоящее время приописании изменения цен акций на рынке ценных бумаг популярны модели,описываемые стохастическими системами со скачками (Конт Р. и Танков П.) исистемами с переключениями (Артемьев В.М., Бухалев В.А., Казаков И.Е., Борисов А.В.). В диссертационной работе рассматриваются стохастические системы со скачками, решение которых можно представить на основе процессовЛеви с ненулевой гауссовой компонентой и компонентой, являющейся обобщенным пуассоновским процессом и описывающей разрывы в траекториях ценакций, интервалы между которыми имеют экспоненциальное распределение.Такие модели в финансовой математике принято называть диффузионноскачкообразными моделями.

О преимуществах использования таких моделейговорят исследования, проведенные Фамой Е.Ф., Френчем К.Р. и Роллом Р.,Манделбротом Б.Б., Ричардсоном М. и Смитом Т.А. В работах Мертона Р.К.,Коу С.Г., Рамезани С.А. и Зенга Ю. представлены примеры диффузионноскачкообразных моделей.

Для решения задач анализа стохастических систем соскачками используются различные приближенные методы: метод Монте-Карло(работы Авериной Т.А., Якунина М.А., Артемьева С.С., Синицына И.Н., Кузнецова Д.Ф., Конта Р. и Танкова П., Корна Р., Корна Е. и Кроисандта Г.), методгауссовской аппроксимации (монография Артемьева В.М., Ивановского А.В.),методы квазимоментов (монографии Пугачева В.С., Синицына И.Н. и ФедосоваЕ.А., Инсарова В.В., Селивохина О.С.), ортогонального разложения (монографии Пугачева В.С., Синицына И.Н., работы Синицина В.И.), сеточные методы(работы Конта Р., Танкова П. и Волчковой Е.), метод Галеркина (работы КонтаР., Ху Л., Грайбела М.

и Халмэна А.), спектральные методы анализа (работыСеменова В.В., Пантелеева А.В., Рыбакова К.А., Сотсковой И.Л.).Начиная с оригинальной работы Мертона Р.К. и до настоящего времени, внаучном сообществе были изучены различные аспекты таких моделей (по данному вопросу в монографии Конта Р., Танкова П. содержится более 400 ссылок).

Недавние исследования подчеркнули важность развития диффузионно3скачкобразных моделей, обеспечивающих более близкие к наблюдаемым данным результаты. В существующей литературе предложено много изменений,связанных с уточнением спецификации скачкообразной компоненты, но, в основном, все изменения основываются на использовании различных распределений для описания величины скачков.

Однако в монографии Артемьева В.М.,Ивановского А.В., работах Авериной Т.А., Иванкиевича Р. рассматриваютсястохастические системы, в которых предполагается, что моменты появленияразрывов траекторий состояния системы образуют поток событий, отличный отпуассоновского.

В качестве непуассоновского потока событий можно использовать эрланговский и гиперэрланговский потоки событий, что позволит включить пуассоновский поток как частный случай, учесть различную степень последействия (от полного отсутствия до жесткой функциональной связи междумоментами появления скачков). При этом их использование практически неусложнит задачу идентификации параметров моделей динамики цены, так какпри ее решении нужно дополнительно учесть порядок эрланговского распределения.

Использование моделей динамики цены, в основе которых лежат такиестохастические системы, позволит приблизиться к более точному описаниюдинамики цен акций и оценке стоимости производных финансовых инструментов, зависящих от цен акций.При решении большинства задач анализа стохастических систем со скачками в условиях «непуассоновского» потока событий нужно применять приближенные методы. Одним из методов анализа таких систем является метод Монте-Карло. Его использование приведено в работах Авериной Т.А. В ряде случаев анализ стохастических систем сводится к нахождению плотности вероятности состояния, которая удовлетворяет системе обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) и служит достаточной характеристикой случайного процесса.

В монографиях Артемьева В.М., Ивановского А.В. и Иванкиевича Р. рассматривается применение метода гауссовской аппроксимации и метода моментов к системе обобщенных уравнений ФПК для плотности вероятности состояния системы. Эти методы позволяют перейти от обобщенныхуравнений ФПК к системе обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности для моментов, численное интегрирование которых может занять достаточно значительный промежуток времени, а полученное решение недостаточно полно будет описывать изменение состояния системы. Применимость данных методов ограничена сравнительно небольшой размерностью вектора состояния.Таким образом, разработка приближенных методов анализа для стохастических моделей со скачками в условии эрланговского и гиперэрланговского потоков событий является актуальной задачей.Целью работы является разработка приближенных методов анализа длястохастических моделей динамики цены акции со скачками, характеризующимися эрланговским распределением, описываемыми случайной смесью эрланговских распределений или характеризующимися чередованием эрланговскихраспределений.4Были поставлены и решены следующие задачи:1) разработка и исследование новых моделей динамики цены акции соскачками, интервалы между которыми характеризуются эрланговским и гиперэрланговским распределениями;2) разработка спектральных методов анализа стохастических систем соскачками в условиях эрланговского и гиперэрланговского потоков событий, аименно нахождение решения системы обобщенных уравнений ФПК для плотности вероятности в спектральной форме математического описания;3) модификация алгоритма статистического моделирования траекторий цены акции и ее логарифма с учетом скачков, интервалы между которыми описываются эрланговским и гиперэрланговским распределениями, для проверкикорректности результатов, полученных спектральными методами;4) разработка программного обеспечения на основе разработанных спектральных методов и алгоритма статистического моделирования;5) решение задач анализа динамики цены акций предприятий авиационнопромышленного комплекса.Общие методы исследования.

Для решения поставленных задач использовались методы математической статистики, теория случайных процессов, теория дифференциальных уравнений, численные методы. Теоретические результаты получены на основе теории систем со случайным периодом квантования иметодов их анализа, а также результатов, полученных в спектральной теориидля анализа стохастических систем.Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:предложены новые стохастические модели динамики цен акций, в которых используется эрланговский и гиперэрланговский потоки событий для описаниямоментов появления скачков, разработаны спектральные методы анализа стохастических систем со скачками в условиях эрланговского и гиперэрланговского потоков событий, а именно получены решения в спектральной форме математического описания при скачках, характеризующихся эрланговским распределением, описываемых случайной смесью эрланговских распределений, характеризующихся чередованием эрланговских распределений.Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, чторазработано программное обеспечение для решения задач анализа динамикицены акций предприятий авиационно-промышленного комплекса с применением ЭВМ спектральным методом и методом Монте-Карло.

Проведен анализ динамики цены акций компаний «Иркут» и «Объединенная авиастроительнаякорпорация» («ОАК») и сравнение результатов, полученных на основе предложенных и существующих моделей динамики цены. Разработанные методы ипрограммное обеспечение могут применяться для анализа цен акций компаний,не имеющих отношения к авиационной отрасли.Достоверность результатов обоснована тем, что методы решения задач,рассмотренных в диссертации, базируются на современных теоретическихпредставлениях и подходах к анализу стохастических систем со скачками, опи5сывающих изменения цен финансовых инструментов на рынке ценных бумаг.Эти представления являются общепринятыми и широко используются специалистами при исследовании различных аспектов как чисто теоретического, так иприкладного значения. Также были рассмотрены частные решения, полученныев спектральной форме математического описания и методом Монте-Карло, которые совпадают с ранее полученными результатами для стохастических систем со скачками в условиях пуассоновского потока событий.